ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันจะเรียกว่ามีขอบเขตเฉพาะที่ (locally bounded)ถ้าฟังก์ชันนั้นมีขอบเขตล้อมรอบทุกจุดส่วนกลุ่มของฟังก์ชันจะ เรียกว่า มีขอบเขตเฉพาะที่ถ้าสำหรับจุดใดๆ ในโดเมน ของกลุ่ม ฟังก์ชันนั้น ฟังก์ชันทั้งหมดมีขอบเขตล้อมรอบจุดนั้น และมีค่าเท่ากับจำนวนเดียวกัน

ฟังก์ชันค่าจริงหรือค่าเชิงซ้อนที่กำหนดบนปริภูมิเชิงทอพอโลยี บางอย่าง เรียกว่า${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$ฟังก์ชันที่มีขอบเขตเฉพาะที่ถ้าสำหรับจำนวนใดๆจะมีบริเวณใกล้เคียงของที่ทำให้เป็นเซตที่มีขอบเขตนั่นคือ สำหรับจำนวนใดๆจะมี ${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f(A)}$${\displaystyle M>0}$$${\displaystyle |f(x)|\leq M\quad {\text{ สำหรับทุก }}x\in A.}$$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับแต่ละค่า เราสามารถหาค่าคงที่ได้ โดยขึ้นอยู่กับค่าซึ่งจะมีค่ามากกว่าค่าทั้งหมดของฟังก์ชันในบริเวณใกล้เคียงเปรียบเทียบกับฟังก์ชันที่มีขอบเขตซึ่งค่าคงที่นั้นไม่ขึ้นอยู่กับค่าเห็นได้ชัดว่า ถ้าฟังก์ชันมีขอบเขต ฟังก์ชันนั้นก็จะมีขอบเขตในระดับท้องถิ่นด้วย แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริงโดยทั่วไป (ดูด้านล่าง) ${\displaystyle x}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle x.}$

นิยามนี้สามารถขยายไปยังกรณีที่มีค่าอยู่ในปริภูมิเมตริก บาง ปริภูมิได้ ในกรณีนั้น อสมการข้างต้นจะต้องถูกแทนที่ด้วย โดย ที่เป็นจุดบางจุดในปริภูมิเมตริก การเลือกไม่มีผลต่อนิยาม การเลือก ที่แตกต่างกันจะทำให้ค่าคงที่ที่ทำให้อสมการนี้เป็นจริง เพิ่มขึ้นอย่างมาก${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle (Y,d).}$$${\displaystyle d(f(x),y)\leq M\quad {\text{ for all }}x\in A,}$$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle r}$

• ฟังก์ชันที่กำหนดโดยนั้นมีขอบเขต เนื่องจากสำหรับทุกดังนั้น ฟังก์ชันนี้จึงมีขอบเขตในระดับท้องถิ่นด้วย${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}}$$${\displaystyle 0\leq f(x)\leq 1}$${\displaystyle x.}$

• ฟังก์ชันที่กำหนดโดยนั้นไม่มีขอบเขต เนื่องจากมันจะมีค่ามากอย่างไม่จำกัด อย่างไรก็ตาม มันมี ขอบเขตในระดับ ท้องถิ่นเพราะสำหรับแต่ละค่าในบริเวณใกล้เคียงที่${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle f(x)=2x+3}$$${\displaystyle a,}$${\displaystyle |f(x)|\leq M}$${\displaystyle (a-1,a+1),}$${\displaystyle M=2|a|+5.}$

• ฟังก์ชันที่กำหนดโดยนั้นไม่มีขอบเขตและไม่มีขอบเขตเฉพาะที่ ในบริเวณใกล้เคียงใดๆ ของ 0 ฟังก์ชันนี้จะมีค่าที่มีขนาดใหญ่มากอย่างไม่จำกัด${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}},&{\mbox{if }}x\neq 0,\\0,&{\mbox{if }}x=0\end{cases}}}$$

• ฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ ก็ตามจะมีขอบเขตเฉพาะที่ นี่คือการพิสูจน์สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรจริง ให้ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง โดยที่และ เราจะแสดงว่ามีขอบเขตเฉพาะที่ ณ จุดสำหรับทุกค่าโดยกำหนดให้ ε = 1 ในนิยามของความต่อเนื่อง จะมีอยู่จริงที่ทำให้สำหรับทุกค่าโดยที่ จากอสมการสามเหลี่ยมซึ่งหมายความว่ามีขอบเขตเฉพาะที่ ณ จุด(โดยกำหนดให้และบริเวณใกล้เคียง) ข้อโต้แย้งนี้สามารถขยายไปยัง ได้อย่างง่ายดายเมื่อโดเมนของเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีใดๆ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a\in U}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle |f(x)-f(a)|<1}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle |x-a|<\delta }$${\displaystyle |f(x)|=|f(x)-f(a)+f(a)|\leq |f(x)-f(a)|+|f(a)|<1+|f(a)|,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle M=1+|f(a)|}$${\displaystyle (a-\delta ,a+\delta )}$${\displaystyle f}$

• อย่างไรก็ตาม ข้อสรุปในทางกลับกันของผลลัพธ์ข้างต้นนั้นไม่เป็นจริง กล่าวคือ ฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องอาจมีขอบเขตเฉพาะที่ได้ ตัวอย่างเช่น พิจารณาฟังก์ชันที่กำหนดโดยและสำหรับทุก ๆแล้ว ฟังก์ชัน จะไม่ต่อเนื่องที่ 0 แต่มีขอบเขตเฉพาะที่ กล่าวคือ ฟังก์ชันจะมีค่าคงที่เฉพาะที่ ยกเว้นที่ศูนย์ ซึ่งเราสามารถเลือกและบริเวณใกล้เคียงได้ เป็นต้น${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(0)=1}$${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle x\neq 0.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M=1}$${\displaystyle (-1,1),}$

เซต(หรือเรียกว่าตระกูล) U ของฟังก์ชันค่าจริงหรือค่าเชิงซ้อนที่กำหนดบนปริภูมิเชิงทอพอโลยีบางอย่างเรียกว่ามีขอบเขตเฉพาะที่ถ้าสำหรับทุกๆจะมีบริเวณใกล้เคียงของและจำนวนบวกที่ทำให้ สำหรับทุกและกล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันทั้งหมดในตระกูลจะต้องมีขอบเขตเฉพาะที่ และรอบๆ แต่ละจุด ฟังก์ชันเหล่านั้นจะต้องมีขอบเขตโดยค่าคงที่เดียวกัน ${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle M>0}$$${\displaystyle |f(x)|\leq M}$$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle f\in U.}$

นิยามนี้สามารถขยายไปใช้กับกรณีที่ฟังก์ชันในตระกูลU มีค่าอยู่ในปริภูมิเมตริกบางปริภูมิได้เช่นกัน โดยการแทนที่ค่าสัมบูรณ์ด้วยฟังก์ชันระยะทางอีกครั้ง

• กลุ่มฟังก์ชันที่มีขอบเขตเฉพาะที่ แท้จริงแล้ว ถ้าเป็นจำนวนจริง เราสามารถเลือกบริเวณใกล้เคียงให้เป็นช่วง จากนั้นสำหรับทุก ๆในช่วงนี้ และสำหรับทุก ๆจะมีโดยที่นอกจากนี้ กลุ่มฟังก์ชันนี้ยังมีขอบเขตสม่ำเสมอเนื่องจากทั้งบริเวณใกล้เคียงและค่าคงที่ ไม่ ได้ขึ้นอยู่กับดัชนี${\displaystyle f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x}{n}}}$$${\displaystyle n=1,2,\ldots }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \left(x_{0}-a,x_{0}+1\right).}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n\geq 1}$$${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M}$$${\displaystyle M=1+|x_{0}|.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n.}$

• กลุ่มฟังก์ชัน นี้ มีขอบเขตเฉพาะที่ ถ้ามีค่ามากกว่าศูนย์ สำหรับ x 0 ใดๆ เรา สามารถเลือกบริเวณใกล้เคียงให้เป็น x 0 เองได้ จากนั้นเราจะได้ x 0 โดยที่ โปรดสังเกตว่าค่าของ x 0 ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือก x ₀หรือบริเวณใกล้เคียงของมันกลุ่มฟังก์ชันนี้จึงไม่เพียงแต่มีขอบเขตเฉพาะที่เท่านั้น แต่ยังมีขอบเขตสม่ำเสมออีกด้วย${\displaystyle f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{x^{2}+n^{2}}}}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M}$$${\displaystyle M=1.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A.}$

• กลุ่มฟังก์ชันนี้ไม่มีขอบเขตจำกัดในระดับท้องถิ่น อันที่จริง สำหรับค่าใดๆ ก็ตามค่าเหล่า นี้ จะไม่สามารถมีขอบเขตจำกัดได้เมื่อค่าเข้าใกล้อินฟินิตี้${\displaystyle f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle f_{n}(x)=x+n}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle f_{n}(x)}$${\displaystyle n}$

ขอบเขตท้องถิ่นอาจหมายถึงคุณสมบัติของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีหรือของฟังก์ชันจากปริภูมิเชิงทอพอโลยีไปยังปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS) ก็ได้

เซตย่อย ของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS) เรียกว่ามีขอบเขตถ้าสำหรับแต่ละย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดใน เซตย่อย นั้น มีจำนวนจริงอยู่จำนวนหนึ่งที่ทำให้ A${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle s>0}$$${\displaystyle B\subseteq tU\quad {\text{ for all }}t>s.}$$TVS ที่มีขอบเขตเฉพาะที่คือ TVS ที่มีบริเวณใกล้เคียงจุดกำเนิดที่มีขอบเขต ตามเกณฑ์ความปกติของ Kolmogorovข้อนี้จะเป็นจริงสำหรับปริภูมิเว้าเฉพาะที่ก็ต่อเมื่อโทโพโลยีของ TVS ถูกกำหนดโดยเซมิ-นอร์มโดยเฉพาะอย่างยิ่ง TVS ที่มีขอบเขตเฉพาะที่ทุกตัวสามารถแปลงเป็นเมตริกเทียมได้

ให้ฟังก์ชันระหว่างปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีเรียกว่าฟังก์ชันที่มีขอบเขตเฉพาะที่ถ้าทุกจุดในปริภูมิ เวกเตอร์เชิงทอพอโลยี มีบริเวณใกล้เคียงที่ภาพ ของจุดเหล่านั้น ภายใต้ ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี มีขอบเขต ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

ทฤษฎีบทต่อไปนี้เชื่อมโยงความมีขอบเขตเฉพาะที่ของฟังก์ชันกับความมีขอบเขตเฉพาะที่ของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี:

ทฤษฎีบท:ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีจะมีขอบเขตเฉพาะที่ก็ต่อเมื่อแผนที่เอกลักษณ์มีขอบเขตเฉพาะที่${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {id} _{X}:X\to X}$

• ปริภูมิบอร์โนโลจิคัล  – ปริภูมิที่ตัวดำเนินการที่มีขอบเขตเป็นแบบต่อเนื่อง
• ตัวดำเนินการแบบมีขอบเขต  – การแปลงเชิงเส้นชนิดหนึ่ง
• เซตที่มีขอบเขต (ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี)  – การวางนัยทั่วไปของแนวคิดเรื่องขอบเขต

• ข้อมูล PlanetMath สำหรับ Locally Bounded
• รายการ nLab สำหรับหมวดหมู่ที่จำกัดขอบเขตในพื้นที่