แผนการยกกำลังเป็นเทคนิคสำหรับการออกแบบเวฟเล็ตและการทำการแปลงเวฟเล็ตแบบไม่ต่อเนื่อง (DWT) ในการใช้งาน การรวมขั้นตอนเหล่านี้เข้าด้วยกันและออกแบบตัวกรองเวฟเล็ตในขณะที่ทำการแปลงเวฟเล็ตมักจะคุ้มค่า ซึ่งเรียกว่าการแปลงเวฟเล็ตรุ่นที่สองเทคนิคนี้ได้รับการแนะนำโดยWim Sweldens ^{[ 1 ]}

แผนการยกจะแยกตัวประกอบการแปลงเวฟเล็ตแบบไม่ต่อเนื่องใดๆ ที่มีตัวกรองจำกัดออกเป็นชุดของตัวดำเนินการคอนโวลูชันพื้นฐาน ซึ่งเรียกว่าขั้นตอนการยก ซึ่งจะลดจำนวนการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ลงเกือบสองเท่า การจัดการขอบเขตสัญญาณก็ง่ายขึ้นเช่นกัน^{[ 2 ]}

การแปลงเวฟเล็ตแบบไม่ต่อเนื่องจะใช้ตัวกรองหลายตัวแยกกันกับสัญญาณเดียวกัน ในทางตรงกันข้าม สำหรับวิธีการยกกำลัง สัญญาณจะถูกแบ่งออกเป็นส่วนๆ เหมือนซิป จากนั้นจึงใช้ การดำเนินการคอนโวลูชัน-สะสม หลายชุดกับสัญญาณที่ถูกแบ่งเหล่านั้น

รูปแบบที่ง่ายที่สุดของการแปลงเวฟเล็ตไปข้างหน้าซึ่งแสดงในรูปแบบการยกกำลังแสดงอยู่ในรูปด้านบนหมายถึงขั้นตอนการทำนาย ซึ่งจะพิจารณาแยกต่างหาก ขั้นตอนการทำนายจะคำนวณฟังก์ชันเวฟเล็ตในการแปลงเวฟเล็ต นี่คือตัวกรองความถี่สูง ขั้นตอนการอัปเดตจะคำนวณฟังก์ชันการปรับขนาด ซึ่งส่งผลให้ข้อมูลมีความเรียบเนียนมากขึ้น ${\displaystyle P}$

ดังที่กล่าวมาข้างต้น แผนการยกกำลัง (lifting scheme) เป็นเทคนิคทางเลือกในการดำเนินการ DWT โดยใช้เวฟเล็ตแบบไบออร์โทกอนอล (biorthogonal wavelets) ในการดำเนินการ DWT โดยใช้แผนการยกกำลัง จะต้องได้ขั้นตอนการยกกำลังและการปรับขนาดที่เกี่ยวข้องมาจากเวฟเล็ตแบบไบออร์โทกอนอล ตัวกรองการวิเคราะห์ ( ) ของเวฟเล็ตเฉพาะนั้นจะถูกเขียนลงในเมทริกซ์หลายเฟสก่อน ${\displaystyle g,h}$

${\displaystyle P(z)={\begin{bmatrix}h_{\text{even}}(z)&g_{\text{even}}(z)\\h_{\text{odd}}(z)&g_{\text{odd}}(z)\end{bmatrix}},}$

ที่ไหน. ${\displaystyle \det P(z)=z^{-m}}$

เมทริกซ์โพลีเฟสเป็นเมทริกซ์ขนาด 2 × 2 ที่ประกอบด้วยตัวกรองความถี่ต่ำและความถี่สูงสำหรับการวิเคราะห์ โดยแต่ละตัวจะถูกแยกออกเป็นสัมประสิทธิ์พหุนามคู่และคี่ และทำให้เป็นค่าปกติ จากนั้นเมทริกซ์จะถูกแยกตัวประกอบออกเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนและล่างขนาด 2 × 2 หลายชุด โดยแต่ละชุดมีค่าในแนวทแยงเท่ากับ 1 เมทริกซ์สามเหลี่ยมบนประกอบด้วยสัมประสิทธิ์สำหรับขั้นตอนการทำนาย และเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างประกอบด้วยสัมประสิทธิ์สำหรับขั้นตอนการปรับปรุง สามารถดึงเมทริกซ์ที่มีค่าเป็นศูนย์ทั้งหมด ยกเว้นค่าในแนวทแยง เพื่อหาค่าสัมประสิทธิ์ของขั้นตอนการปรับขนาดได้ เมทริกซ์โพลีเฟสจะถูกแยกตัวประกอบให้อยู่ในรูปแบบ

${\displaystyle P(z)={\begin{bmatrix}1&a(1+z^{-1})\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\b(1+z)&1\end{bmatrix}},}$

โดยที่คือสัมประสิทธิ์สำหรับขั้นตอนการทำนาย และคือสัมประสิทธิ์สำหรับขั้นตอนการอัปเดต ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

ตัวอย่างของการสกัดข้อมูลที่ซับซ้อนกว่า ซึ่งมีขั้นตอนการทำนายและการอัปเดตหลายขั้นตอน รวมถึงขั้นตอนการปรับขนาด แสดงไว้ด้านล่าง โดยที่คือสัมประสิทธิ์สำหรับขั้นตอนการทำนายครั้งแรก คือ สัมประสิทธิ์สำหรับขั้นตอนการอัปเดตครั้งแรกคือสัมประสิทธิ์สำหรับขั้นตอนการทำนายครั้งที่สองคือสัมประสิทธิ์สำหรับขั้นตอนการอัปเดตครั้งที่สองคือสัมประสิทธิ์การปรับขนาดตัวอย่างคี่ และคือสัมประสิทธิ์การปรับขนาดตัวอย่างคู่: ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$${\displaystyle k_{1}}$${\displaystyle k_{2}}$

${\displaystyle P(z)={\begin{bmatrix}1&a(1+z^{-1})\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\b(1+z)&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&c(1+z^{-1})\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\d(1+z)&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}k_{1}&0\\0&k_{2}\end{bmatrix}}.}$

ตามทฤษฎีเมทริกซ์ เมทริกซ์ใดๆ ที่มีสมาชิกเป็นพหุนามและมีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 สามารถแยกตัวประกอบได้ตามที่อธิบายไว้ข้างต้น ดังนั้น การแปลงเวฟเล็ตทุกแบบที่มีตัวกรองจำกัดสามารถแยกออกเป็นชุดของขั้นตอนการยกและการปรับขนาดได้ Daubechies และ Sweldens กล่าวถึงการสกัดขั้นตอนการยกโดยละเอียดเพิ่มเติม^{[ 3 ]}

ในการดำเนินการแปลง CDF 9/7 จำเป็นต้องมีขั้นตอนการยกทั้งหมดสี่ขั้นตอน ได้แก่ ขั้นตอนการทำนายสองขั้นตอนและขั้นตอนการอัปเดตสองขั้นตอน การแยกตัวประกอบการยกนำไปสู่ลำดับขั้นตอนการกรองดังต่อไปนี้^{[ 3 ]}

${\displaystyle d_{l}=d_{l}+a(s_{l}+s_{l+1}),}$

${\displaystyle s_{l}=s_{l}+b(d_{l}+d_{l-1}),}$

${\displaystyle d_{l}=d_{l}+c(s_{l}+s_{l+1}),}$

${\displaystyle s_{l}=s_{l}+d(d_{l}+d_{l-1}),}$

${\displaystyle d_{l}=k_{1}d_{l},}$

${\displaystyle s_{l}=k_{2}s_{l}.}$

การแปลงทุกรูปแบบโดยใช้แผนการยกกำลังสามารถผกผันได้ฟิลเตอร์แบงค์แบบ สร้างใหม่ได้อย่างสมบูรณ์แบบทุกชุด สามารถแยกออกเป็นขั้นตอนการยกกำลังโดยใช้อัลกอริธึมยุคลิดได้ กล่าวคือ "ฟิลเตอร์แบงค์ที่แยกส่วนได้ด้วยการยกกำลัง" และ "ฟิลเตอร์แบงค์แบบสร้างใหม่ได้อย่างสมบูรณ์แบบ" หมายถึงสิ่งเดียวกัน ฟิลเตอร์แบงค์แบบสร้างใหม่ได้อย่างสมบูรณ์แบบสองชุดสามารถแปลงไปเป็นอีกชุดหนึ่งได้โดยลำดับขั้นตอนการยกกำลัง เพื่อให้เข้าใจได้ดียิ่งขึ้น ถ้าและเป็นเมทริกซ์หลายเฟสที่มีดีเทอร์มิแนนต์เดียวกัน ลำดับการยกกำลังจากไปยังจะเหมือนกับลำดับการยกกำลังจากเมทริกซ์หลายเฟสแบบขี้เกียจไปยัง ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle I}$${\displaystyle P^{-1}\cdot Q}$

ความเร็วเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า ซึ่งเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อการยกกำลังถูกจำกัดไว้เฉพาะฟิลเตอร์แบงค์ที่สร้างใหม่ได้อย่างสมบูรณ์แบบ กล่าวคือ การยกกำลังจะกำจัดความซ้ำซ้อนที่เกิดจากการสร้างใหม่ที่สมบูรณ์แบบออกไปได้

การแปลงข้อมูลสามารถดำเนินการได้ทันทีในหน่วยความจำของข้อมูลอินพุต (ในตำแหน่งเดิม ณ สถานที่เดิม) โดยใช้หน่วยความจำเพิ่มขึ้นเพียงเล็กน้อยเท่านั้น

การดำเนินการคอนโวลูชันสามารถแทนที่ด้วยการดำเนินการอื่นใดก็ได้ สำหรับการสร้างใหม่ที่สมบูรณ์แบบนั้น ความสามารถในการผกผันของการดำเนินการบวกเท่านั้นที่มีความสำคัญ ด้วยวิธีนี้ ข้อผิดพลาดในการปัดเศษในคอนโวลูชันจึงสามารถยอมรับได้ และการสร้างใหม่ที่แม่นยำระดับบิตก็เป็นไปได้ อย่างไรก็ตาม ความเสถียรเชิงตัวเลขอาจลดลงเนื่องจากความไม่เป็นเชิงเส้น ซึ่งต้องคำนึงถึงหากสัญญาณที่แปลงแล้วถูกประมวลผลเช่นเดียวกับ การบีบ อัดแบบสูญเสียข้อมูลแม้ว่าทุกฟิลเตอร์แบงก์ที่สามารถสร้างใหม่ได้จะสามารถแสดงได้ในรูปของขั้นตอนการยก แต่คำอธิบายทั่วไปของขั้นตอนการยกนั้นไม่ชัดเจนจากคำอธิบายของตระกูลเวฟเล็ต อย่างไรก็ตาม ตัวอย่างเช่น สำหรับกรณีง่ายๆ ของเวฟเล็ต Cohen–Daubechies–Feauveauนั้น มีสูตรที่ชัดเจนสำหรับขั้นตอนการยกของมัน

การยกกำลัง (lifting) เป็นการปรับเปลี่ยนตัวกรองแบบไบออร์โทโกนอล (biorthogonal filters) เพื่อเพิ่มจำนวนโมเมนต์ที่หายไป (vanishing moments) ของเวฟเล็ตแบบไบออร์โทโกนอลที่ได้ และหวังว่าจะเพิ่มความเสถียรและความสม่ำเสมอของเวฟเล็ตด้วย การเพิ่มจำนวนโมเมนต์ที่หายไปจะลดแอมพลิจูดของสัมประสิทธิ์เวฟเล็ตในบริเวณที่สัญญาณมีความสม่ำเสมอ ซึ่งจะทำให้ได้การแสดงผลที่กระจัดกระจายมากขึ้น อย่างไรก็ตาม การเพิ่มจำนวนโมเมนต์ที่หายไปด้วยการยกกำลังจะเพิ่มขอบเขตของเวฟเล็ต (wavelet support) ซึ่งเป็นผลเสียที่เพิ่มจำนวนสัมประสิทธิ์ขนาดใหญ่ที่เกิดจากจุดเอกฐานที่แยกตัวออกมา แต่ละขั้นตอนการยกกำลังจะรักษาความเป็นไบออร์โทโกนอลของตัวกรองไว้ แต่ไม่มีการควบคุมขอบเขตของ Riesz และดังนั้นจึงไม่มีการควบคุมความเสถียรของฐานไบออร์โทโกนอลของเวฟเล็ตที่ได้ เมื่อฐานเป็นแบบตั้งฉาก (orthogonal) ฐานคู่ (dual basis)จะเท่ากับฐานดั้งเดิม การมีฐานคู่ที่คล้ายกับฐานดั้งเดิมจึงเป็นตัวบ่งชี้ถึงความเสถียร ดังนั้น ความเสถียรโดยทั่วไปจะดีขึ้นเมื่อเวฟเล็ตคู่มีจำนวนโมเมนต์ที่หายไปมากเท่ากับเวฟเล็ตดั้งเดิมและมีขอบเขตที่มีขนาดใกล้เคียงกัน ด้วยเหตุนี้ กระบวนการยกกำลังจึงเพิ่มจำนวนโมเมนต์ที่หายไปของเวฟเล็ตคู่ และยังสามารถปรับปรุงความสม่ำเสมอของเวฟเล็ตคู่ ได้อีก ด้วย การออกแบบการยกกำลังคำนวณโดยการปรับจำนวนโมเมนต์ที่หายไป ความเสถียรและความสม่ำเสมอของเวฟเล็ตไบออร์โธโกนอลที่ได้จะวัดภายหลัง โดยหวังผลลัพธ์ที่ดีที่สุด นี่คือจุดอ่อนหลักของกระบวนการออกแบบเวฟเล็ตนี้

แผนการยกแบบทั่วไปได้รับการพัฒนาโดย Joel Solé และ Philippe Salembier และตีพิมพ์ในวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของ Solé ^{[ 4 ]}โดยอิงจากแผนการยกแบบคลาสสิกและขยายความโดยการทำลายข้อจำกัดที่ซ่อนอยู่ในโครงสร้างของแผนการ แผนการยกแบบคลาสสิกมีการดำเนินการสามประเภท:

1. การแปลงเวฟเล็ตแบบง่ายๆจะแบ่งสัญญาณออกเป็นสองสัญญาณใหม่ ได้แก่ สัญญาณที่มีตัวอย่างน้อยเป็นเลขคี่ ซึ่งแทนด้วยและสัญญาณที่มีตัวอย่างน้อยเป็นเลขคู่${\displaystyle f_{j}[n]}$${\displaystyle f_{j}^{o}[n]}$${\displaystyle f_{j}^{e}[n]}$
2. ขั้นตอนการทำนายจะคำนวณค่าทำนายสำหรับตัวอย่างคี่ โดยอิงจากตัวอย่างคู่ (หรือในทางกลับกัน) จากนั้นนำค่าทำนายนี้ไปลบออกจากค่าทำนายของตัวอย่างคี่ เพื่อสร้างสัญญาณความคลาดเคลื่อน${\displaystyle g_{j+1}[n]}$
3. ขั้นตอนการปรับปรุงจะปรับเทียบสาขาความถี่ต่ำใหม่โดยใช้พลังงานบางส่วนที่ถูกลบออกไปในระหว่างการสุ่มตัวอย่างย่อย ในกรณีของการยกแบบคลาสสิก ขั้นตอนนี้จะใช้เพื่อ "เตรียม" สัญญาณสำหรับขั้นตอนการทำนายถัดไป โดยใช้ตัวอย่างคี่ที่ทำนายไว้เพื่อเตรียมตัวอย่างคู่(หรือในทางกลับกัน) การปรับปรุงนี้จะถูกลบออกจากตัวอย่างคู่ ทำให้ได้สัญญาณที่แสดงด้วย${\displaystyle g_{j+1}[n]}$${\displaystyle f_{j}^{e}[n]}$${\displaystyle f_{j+1}[n]}$

โครงสร้างนี้สามารถผกผันได้ ในฝั่งผู้รับการคำนวณขั้นตอนการอัปเดตจะทำก่อน โดยผลลัพธ์จะถูกบวกกลับไปยังตัวอย่างคู่ จากนั้นจึงสามารถคำนวณการทำนายแบบเดียวกันเพื่อเพิ่มไปยังตัวอย่างคี่ได้ ในการกู้คืนสัญญาณดั้งเดิม การแปลงเวฟเล็ตแบบขี้เกียจจะต้องถูกผกผัน โครงสร้างการยกแบบทั่วไปมีการดำเนินการสามประเภทเช่นเดียวกัน อย่างไรก็ตาม โครงสร้างนี้หลีกเลี่ยงข้อจำกัดการบวกและการลบที่มีอยู่ในการยกแบบคลาสสิก ซึ่งมีผลกระทบอยู่บ้าง ตัวอย่างเช่น การออกแบบขั้นตอนทั้งหมดต้องรับประกันความสามารถในการผกผันของโครงสร้าง (ซึ่งไม่รับประกันหากหลีกเลี่ยงข้อจำกัดการบวกและการลบ)

รูปแบบการยกทั่วไป (Generalized lifting scheme)เป็นการแปลงแบบทวิภาค (dyadic transform) ที่ปฏิบัติตามกฎเหล่านี้:

1. แปลงข้อมูลอินพุตโดยแบ่งออกเป็นกระแสตัวอย่างเลขคู่และกระแสตัวอย่างเลขคี่ ซึ่งบางครั้งเรียกว่าการแปลงเวฟเล็ตแบบขี้เกียจ (lazy wavelet transform )
2. คำนวณแผนที่การทำนายขั้นตอนนี้พยายามทำนายตัวอย่างคี่โดยคำนึงถึงตัวอย่างคู่ (หรือในทางกลับกัน) มีการแมปจากพื้นที่ของตัวอย่างในไปยังพื้นที่ของตัวอย่างในในกรณีนี้ ตัวอย่าง (จาก) ที่เลือกให้เป็นข้อมูลอ้างอิงสำหรับเรียกว่าบริบทสามารถแสดงได้ดังนี้ ${\displaystyle f_{j}^{e}[n]}$${\displaystyle g_{j+1}[n]}$${\displaystyle f_{j}^{e}[n]}$${\displaystyle f_{j}^{o}[n]}$

   ${\displaystyle g_{j+1}[n]=P(f_{j}^{o}[n];f_{j}^{e}[n]).}$

3. คำนวณแผนที่อัปเดตขั้นตอนนี้พยายามอัปเดตตัวอย่างคู่โดยคำนึงถึงตัวอย่างที่คาดการณ์ไว้เป็นคี่ ซึ่งจะเป็นการเตรียมการสำหรับขั้นตอนการคาดการณ์ถัดไป หากมี สามารถแสดงได้ดังนี้

   ${\displaystyle f_{j+1}[n]=U(f_{j}^{e}[n];g_{j+1}[n]).}$

เห็นได้ชัดว่า การแมปเหล่านี้ไม่สามารถเป็นฟังก์ชันใดๆ ได้ เพื่อรับประกันความสามารถในการผกผันของโครงร่างเอง การแมปทั้งหมดที่เกี่ยวข้องในการแปลงจะต้องสามารถผกผันได้ ในกรณีที่การแมปเกิดขึ้นและมาถึงเซตจำกัด (สัญญาณค่าจำกัดแบบไม่ต่อเนื่อง) เงื่อนไขนี้เทียบเท่ากับการกล่าวว่าการแมปเป็นฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่ง (injective) ยิ่งไปกว่านั้น หากการแมปไปจากเซตหนึ่งไปยังเซตที่ มีขนาดเท่ากัน การแมป นั้นควรจะเป็น ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijective )

ในแผนการยกกำลังแบบทั่วไป ข้อจำกัดเรื่องการบวก/ลบจะถูกหลีกเลี่ยงโดยการรวมขั้นตอนดังกล่าวไว้ในการแมป ด้วยวิธีนี้ แผนการยกกำลังแบบคลาสสิกจึงได้รับการขยายให้เป็นแบบทั่วไป

มีการพัฒนารูปแบบบางอย่างสำหรับการแมปขั้นตอนการทำนาย รูปแบบการออกแบบขั้นตอนการอัปเดตยังไม่ได้รับการพิจารณาอย่างละเอียดถี่ถ้วน เนื่องจากยังคงต้องหาคำตอบว่าขั้นตอนการอัปเดตมีประโยชน์อย่างไร การประยุกต์ใช้หลักของเทคนิคนี้คือ การ บีบอัดรูปภาพ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

• การแปลงเวฟเล็ตที่แปลงจำนวนเต็มเป็นจำนวนเต็ม
• การแปลงฟูริเยร์ด้วยการสร้างใหม่ที่แม่นยำระดับบิต^{[ 9 ]}
• การสร้างเวฟเล็ตที่มีจำนวนปัจจัยความเรียบและโมเมนต์หายไปตามที่ต้องการ
• การสร้างเวฟเล็ตที่ตรงกับรูปแบบที่กำหนด^{[ 10 ]}
• การนำการแปลงเวฟเล็ตแบบไม่ต่อเนื่องมา ใช้ ในJPEG 2000
• การแปลงที่ขับเคลื่อนด้วยข้อมูล เช่น เวฟเล็ตที่หลีกเลี่ยงขอบ^{[ 11 ]}
• การแปลงเวฟเล็ตบนแลตทิซที่ไม่สามารถแยกได้เช่น เวฟเล็ตสีแดง-ดำบนแลตทิซควินคันซ์^{[ 12 ]}

• แผนการ เข้ารหัสแบบ Feistelใช้หลักการเดียวกันกับการแบ่งข้อมูลและการสลับการประยุกต์ใช้ฟังก์ชันกับการบวก ทั้งในแผนการเข้ารหัสแบบ Feistel และแผนการยกกำลัง (lifting scheme) หลักการนี้ใช้สำหรับการเข้ารหัสและถอดรหัสแบบสมมาตร

• แผนการยกกำลัง – คำอธิบายโดยย่อของอัลกอริทึมการแยกตัวประกอบ
• บทนำเกี่ยวกับโครงการยกของ
• การแปลงเวฟเล็ตแบบยกเร็ว