ในเรขาคณิตแบบยุคลิดความสามารถในการแยกได้ด้วยเส้นตรงเป็นคุณสมบัติของเซตของจุด สองเซต ซึ่งสามารถมองเห็นภาพได้ง่ายที่สุดในสองมิติ ( ระนาบยุคลิด ) โดยคิดว่าเซตของจุดหนึ่งมีสีน้ำเงินและอีกเซตหนึ่งมีสีแดง เซตทั้งสองนี้สามารถแยกได้ด้วยเส้นตรงหากมีเส้นตรง อย่างน้อยหนึ่งเส้น ในระนาบที่มีจุดสีน้ำเงินทั้งหมดอยู่ด้านหนึ่งของเส้นตรงและจุดสีแดงทั้งหมดอยู่ด้านตรงข้าม แนวคิดนี้สามารถขยายไปสู่ปริภูมิยุคลิดที่มีมิติสูงกว่าได้ทันทีหากแทนที่เส้นตรงด้วยระนาบไฮเปอร์เพลน

ปัญหาของการพิจารณาว่าเซตสองเซตสามารถแยกออกจากกันด้วยเส้นตรงได้หรือไม่ และการหาเส้นแบ่งแยกหากสามารถแยกออกจากกันได้นั้น เกิดขึ้นในหลายสาขา ในทางสถิติและการเรียนรู้ของเครื่องการจำแนกประเภทข้อมูลบางประเภทเป็นปัญหาที่มีอัลกอริทึมที่ดีอยู่แล้วซึ่งอิงตามแนวคิดนี้

ให้เป็นเซตของจุด และเป็นเซตของจุดในปริภูมิยุคลิดมิติและสามารถแยกได้ด้วยเส้นตรงถ้าสามารถ "แยก" ออกจากกันได้ด้วยระนาบมิติ โดยที่ทุกจุดในอยู่ด้านหนึ่งของระนาบ และทุกจุดในอยู่ด้านตรงข้ามของ ระนาบ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle Y\subset \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle d}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

ระนาบแบ่งแยกประกอบด้วยจุดโดยที่คือเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบ และคือค่าชดเชยแบบสเกลาร์และสามารถแยกออกจากกันได้ด้วยเส้นตรง ถ้ามีเวกเตอร์ตั้งฉากและค่าชดเชยแบบสเกลาร์ที่ทำให้ทุกจุดเป็นไปตามเงื่อนไขและทุกจุดเป็นไป ตามเงื่อนไข หรือทุกจุดเป็นไปตามเงื่อนไขและทุกจุด เป็นไป ตาม เงื่อนไข${\displaystyle \left\{z\in \mathbb {R} ^{d}:w^{\top }z+k=0\right\}}$${\displaystyle w\in \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle w}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle w^{\top }x+k>0}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle w^{\top }y+k<0}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle w^{\top }x+k<0}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle w^{\top }y+k>0}$

ในทำนองเดียวกัน เซตสองเซตสามารถแยกออกจากกันได้เชิงเส้นก็ต่อเมื่อขอบเขตนูน ของเซตทั้งสอง ไม่ทับซ้อนกัน (โดยทั่วไปคือไม่ทับซ้อนกัน) ^{[ 1 ]}

จุด สามจุดที่ไม่เรียงตัวกันบนเส้นตรงเดียวกันในสองกลุ่ม ('+' และ '-') จะสามารถแยกออกจากกันได้ด้วยเส้นตรงในสองมิติเสมอ ดังแสดงในตัวอย่างสามตัวอย่างในรูปต่อไปนี้ (กรณีที่มีเฉพาะ '+' ไม่ได้แสดงไว้ แต่มีลักษณะคล้ายกับกรณีที่มีเฉพาะ '-'):

อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ว่าทุกชุดของจุดสี่จุด (โดยเฉพาะจุดสามจุดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน) จะสามารถแยกออกจากกันได้ด้วยเส้นตรงในสองมิติ ตัวอย่างต่อไปนี้จะต้องใช้ เส้นตรง สองเส้น จึงไม่สามารถแยกออกจากกันได้ด้วยเส้นตรง:

โปรดสังเกตว่าจุดสามจุดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและมีรูปแบบ "+ ⋅⋅⋅ — ⋅⋅⋅ +" ก็ไม่สามารถแยกออกจากกันได้ด้วยเส้นตรงเช่นกัน

ให้เป็นจำนวนวิธีในการแยก จุด Nจุด (ในตำแหน่งทั่วไป) ในมิติK ออกจากกันเชิงเส้น จากนั้น ^{[ 2 ]}เมื่อKมีขนาดใหญ่จะมีค่าใกล้เคียงกับหนึ่งมากเมื่อแต่จะมีค่าใกล้เคียงกับศูนย์มากเมื่อกล่าวคือ หน่วย เพอร์เซปตรอน หนึ่ง หน่วยสามารถจดจำการกำหนดป้ายกำกับไบนารีแบบสุ่มบนจุด N จุดได้เกือบแน่นอนเมื่อแต่แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยเมื่อ ${\displaystyle T(N,K)}$$${\displaystyle T(N,K)=\left\{{\begin{array}{cc}2^{N}&K\geq N\\2\sum _{k=0}^{K-1}\left({\begin{array}{c}N-1\\k\end{array}}\right)&K<N\end{array}}\right.}$$${\displaystyle T(N,K)/2^{N}}$${\displaystyle N\leq 2K}$${\displaystyle N>2K}$${\displaystyle N\leq 2K}$${\displaystyle N>2K}$

ฟังก์ชันบูลีนใน ตัวแปร nตัวสามารถคิดได้ว่าเป็นการกำหนดค่า0หรือ1ให้กับจุดยอดแต่ละจุดของไฮเปอร์คิวบ์ บูลีน ใน มิติ nซึ่งทำให้เกิดการแบ่งจุดยอดออกเป็นสองชุดอย่างเป็นธรรมชาติ ฟังก์ชันบูลีนจะเรียกว่าสามารถแยกได้ด้วยเส้นตรงก็ต่อเมื่อจุดสองชุดนี้แยกได้ด้วยเส้นตรง จำนวนฟังก์ชันบูลีนที่แตกต่างกันคือโดยที่nคือจำนวนตัวแปรที่ส่งผ่านเข้าไปในฟังก์ชัน^{[ 3 ]}${\displaystyle 2^{2^{n}}}$

ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกอีกอย่างว่าตรรกะเกณฑ์เชิงเส้นหรือเพอร์เซปตรอนทฤษฎีคลาสสิกได้รับการสรุปไว้ใน^{[ 4 ]}ตามที่ Knuth อ้าง^{[ 5 ]}

จำนวนฟังก์ชันบูลีนที่แยกเชิงเส้นได้นั้นทราบแน่ชัดเฉพาะกรณีหนึ่งเท่านั้นแต่ลำดับขนาดเป็นที่ทราบค่อนข้างแน่นอน: มีขอบเขตบนและขอบเขตล่าง^{[ 6 ]}${\displaystyle n=9}$${\displaystyle 2^{n^{2}-n\log _{2}n+O(n)}}$${\displaystyle 2^{n^{2}-n\log _{2}nO(n)}}$

การตัดสินใจว่าฟังก์ชันบูลีนที่กำหนดในรูปแบบปกติแบบแยกหรือ แบบเชื่อมโยง สามารถแยกเชิงเส้นได้หรือไม่นั้น ถือ เป็นปัญหา co-NP-complete ^{[ 6 ]}

เกตตรรกะแบบเกณฑ์เชิงเส้น (Linear Threshold Logic Gate) คือฟังก์ชันบูลีนที่กำหนดโดยน้ำหนักและเกณฑ์โดยรับอินพุตแบบไบนารีและส่งออก 1 ถ้า เงื่อนไขเป็นจริง และส่งออก 0 ในกรณีอื่น ๆ ${\displaystyle n}$${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle \sum _{i}w_{i}x_{i}>\theta }$

สำหรับค่าคงที่ใดๆเนื่องจากมีฟังก์ชันบูลีนจำนวนจำกัดเท่านั้นที่สามารถคำนวณได้โดยหน่วยตรรกะเกณฑ์ จึงเป็นไปได้ที่จะกำหนดให้ทั้งหมดเป็นจำนวนเต็ม ให้ เป็นจำนวนที่เล็กที่สุดที่ฟังก์ชันเกณฑ์จริงที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสามารถรับรู้ได้โดยใช้น้ำหนักจำนวนเต็มที่มีค่าสัมบูรณ์เป็นที่ทราบกันว่า^{[ 8 ]}ดู^{[ 9 ] : ส่วนที่ 11.10} สำหรับการทบทวนวรรณกรรม ${\displaystyle n}$${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n},\theta }$${\displaystyle W(n)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \leq W}$$${\displaystyle {\frac {1}{2}}n\log n-2n+o(n)\leq \log _{2}W(n)\leq {\frac {1}{2}}n\log n-n+o(n)}$$

การจำแนกข้อมูลเป็นงานทั่วไปในด้านการเรียนรู้ของเครื่องสมมติว่ามีจุดข้อมูลจำนวนหนึ่ง ซึ่งแต่ละจุดอยู่ในชุดข้อมูลใดชุดหนึ่งจากสองชุด และเราต้องการสร้างแบบจำลองที่จะตัดสินว่า จุดข้อมูล ใหม่จะอยู่ในชุดข้อมูลใด ในกรณีของเครื่องสนับสนุนเวกเตอร์ (Support Vector Machines ) จุดข้อมูลจะถูกมองว่าเป็น เวกเตอร์ pมิติ (รายการของ ตัวเลข pตัว) และเราต้องการทราบว่าเราสามารถแยกจุดข้อมูลเหล่านั้นด้วยระนาบไฮเปอร์ (hyperplane ) มิติ ( p  − 1) ได้หรือไม่ ซึ่งเรียกว่าตัวจำแนกเชิงเส้น (linear classifier ) ​​มีระนาบไฮเปอร์หลายระนาบที่อาจจำแนก (แยก) ข้อมูลได้ ตัวเลือกที่เหมาะสมที่สุดสำหรับระนาบไฮเปอร์ที่ดีที่สุดคือระนาบที่แสดงถึงการแยกหรือระยะห่างที่มากที่สุดระหว่างสองชุดข้อมูล ดังนั้นเราจึงเลือกระนาบไฮเปอร์เพื่อให้ระยะห่างจากระนาบนั้นไปยังจุดข้อมูลที่ใกล้ที่สุดในแต่ละด้านมีค่าสูงสุด หากมีระนาบไฮเปอร์ดังกล่าวอยู่ ระนาบนั้นจะเรียกว่าระนาบไฮเปอร์ที่มีระยะห่างสูงสุด (maximum-margin hyperplane)และตัวจำแนกเชิงเส้นที่กำหนดโดยระนาบนั้นจะเรียกว่าตัว จำแนกที่มีระยะห่าง สูงสุด (maximum margin classifier )

กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้น เมื่อมีข้อมูลฝึกฝนชุดหนึ่งซึ่งประกอบด้วย จุด nจุดในรูปแบบ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}=\left\{(\mathbf {x} _{i},y_{i})\mid \mathbf {x} _{i}\in \mathbb {R} ^{p},\,y_{i}\in \{-1,1\}\right\}_{i=1}^{n}}$

โดยที่y _iมีค่าเป็น 1 หรือ −1 ซึ่งบ่งบอกถึงเซตที่จุดนั้นเป็นสมาชิกอยู่ แต่ละเป็น เวกเตอร์ จริงpมิติเราต้องการหาไฮเปอร์เพลนที่มีระยะขอบสูงสุดที่แบ่งจุดที่มี ออกจากจุดที่มีไฮเปอร์เพลนใดๆ ก็สามารถเขียนได้เป็นเซตของจุดที่สอดคล้องกับ ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$${\displaystyle y_{i}=1}$${\displaystyle y_{i}=-1}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle \mathbf {w} \cdot \mathbf {x} -b=0,}$

โดยที่หมายถึงผลคูณดอทและเวกเตอร์ตั้งฉาก (ไม่จำเป็นต้องเป็นเวกเตอร์หน่วย) กับระนาบไฮเปอร์เพลน พารามิเตอร์กำหนดระยะห่างของระนาบไฮเปอร์เพลนจากจุดกำเนิดตามแนวเวกเตอร์ตั้งฉาก ${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle {\mathbf {w} }}$${\displaystyle {\tfrac {b}{\|\mathbf {w} \|}}}$${\displaystyle {\mathbf {w} }}$

หากข้อมูลฝึกฝนสามารถแยกได้ด้วยเส้นตรง เราสามารถเลือกไฮเปอร์เพลนสองเส้นในลักษณะที่แยกข้อมูลออกจากกันโดยไม่มีจุดอยู่ระหว่างกัน จากนั้นพยายามเพิ่มระยะห่างระหว่างไฮเปอร์เพลนทั้งสองให้มากที่สุด

• การจัดกลุ่ม (สถิติ)
• ทฤษฎีบทการแยกไฮเปอร์เพลน
• ทฤษฎีบทของเคิร์ชเบอร์เกอร์
• เพอร์เซปตรอน
• มิติวัปนิค–เชอร์โวเนนคิส