ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในสาขาพีชคณิตที่เรียกว่าทฤษฎีกลุ่มความยาวฟิตติ้ง (หรือความยาวนิลโพเทนต์ ) คือค่าที่ใช้วัดว่ากลุ่มที่แก้ได้นั้นอยู่ห่างจาก กลุ่มนิลโพเทนต์ มาก แค่ไหน แนวคิดนี้ตั้งชื่อตามฮันส์ ฟิตติ้งเนื่องจากงานวิจัยของเขาเกี่ยวกับกลุ่มย่อยปกติ ที่เป็นนิลโพเท นต์

โซ่ฟิตติ้ง (หรือชุดฟิตติ้งหรืออนุกรมนิลโพเทนต์สำหรับกลุ่มคืออนุกรมย่อยปกติที่มีผลหารนิลโพเท กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ลำดับจำกัดของกลุ่มย่อยที่รวมทั้งกลุ่มทั้งหมดและกลุ่มย่อยที่ไม่มีสมาชิกอื่น โดยที่แต่ละกลุ่มย่อยเป็นกลุ่มย่อยปกติของกลุ่มย่อยก่อนหน้า และผลหารของพจน์ที่ต่อเนื่องกันเป็นกลุ่มนิลโพเทนต์

ความยาวที่เหมาะสมหรือความยาวศูนย์ของกลุ่มถูกกำหนดให้เป็นความยาวที่สั้นที่สุดที่เป็นไปได้ของสายโซ่ที่เหมาะสม หากมีอยู่จริง

เช่นเดียวกับที่อนุกรมกลางบนและอนุกรมกลางล่างเป็นอนุกรมสุดขั้วในบรรดาอนุกรมกลางก็ยังมีอนุกรมที่คล้ายคลึงกันซึ่งเป็นอนุกรมสุดขั้วในบรรดาอนุกรมนิลโพเทนต์ด้วย

สำหรับกลุ่มจำกัดHกลุ่มย่อย Fitting Fit ( H ) คือกลุ่มย่อยปกติสูงสุดที่เป็นนิลโพเทนต์ ในขณะที่กลุ่มย่อยปกติขั้นต่ำที่ผลหารด้วยกลุ่มย่อยนั้นเป็นนิลโพเทนต์คือγ ( H ) ซึ่งเป็นจุดตัดของอนุกรมกลางล่าง (จำกัด) ซึ่งเรียกว่าเศษเหลือที่เป็นนิลโพเทนต์ สิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับศูนย์กลางและกลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์ (สำหรับอนุกรมกลางบนและล่างตามลำดับ) สิ่งเหล่านี้ใช้ไม่ได้กับกลุ่มอนันต์ ดังนั้นในส่วนต่อไป ให้ถือว่าทุกกลุ่มเป็นกลุ่มจำกัด

ลำดับFit สูงสุดของกลุ่มจำกัดคือลำดับของกลุ่มย่อยลักษณะเฉพาะFit ⁿ ( G ) ที่กำหนดโดยFit ⁰ ( G ) = 1 และFit ^{n +1} ( G )/ Fit ⁿ ( G ) = Fit (G/ Fit ⁿ ( G )) เป็นลำดับนิลโพเทนต์ที่เพิ่มขึ้น โดยในแต่ละขั้นจะเลือกกลุ่มย่อยที่ใหญ่ที่สุด ที่เป็นไปได้

ลำดับฟิตติ้งล่างของกลุ่มจำกัดGคือลำดับของกลุ่มย่อยลักษณะเฉพาะF ( G ) ที่กำหนดโดยF ( G ) = GและF ( G ) = γ ( F ( G )) เป็นลำดับนิลโพเทนต์แบบลดลง โดยในแต่ละขั้นจะเลือกกลุ่มย่อยที่เล็กที่สุด ที่เป็นไปได้

• กลุ่มที่ไม่ใช่กลุ่มย่อยจะมีขนาดความยาวที่เหมาะสมเท่ากับ 1 ก็ต่อเมื่อกลุ่มนั้นเป็นกลุ่มนิลโพเทนต์
• กลุ่มสมมาตรบนจุดสามจุดมีความยาวที่เหมาะสมเท่ากับ 2
• กลุ่มสมมาตรบนจุดสี่จุดมีความยาวที่เหมาะสมเท่ากับ 3
• กลุ่มสมมาตรที่มีจุดห้าจุดขึ้นไปไม่มีห่วงโซ่ที่เหมาะสมเลย จึงไม่สามารถหาคำตอบได้
• ผลคูณของพวงหรีดที่ทำซ้ำกันnครั้งของกลุ่มสมมาตรบนจุดสามจุด มีความยาวที่เหมาะสม2n

• กลุ่มจะมีห่วงโซ่ที่เหมาะสมก็ต่อเมื่อกลุ่มนั้นสามารถหาคำตอบได้
• ลำดับ Fitting ที่ต่ำกว่าจะเป็นห่วงโซ่ Fitting ก็ต่อเมื่อมันไปถึงกลุ่มย่อยที่ไม่สำคัญในที่สุด ก็ต่อเมื่อGสามารถหาคำตอบได้
• ลำดับ Fitting ด้านบนจะเป็นห่วงโซ่ Fitting ก็ต่อเมื่อในที่สุดมันจะไปถึงกลุ่มทั้งหมดGก็ต่อเมื่อGสามารถแก้ไขได้
• ลำดับ Fitting ล่างจะลดลงเร็วที่สุดในบรรดาสายโซ่ Fitting ทั้งหมด และลำดับ Fitting บนจะเพิ่มขึ้นเร็วที่สุดในบรรดาสายโซ่ Fitting ทั้งหมด กล่าวคือ สำหรับทุกสายโซ่ Fitting, 1 = H 0 H 1 … ⊲ H = Gจะได้ว่าH ≤ Fit ⁱ ( G ) และ F ( G ) ≤ H
• สำหรับกลุ่มที่แก้ได้ ความยาวของอนุกรม Fitting ล่างจะเท่ากับความยาวของอนุกรม Fitting บน และความยาวร่วมนี้คือความยาว Fitting ของกลุ่มนั้น

สามารถดูข้อมูลเพิ่มเติมได้ใน( Huppert 1967 , บทที่ III, §4 )

สิ่งที่อนุกรมกลางทำกับกลุ่มนิลโพเทนต์ อนุกรมฟิตติ้งก็ทำกับกลุ่มโซลเวเบิลเช่นกัน กลุ่มจะมีอนุกรมกลางก็ต่อเมื่อเป็นกลุ่มนิลโพเทนต์ และจะมีอนุกรมฟิตติ้งก็ต่อเมื่อเป็นกลุ่มโซลเวเบิล

เมื่อกำหนดกลุ่มที่แก้ได้แล้ว อนุกรม Fitting ล่างจะเป็นการแบ่งที่ "หยาบกว่า" อนุกรม Central ล่าง: อนุกรม Fitting ล่างจะให้อนุกรมสำหรับทั้งกลุ่ม ในขณะที่อนุกรม Central ล่างจะลดทอนจากทั้งกลุ่มไปยังพจน์แรกของอนุกรม Fitting เท่านั้น

ชุดอุปกรณ์ช่วงล่างมีดังนี้:

G = F ⊵ F ⊵ ⋯ ⊵ 1,

ในขณะที่ชุดข้อมูลกลางด้านล่างแบ่งย่อยขั้นตอนแรกออกไป

G = G ⊵ G ⊵ ⋯ ⊵ F ,

และเป็นการยกขึ้นของอนุกรมกลางล่างสำหรับผลหารแรกF / F ซึ่งเป็นศูนย์

การดำเนินการในลักษณะนี้ (โดยการยกอนุกรมกลางล่างขึ้นสำหรับแต่ละผลหารของอนุกรมการปรับให้เหมาะสม) จะได้อนุกรมย่อยปกติ:

G = G ⊵ G ⊵ ⋯ ⊵ F = F ⊵ F ⊵ ⋯ ⊵ F = F ⊵ ⋯ ⊵ F = 1,

เหมือนกับขีดแบ่งหยาบและละเอียดบนไม้บรรทัด

ผลหารที่ต่อเนื่องกันเป็นแบบอาเบเลียน ซึ่งแสดงให้เห็นถึงความเท่าเทียมกันระหว่างการหาคำตอบได้และการมีอนุกรมที่เหมาะสม

• ซีรีส์กลาง
• กลุ่ม 3 ขั้นตอน