ในพีชคณิตนามธรรมกลุ่มย่อยปกติ (เรียกอีกอย่างว่ากลุ่มย่อยไม่แปรเปลี่ยนหรือกลุ่มย่อยที่สมมูลตัวเอง ) ^{[ 1 ]}คือกลุ่มย่อยที่ไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การสมมูลโดยสมาชิกของกลุ่มที่เป็นส่วนหนึ่งของมัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง กลุ่มย่อยของกลุ่มจะเป็นปกติในก็ต่อเมื่อสำหรับทุกและสัญลักษณ์ปกติสำหรับความสัมพันธ์นี้คือ${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle gng^{-1}\in N}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle n\in N.}$${\displaystyle N\triangleleft G.}$

กลุ่มย่อยปกติมีความสำคัญเพราะว่ากลุ่มย่อยปกติ (และมีเพียงกลุ่มย่อยปกติเท่านั้น) สามารถใช้สร้างกลุ่มผลหารของกลุ่มที่กำหนดได้ ยิ่งไปกว่านั้น กลุ่มย่อยปกติของกลุ่มที่กำหนดก็คือแกนหลักของฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มที่มีโดเมนซึ่งหมายความว่าสามารถใช้กลุ่มย่อยปกติเหล่านี้ในการจำแนกประเภทฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมเหล่านั้นภายในกลุ่มได้ ${\displaystyle G}$${\displaystyle G,}$

Évariste Galoisเป็นคนแรกที่ตระหนักถึงความสำคัญของการมีอยู่ของกลุ่มย่อยปกติ^{[ 2 ]}

กลุ่มย่อย ของกลุ่มเรียกว่ากลุ่มย่อยปกติของ กลุ่ม ถ้ากลุ่มย่อยนั้นไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การผันแปรกล่าวคือ การผันแปรของสมาชิกของกลุ่มโดยสมาชิกของกลุ่มจะอยู่ใน^{[ 3 ]} สัญลักษณ์ปกติสำหรับความสัมพันธ์นี้คือ${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N.}$${\displaystyle N\triangleleft G.}$

สำหรับกลุ่มย่อยใดๆของเงื่อนไขต่อไปนี้ ถือว่าเทียบเท่ากับการเป็นกลุ่มย่อยปกติของดังนั้น จึงสามารถนำเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งมาใช้เป็นนิยามได้ ${\displaystyle N}$${\displaystyle G,}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G.}$

• ภาพของการผันคำนามโดยองค์ประกอบใดๆ ของเป็นเซตย่อยของ^{[ 4 ]}กล่าวคือสำหรับทุก${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N,}$${\displaystyle gNg^{-1}\subseteq N}$${\displaystyle g\in G}$
• ภาพของการผันคำของโดยองค์ประกอบใดๆ ของเท่ากับ^{[ 4 ]}กล่าวคือสำหรับทุก${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N,}$${\displaystyle gNg^{-1}=N}$${\displaystyle g\in G}$
• สำหรับโคเซตซ้ายและขวา ทั้งหมด และเท่ากัน^{[ 4 ]}${\displaystyle g\in G,}$${\displaystyle gN}$${\displaystyle Ng}$
• เซตของโคเซต ซ้ายและขวา ของin ตรงกัน^{[ 4 ]}${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$
• การคูณในจะรักษาความสัมพันธ์สมมูลที่ว่า "อยู่ในโคเซตซ้ายเดียวกันกับ" นั่นคือ สำหรับทุก ที่สอดคล้องกับและเราจะได้${\displaystyle G}$${\displaystyle g,g',h,h'\in G}$${\displaystyle gN=g'N}$${\displaystyle hN=h'N}$${\displaystyle (gh)N=(g'h')N.}$
• มีกลุ่มหนึ่งบนเซตของโคเซตซ้ายของซึ่งการคูณโคเซตซ้ายสองเซตใดๆกับจะได้โคเซตซ้าย(กลุ่มนี้เรียกว่ากลุ่มผลหารของมอดูลซึ่งเขียนแทนด้วย)${\displaystyle N}$${\displaystyle gN}$${\displaystyle hN}$${\displaystyle (gh)N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G/N}$
• ${\displaystyle N}$เป็นการรวมกันของคลาสการผันคำของ^{[ 2 ]}${\displaystyle G.}$
• ${\displaystyle N}$ได้รับการรักษาไว้โดยออโตมอร์ฟิซึมภายในของ^{[ 5 ]}${\displaystyle G.}$
• มีโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่ม บางอย่าง ที่มีเคอร์เนลเป็น^{[ 2 ]}${\displaystyle G\to H}$${\displaystyle N.}$
• มีกลุ่มโฮโมมอร์ฟิ ซึมอยู่กลุ่มหนึ่ง ซึ่งไฟเบอร์ ของกลุ่มนั้น ประกอบกันเป็นกลุ่มที่มีสมาชิกเอกลักษณ์คือและการคูณไฟเบอร์สองตัวใดๆกับจะได้ไฟเบอร์(กลุ่มนี้เป็นกลุ่มเดียวกับที่กล่าวถึงข้างต้น)${\displaystyle \phi :G\to H}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \phi ^{-1}(h_{1})}$${\displaystyle \phi ^{-1}(h_{2})}$${\displaystyle \phi ^{-1}(h_{1}h_{2})}$${\displaystyle G/N}$
• มีความสัมพันธ์สอดคล้องกันบางอย่างบนซึ่งชั้นสมมูลขององค์ประกอบเอกลักษณ์คือ${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$
• สำหรับทุกคนและตัวสลับสัญญาณก็อยู่ในนั้น${\displaystyle n\in N}$${\displaystyle g\in G,}$${\displaystyle [n,g]=n^{-1}g^{-1}ng}$${\displaystyle N.}$
• องค์ประกอบสองตัวใดๆ สลับที่กันได้ภายใต้ความสัมพันธ์การเป็นสมาชิกกลุ่มย่อยปกติ นั่นคือ สำหรับทุกก็ต่อเมื่อ${\displaystyle g,h\in G,}$${\displaystyle gh\in N}$${\displaystyle hg\in N.}$

สำหรับกลุ่มใดๆกลุ่มย่อยที่ไม่สำคัญซึ่งประกอบด้วยสมาชิกเอกลักษณ์เพียงอย่างเดียวของกลุ่มนั้นจะเป็นกลุ่มย่อยปกติของกลุ่มนั้นเสมอ ในทำนองเดียวกันกลุ่มนั้นเองก็เป็นกลุ่มย่อยปกติของกลุ่มนั้นเสมอ(ถ้ากลุ่มย่อยปกติเหล่านี้เป็นเพียงกลุ่มย่อยปกติเท่านั้น กลุ่มนั้นจะเรียกว่าเป็นกลุ่มย่อยแบบง่าย ) ^{[ 6 ]} กลุ่มย่อยปกติที่มีชื่ออื่นๆ ของกลุ่มใดๆ ได้แก่ศูนย์กลางของกลุ่ม (เซตของสมาชิกที่สลับตำแหน่งกับสมาชิกอื่นๆ ทั้งหมด) และกลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์^{[ 7 ] [ 8 ]} โดยทั่วไปแล้ว เนื่องจากคอนจูเกชันเป็นไอโซมอร์ฟิซึมกลุ่มย่อยลักษณะ เฉพาะใดๆ ก็ เป็นกลุ่มย่อยปกติ^{[ 9 ]}${\displaystyle G,}$${\displaystyle \{e\}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G.}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G.}$${\displaystyle G}$${\displaystyle [G,G].}$

ถ้าเป็นกลุ่มอาเบเลียนทุกกลุ่มย่อยของจะเป็นกลุ่มปกติ เพราะโดยทั่วไปแล้ว สำหรับกลุ่มใดๆทุกกลุ่มย่อยของศูนย์กลางของจะเป็นกลุ่มปกติใน(ในกรณีพิเศษที่เป็นกลุ่มอาเบเลียน ศูนย์กลางคือทั้งหมดของดังนั้นกลุ่มย่อยทั้งหมดของกลุ่มอาเบเลียนจึงเป็นกลุ่มปกติ) กลุ่มที่ไม่ใช่กลุ่มอาเบเลียน แต่ทุกกลุ่มย่อยเป็นกลุ่มปกติ เรียกว่ากลุ่มแฮมิลตัน^{[ 10 ]}${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle gN=\{gn\__{n\in N}=\{ng\__{n\in N}=Ng.}$${\displaystyle G}$${\displaystyle Z(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมของกลุ่มย่อยปกติคือกลุ่มย่อยของกลุ่มสมมาตรที่ประกอบด้วยเอกลักษณ์และวัฏจักรสามตัวทั้งสอง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สามารถตรวจสอบได้ว่าโคเซตทุกตัวของจะเท่ากับตัวมันเองหรือเท่ากับ ในทางกลับกัน กลุ่มย่อยไม่ปกติในเนื่องจาก^{[ 11 ]}สิ่งนี้แสดงให้เห็นข้อเท็จจริงทั่วไปว่ากลุ่มย่อยใดๆที่มีดัชนีสองเป็นกลุ่มย่อยปกติ ${\displaystyle N=\{(1),(123),(132)\}}$${\displaystyle S_{3},}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle (12)N=\{(12),(23),(13)\}.}$${\displaystyle H=\{(1),(12)\}}$${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle (123)H=\{(123),(13)\}\neq \{(123),(23)\}=H(123).}$${\displaystyle H\leq G}$

ตัวอย่างของกลุ่มย่อยปกติภายในกลุ่มเมทริกซ์พิจารณากลุ่มเชิงเส้นทั่วไป ของเมทริกซ์ผกผันได้ทั้งหมดที่มีสมาชิกเป็นจำนวนจริงภายใต้การดำเนินการคูณเมทริกซ์และกลุ่มย่อย ของ เมทริกซ์ทั้งหมดที่มีดีเทอร์มิแนนต์ เท่ากับ 1 ( กลุ่มเชิงเส้นพิเศษ ) เพื่อดูว่าทำไมกลุ่มย่อยจึงเป็นกลุ่มย่อยปกติในให้พิจารณาเมทริกซ์ใดๆในและเมทริกซ์ผกผันได้ใดๆจากนั้นใช้เอกลักษณ์สำคัญสองประการและจะได้ว่าและดังนั้นด้วยเช่นกัน ซึ่งหมายความว่า ปิดภายใต้การสังยุคในดังนั้นจึงเป็นกลุ่มย่อยปกติ^{[ a ]}${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)}$${\displaystyle \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}}$${\displaystyle \det(AXA^{-1})=\det(A)\det(X)\det(A)^{-1}=\det(X)=1}$${\displaystyle AXA^{-1}\in \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )}$

ในกลุ่มลูกบาศก์รูบิกกลุ่มย่อยที่ประกอบด้วยการดำเนินการซึ่งส่งผลต่อการวางแนวของชิ้นส่วนมุมหรือชิ้นส่วนขอบเท่านั้นถือเป็นปกติ^{[ 12 ]}

กลุ่มการแปลเป็นกลุ่มย่อยปกติของกลุ่มยุคลิดในมิติใดๆ^{[ 13 ]}ซึ่งหมายความว่า การใช้การแปลงแบบแข็ง ตามด้วยการแปล และจากนั้นการแปลงแบบแข็งผกผัน จะมีผลเช่นเดียวกับการแปลเพียงครั้งเดียว ในทางตรงกันข้าม กลุ่มย่อยของการหมุน ทั้งหมด รอบจุดกำเนิดไม่ใช่กลุ่มย่อยปกติของกลุ่มยุคลิด ตราบใดที่มิติมีอย่างน้อย 2: การแปลก่อน จากนั้นหมุนรอบจุดกำเนิด และจากนั้นแปลกลับ โดยทั่วไปจะไม่ตรึงจุดกำเนิด และดังนั้นจึงไม่มีผลเช่นเดียวกับการหมุนเพียงครั้งเดียวรอบจุดกำเนิด

• ถ้าเป็นกลุ่มย่อยปกติของและเป็นกลุ่มย่อยของที่มีแล้วเป็นกลุ่มย่อยปกติของ^{[ 14 ]}${\displaystyle H}$${\displaystyle G,}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H,}$${\displaystyle H}$${\displaystyle K.}$
• กลุ่มย่อยปกติของกลุ่มย่อยปกติของกลุ่มไม่จำเป็นต้องเป็นกลุ่มปกติในกลุ่มนั้น กล่าวคือ ความเป็นปกติไม่ใช่ความสัมพันธ์แบบถ่ายทอดกลุ่มที่เล็กที่สุดที่แสดงปรากฏการณ์นี้คือกลุ่มไดเฮดรัลอันดับ 8 ^{[ 15 ]}อย่างไรก็ตามกลุ่มย่อยลักษณะเฉพาะของกลุ่มย่อยปกติเป็นกลุ่มปกติ^{[ 16 ]}กลุ่มที่ความเป็นปกติเป็นแบบถ่ายทอดเรียกว่ากลุ่มT ^{[ 17 ]}
• ทั้งสองกลุ่มเป็นกลุ่มย่อยปกติของผลิตภัณฑ์โดยตรง ของพวกเขา${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G\times H.}$
• ถ้ากลุ่มนั้นเป็นผลิตภัณฑ์กึ่งทางตรงก็ถือว่าปกติแต่ไม่จำเป็นต้องปกติเสมอไป${\displaystyle G}$${\displaystyle G=N\rtimes H,}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G,}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G.}$
• ถ้าและเป็นกลุ่มย่อยปกติของกลุ่มบวกโดยที่และแล้ว^{[ 18 ]}${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G=M+N}$${\displaystyle M\cap N=\{0\}}$${\displaystyle G=M\oplus N.}$
• ความปกติจะถูกรักษาไว้ภายใต้โฮโมมอร์ฟิซึมแบบทั่วถึง^{[ 19 ]}นั่นคือ ถ้าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มแบบทั่วถึงและเป็นปกติในแล้วภาพจะเป็นปกติใน${\displaystyle G\to H}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G,}$${\displaystyle f(N)}$${\displaystyle H.}$
• ความปกติจะถูกรักษาไว้โดยการใช้ภาพผกผัน [ ^{19 ] นั่น}คือ ถ้าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มและปกติในแล้วภาพผกผันจะปกติใน${\displaystyle G\to H}$${\displaystyle N}$${\displaystyle H,}$${\displaystyle f^{-1}(N)}$${\displaystyle G.}$
• ความปกติจะคงอยู่เมื่อนำผลิตภัณฑ์โดยตรง มา ใช้^{[ 20 ]}นั่นคือ ถ้าและจากนั้น${\displaystyle N_{1}\triangleleft G_{1}}$${\displaystyle N_{2}\triangleleft G_{2},}$${\displaystyle N_{1}\times N_{2}\;\triangleleft \;G_{1}\times G_{2}.}$
• ทุกกลุ่มย่อยที่มีดัชนี 2 เป็นกลุ่มปกติ โดยทั่วไปแล้ว กลุ่มย่อยที่มีดัชนีจำกัดในจะมีกลุ่มย่อยที่เป็นกลุ่มปกติในและมีดัชนีที่หารลงตัวเรียกว่าแกนปกติโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นจำนวนเฉพาะที่เล็กที่สุดที่หารลงตัวอันดับของแล้วทุกกลุ่มย่อยที่มีดัชนีเป็นกลุ่มปกติ^{[ 21 ]}${\displaystyle H,}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle G}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle G}$${\displaystyle n!}$${\displaystyle p}$${\displaystyle G,}$${\displaystyle p}$
• ข้อเท็จจริงที่ว่ากลุ่มย่อยปกติของคือ เคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มที่กำหนดบนอธิบายถึงความสำคัญของกลุ่มย่อยปกติบางประการ กล่าวคือ เป็นวิธีหนึ่งในการจำแนกโฮโมมอร์ฟิซึมทั้งหมดที่กำหนดบนกลุ่มภายใน ตัวอย่างเช่น กลุ่มจำกัดที่ไม่ใช่เอกลักษณ์จะเป็นกลุ่มง่ายก็ต่อเมื่อมันสมสัณฐานกับภาพโฮโมมอร์ฟิซึมที่ไม่ใช่เอกลักษณ์ทั้งหมด^{[ 22 ]}กลุ่มจำกัดจะเป็นกลุ่มสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อมันไม่มีกลุ่มย่อยปกติที่มีดัชนี เฉพาะ และกลุ่มจะเป็นกลุ่มไม่สมบูรณ์ก็ต่อเมื่อกลุ่มย่อยที่ได้มาไม่ได้เสริมด้วยกลุ่มย่อยปกติที่เหมาะสมใดๆ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

กำหนดให้มีกลุ่มย่อยปกติสองกลุ่มและผล รวม ของกลุ่มย่อยทั้งสองนั้นก็เป็นกลุ่มย่อยปกติเช่นกัน${\displaystyle N}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle G,}$${\displaystyle N\cap M}$${\displaystyle NM=\{nm:n\in N\;{\text{ and }}\;m\in M\}}$${\displaystyle G.}$

กลุ่มย่อยปกติของก่อให้เกิดแลตทิซภายใต้การรวมเซตย่อยโดยมีสมาชิกที่เล็กที่สุดคือและสมาชิกที่ใหญ่ที่สุดคือการรวมของกลุ่มย่อยปกติสองกลุ่มและในแลตทิซนี้ คือการตัดกันของกลุ่มย่อยทั้งสอง และการเชื่อมต่อ ของกลุ่มย่อยทั้งสอง คือผลคูณของกลุ่ม ย่อยทั้งสอง${\displaystyle G}$${\displaystyle \{e\},}$${\displaystyle G.}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M,}$

โครงตาข่ายสมบูรณ์และเป็นแบบโมดูลาร์^{[ 20 ]}

ถ้าเป็นกลุ่มย่อยปกติ เราสามารถกำหนดการคูณบนโคเซตได้ดังนี้: ความสัมพันธ์นี้กำหนดการแมปเพื่อแสดงว่าการแมปนี้กำหนดไว้อย่างดี จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าการเลือกสมาชิกตัวแทนไม่มีผลต่อผลลัพธ์ เพื่อจุดประสงค์นี้ ให้พิจารณาสมาชิกตัวแทนอื่นๆจากนั้นจะมีที่ทำให้ เป็นผลให้โดยที่เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเป็น กลุ่มย่อย ปกติ ด้วย ดังนั้นจึงมีที่ทำให้สิ่งนี้พิสูจน์ได้ว่าผลคูณนี้เป็นการแมปที่กำหนดไว้อย่างดีระหว่างโคเซต ${\displaystyle N}$$${\displaystyle \left(a_{1}N\right)\left(a_{2}N\right):=\left(a_{1}a_{2}\right)N.}$$${\displaystyle G/N\times G/N\to G/N.}$${\displaystyle a_{1},a_{2}}$${\displaystyle a_{1}'\in a_{1}N,a_{2}'\in a_{2}N.}$${\displaystyle n_{1},n_{2}\in N}$${\displaystyle a_{1}'=a_{1}n_{1},a_{2}'=a_{2}n_{2}.}$$${\displaystyle a_{1}'a_{2}'N=a_{1}n_{1}a_{2}n_{2}N=a_{1}a_{2}n_{1}'n_{2}N=a_{1}a_{2}N,}$$${\displaystyle N}$${\displaystyle n_{1}'\in N}$${\displaystyle n_{1}a_{2}=a_{2}n_{1}'.}$

ด้วยการดำเนินการนี้ เซตของโคเซตเองก็เป็นกลุ่มที่เรียกว่ากลุ่มผลหารและแสดงด้วยมีโฮโมมอร์ฟิซึม ตามธรรมชาติ ที่กำหนดโดยโฮโมมอร์ฟิซึมนี้แมปไปยังองค์ประกอบเอกลักษณ์ของซึ่งก็คือโคเซต^{[ 23 ]}นั่นคือ${\displaystyle G/N.}$${\displaystyle f:G\to G/N,}$${\displaystyle f(a)=aN.}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G/N,}$${\displaystyle eN=N,}$${\displaystyle \ker(f)=N.}$

โดยทั่วไป โฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มจะส่งกลุ่มย่อยของไปยังกลุ่มย่อยของนอกจากนี้ ภาพผกผันของกลุ่มย่อยใดๆ ของ ก็เป็นกลุ่มย่อยของเราเรียกภาพผกผันของกลุ่มที่ไม่สำคัญใน ว่าเคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึม และใช้สัญลักษณ์ แทนดังที่ปรากฏ เคอร์เนลจะเป็นปกติเสมอ และภาพของ จะเป็น ไอโซมอร์ฟิกกับเสมอ( ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมข้อแรก ) ^{[ 24 ]}ในความเป็นจริง การจับคู่นี้เป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตของกลุ่มผลหารทั้งหมดของและเซตของภาพโฮโมมอร์ฟิกทั้งหมดของ( ขึ้นอยู่กับไอโซมอร์ฟิซึม) ^{[ 25 ]}นอกจากนี้ยังเห็นได้ง่ายว่าเคอร์เนลของแผนที่ผลหารคือตัวมันเอง ดังนั้นกลุ่มย่อยปกติจึงเป็นเคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึมที่มีโดเมน^{[ 26 ]}${\displaystyle f:G\to H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H.}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G.}$${\displaystyle \{e\}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \ker f.}$${\displaystyle G,f(G),}$${\displaystyle G/\ker f}$${\displaystyle G,G/N,}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f:G\to G/N,}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G.}$

• ในหนังสือ Herstein , Topics in algebra. ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง. สำนักพิมพ์ Xerox College Publishing, Lexington, Mass.-Toronto, Ont., 1975. xi+388 หน้า.

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "กลุ่มย่อยปกติ" . MathWorld .
• กลุ่มย่อยปกติในสารานุกรมคณิตศาสตร์ของสปริงเกอร์
• โรเบิร์ต แอช: หลักการพื้นฐานของกลุ่มในพีชคณิตนามธรรม ปีการศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาขั้นพื้นฐาน
• ทิโมธี โกเวอร์ส, กลุ่มย่อยปกติและกลุ่มผลหาร
• จอห์น เบซ, กลุ่มย่อยปกติคืออะไร?