พารามิเตอร์ตำแหน่ง

ในทางสถิติพารามิเตอร์ตำแหน่งของการแจกแจงความน่าจะเป็นคือพารามิเตอร์ ที่มีค่าเป็นสเกลาร์หรือเวกเตอร์ ซึ่งกำหนด "ตำแหน่ง" หรือการเลื่อนของการแจกแจง ในเอกสารเกี่ยวกับการประมาณค่าพารามิเตอร์ตำแหน่ง พบว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นที่มีพารามิเตอร์ดังกล่าวได้รับการกำหนดอย่างเป็นทางการในรูปแบบที่เทียบเท่ากันอย่างใดอย่างหนึ่งดังต่อไปนี้: ${\displaystyle x_{0}}$

• ไม่ว่าจะเป็นฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นหรือฟังก์ชันมวลความน่าจะ^เป็น [ ^{1 ]}หรือ${\displaystyle f(x-x_{0})}$
• มีฟังก์ชันการกระจายสะสม ; ^{[ 2 ]}หรือ${\displaystyle F(x-x_{0})}$
• โดยกำหนดให้เป็นผลมาจากการแปลงตัวแปรสุ่มโดยที่เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการกระจายที่แน่นอน ซึ่งอาจไม่ทราบ^{[ 3 ]}ดูเพิ่มเติมที่§ สัญญาณรบกวนแบบบวก${\displaystyle x_{0}+X}$${\displaystyle X}$

ตัวอย่างโดยตรงของพารามิเตอร์ตำแหน่งคือพารามิเตอร์ของการแจกแจงปกติเพื่อให้เห็นภาพนี้ โปรดสังเกตว่าฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของการแจกแจงปกติสามารถแยกตัวประกอบพารามิเตอร์ออกมาได้และเขียนได้ดังนี้: ซึ่งตรงกับคำจำกัดความแรกที่กล่าวไว้ข้างต้น ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle f(x|\mu ,\sigma )}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle \mu }$$${\displaystyle g(x'=x-\mu |\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x'}{\sigma }}\right)^{2}\right)}$$

คำจำกัดความข้างต้นแสดงให้เห็นในกรณีหนึ่งมิติว่า หากค่าเพิ่มขึ้น ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นหรือฟังก์ชันมวลจะเลื่อนไปทางขวาอย่างคงที่ โดยรักษารูปทรงเดิมไว้ ${\displaystyle x_{0}}$

พารามิเตอร์ตำแหน่งยังสามารถพบได้ในกลุ่มที่มีพารามิเตอร์มากกว่าหนึ่งตัว เช่นกลุ่มตำแหน่ง-มาตราส่วนในกรณีนี้ ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นหรือฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นจะเป็นกรณีพิเศษของรูปแบบทั่วไป ที่คือพารามิเตอร์ตำแหน่งθแทนพารามิเตอร์เพิ่มเติม และคือฟังก์ชันที่กำหนดพารามิเตอร์บนพารามิเตอร์เพิ่มเติมเหล่านั้น $${\displaystyle f_{x_{0},\theta }(x)=f_{\theta }(x-x_{0})}$$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f_{\theta }}$

แหล่งที่มา: ^{[ 4 ]}

ให้เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นใดๆ และให้และเป็นค่าคงที่ใดๆ ที่กำหนดให้ แล้วฟังก์ชัน ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma >0}$

$${\displaystyle g(x|\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma }}f{\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}}$$

เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

กลุ่มตำแหน่งที่ตั้งจะถูกกำหนดดังต่อไปนี้:

ให้เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นใดๆ แล้วตระกูลของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น เรียกว่า ตระกูลตำแหน่ง โดยมีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นมาตรฐานโดยที่เรียกว่าพารามิเตอร์ตำแหน่งสำหรับตระกูลนี้ ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f(x-\mu ):\mu \in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \mu }$

อีกแนวทางหนึ่งในการทำความเข้าใจกลุ่มตำแหน่งคือการใช้แนวคิดของสัญญาณรบกวนแบบบวกถ้าเป็นค่าคงที่ และWเป็นสัญญาณรบกวน แบบสุ่ม ที่มีความหนาแน่นของความน่าจะเป็นแล้วจะมีความหนาแน่นของความน่าจะเป็นและการกระจายของมันจึงเป็นส่วนหนึ่งของกลุ่มตำแหน่ง ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f_{W}(w),}$${\displaystyle X=x_{0}+W}$${\displaystyle f_{x_{0}}(x)=f_{W}(x-x_{0})}$

สำหรับกรณีตัวแปรเดียวต่อเนื่อง ให้พิจารณาฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นโดยที่ เป็นเวกเตอร์ของพารามิเตอร์ สามารถเพิ่ม พารามิเตอร์ตำแหน่ง ได้โดยการกำหนด: สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็น pdf โดยการตรวจสอบว่าเป็นไปตามเงื่อนไขสองข้อ^{[ 5 ]}และ อินทิเก รตเป็น 1 เพราะ: ตอนนี้การเปลี่ยนตัวแปรและอัปเดตช่วงการอินทิเกรตตามนั้นให้ผลลัพธ์ดังนี้: เพราะเป็น pdf ตามสมมติฐานเป็นผลมาจากการใช้ภาพเดียวกันกับซึ่งเป็น pdf ดังนั้นช่วงของมันจึงอยู่ใน ${\displaystyle f(x|\theta ),x\in [a,b]\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle x_{0}}$$${\displaystyle g(x|\theta ,x_{0})=f(x-x_{0}|\theta ),\;x\in [a+x_{0},b+x_{0}]}$$${\displaystyle g}$${\displaystyle g(x|\theta ,x_{0})\geq 0}$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }g(x|\theta ,x_{0})dx=1}$${\displaystyle g}$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }g(x|\theta ,x_{0})dx=\int _{a+x_{0}}^{b+x_{0}}g(x|\theta ,x_{0})dx=\int _{a+x_{0}}^{b+x_{0}}f(x-x_{0}|\theta )dx}$$${\displaystyle u=x-x_{0}}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(u|\theta )du=1}$$${\displaystyle f(x|\theta )}$${\displaystyle g(x|\theta ,x_{0})\geq 0}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [0,1]}$

• แนวโน้มส่วนกลาง
• การทดสอบตำแหน่ง
• ตัวประมาณค่าคงที่
• พารามิเตอร์มาตราส่วน
• แบบจำลองการตัดสินใจสองช่วงเวลา

• "1.3.6.4. พารามิเตอร์ตำแหน่งและมาตราส่วน"สถาบันมาตรฐานและเทคโนโลยีแห่งชาติสืบค้นเมื่อ17 มีนาคม 2568