ในทางคณิตศาสตร์ เซมิกรุปคือโครงสร้างพีชคณิตที่ประกอบด้วยเซตพร้อมกับการดำเนินการภายใน แบบทวิภาค ที่สัมพันธ์กันบนเซตนั้น ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์คำนี้ยังปรากฏในทฤษฎีของเซมิกรุปตัวดำเนินการพารามิเตอร์เดียวด้วย ดู เซมิกรุ ป C0

การดำเนินการทวิภาคของเซมิกรุปมักจะแสดงด้วยสัญลักษณ์การคูณ: หรือเรียกง่ายๆ ว่าซึ่งหมายถึงผลลัพธ์ของการใช้การดำเนินการเซมิกรุปกับคู่ลำดับ การจัดกลุ่ม (Associativity) แสดงอย่างเป็นทางการว่าสำหรับทุกและในเซมิกรุป ตัวอย่างของเซมิกรุปคือเซมิกรุปที่เกิดจากการต่อสตริงซึ่งเป็นการเชื่อมต่อสตริง เข้าด้วยกัน ตัวอย่างเช่น การต่อสตริง "spot" และ "run" คือสตริง "spot" • "run" = "spot run" การจัดกลุ่มหมายความว่า ${\displaystyle x\cdot y}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$

"See " • ("spot " • "run") = "See " • "spot run" = "See spot run" = "See spot " • "run" = ("See " • "spot ") • "run".

การศึกษาเซมิกรุปอย่างเป็นทางการเริ่มต้นขึ้นในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ผลงานในช่วงแรกๆ ได้แก่ทฤษฎีบทของเคย์ลีย์สำหรับเซมิกรุป ซึ่ง ทำให้เซมิกรุปใดๆ กลายเป็นเซมิกรุปการแปลงโดยที่ฟังก์ชันใดๆ เข้ามาแทนที่บทบาทของการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งในทฤษฎีกลุ่ม ผลลัพธ์ที่สำคัญในการจำแนกประเภทของเซมิกรุปจำกัดคือทฤษฎีบทโครห์น-โรดส์ซึ่งคล้ายคลึงกับการแยกส่วนแบบจอร์แดน-โฮลเดอร์สำหรับกลุ่มจำกัด เทคนิคอื่นๆ ในการศึกษาเซมิกรุป เช่นความสัมพันธ์ของกรีนไม่ได้คล้ายคลึงกับสิ่งใดๆ ในทฤษฎีกลุ่มเลย

ทฤษฎีเซมิกรุปจำกัดมีความสำคัญอย่างยิ่งในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีตั้งแต่ทศวรรษ 1950 เนื่องจากการเชื่อมโยงตามธรรมชาติระหว่างเซมิกรุปจำกัดและออโตมาตาจำกัดผ่านโมโนอิดเชิงไวยากรณ์ในทฤษฎีความน่าจะเป็นเซมิกรุปมีความเกี่ยวข้องกับกระบวนการมาร์คอฟ [ ^{1 ] ใน}สาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ประยุกต์เซมิกรุปเป็นแบบจำลองพื้นฐานสำหรับระบบเชิงเส้นที่ไม่เปลี่ยนแปลง ตามเวลา ในสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเซมิกรุปมีความเกี่ยวข้องกับสมการใดๆ ที่วิวัฒนาการเชิงพื้นที่ไม่ขึ้นอยู่กับเวลา

เซมิกรุปอาจถือได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของแมกมาซึ่งการดำเนินการเป็นแบบสมาคม หรือเป็นการวางนัยทั่วไปของกลุ่มโดยไม่จำเป็นต้องมีองค์ประกอบเอกลักษณ์หรือตัวผกผัน^[ก]เช่นเดียวกับกรณีของกลุ่มหรือแมกมา การดำเนินการของเซมิกรุปไม่จำเป็นต้องเป็นแบบสลับที่ได้ดังนั้น จึงไม่จำเป็นต้องเท่ากับ; ตัวอย่างที่รู้จักกันดีของการดำเนินการที่เป็นแบบสมาคมแต่ไม่สลับที่ได้คือการคูณเมทริกซ์หากการดำเนินการของเซมิกรุปเป็นแบบสลับที่ได้ เซมิกรุปนั้นจะเรียกว่าเซมิกรุปแบบสลับที่ได้หรือ (น้อยกว่าในกรณีที่คล้ายคลึงกันของกลุ่ม ) อาจเรียกว่า เซมิกรุ ป แบบอาเบเลียน${\displaystyle x\cdot y}$${\displaystyle y\cdot x}$

โมโนอิด (Monoid)คือโครงสร้างทางพีชคณิตที่อยู่ระหว่างเซมิกรุป (Semigroup) และกรุป (Group) และเป็นเซมิกรุปที่มี เอกลักษณ์ (Identity element ) ดังนั้นจึงเป็นไปตามสัจพจน์ทั้งหมดของกลุ่ม ยกเว้นเพียงข้อเดียว คือ โมโนอิดไม่จำเป็นต้องมีตัวผกผัน ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดเจนคือสตริงที่มีการต่อกันเป็นตัวดำเนินการทวิภาค และสตริงว่างเป็นเอกลักษณ์ การจำกัดเฉพาะสตริง ที่ไม่ว่าง จะให้ตัวอย่างของเซมิกรุปที่ไม่ใช่โมโนอิดจำนวนเต็มบวกที่มีการบวกกันจะสร้างเซมิกรุปสลับที่ซึ่งไม่ใช่โมโนอิด ในขณะที่จำนวนเต็มที่ ไม่เป็นลบ จะสร้างโมโนอิดได้ เซมิกรุปที่ไม่มีเอกลักษณ์สามารถเปลี่ยนเป็นโมโนอิดได้ง่ายๆ โดยการเพิ่มเอกลักษณ์เข้าไป ดังนั้น โมโนอิดจึงถูกศึกษาในทฤษฎีเซมิกรุปมากกว่าในทฤษฎีกลุ่ม เซมิกรุปไม่ควรสับสนกับควาซิกรุป (Quasigroup ) ซึ่งเป็นการขยายความของกลุ่มในทิศทางที่แตกต่างกัน การดำเนินการในควาซิกรุปไม่จำเป็นต้องเป็นแบบสมาคม แต่ควาซิกรุป ยังคงรักษา แนวคิดเรื่องการหารจากกรุปเอาไว้ การหารในเซมิกรุป (หรือในโมโนอิด) โดยทั่วไปแล้วเป็นไปไม่ได้

มีเซมิกรุปประเภทพิเศษ มากมาย เซมิกรุปที่มีคุณสมบัติเพิ่มเติม ซึ่งปรากฏในแอปพลิเคชันเฉพาะบางอย่าง เซมิกรุปบางประเภทมีความใกล้เคียงกับกลุ่มมากขึ้นด้วยการแสดงคุณสมบัติเพิ่มเติมบางอย่าง แต่ไม่ใช่ทั้งหมดของกลุ่ม ตัวอย่างเช่นเซมิกรุปปกติเซ มิกรุ ปออร์โธ ดอกซ์ เซมิกรุปที่มีการผกผันเซมิกรุปผกผันและเซมิกรุปแบบตัดทอนนอกจากนี้ยังมีเซมิกรุปประเภทที่น่าสนใจซึ่งไม่มีกลุ่มใด ๆ ยกเว้นกลุ่มย่อยตัวอย่างของประเภทหลังนี้ได้แก่แบนด์และเซมิแลตทิซ ซึ่งเป็นโครงสร้างพีชคณิตแบบเรียงลำดับ เช่นกัน

เซมิกรุป คือเซต พร้อมกับการดำเนินการทวิภาค (กล่าวคือฟังก์ชัน ) ที่สอดคล้องกับสมบัติการสลับที่ : ${\displaystyle S}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle \cdot :S\times S\to S}$

สำหรับทุกกรณีสมการนี้ยังคงเป็นจริง${\displaystyle a,b,c\in S}$${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$

กล่าวโดยสรุป เซมิกรุปคือแมกมา แบบเชื่อมโยง กัน

• เซมิกรุปว่าง : เซตว่างก่อให้เกิดเซมิกรุปที่มีฟังก์ชันว่างเป็นตัวดำเนินการทวิภาค
• เซมิกรุปที่มีสมาชิกหนึ่งตัว : โดยพื้นฐานแล้วมีเพียงหนึ่งตัว (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีเพียงหนึ่งตัวเมื่อพิจารณาถึงไอโซมอร์ฟิซึม ) ซึ่งเป็นสมาชิกเดี่ยวที่มีการดำเนินการ${\displaystyle \{a\}}$${\displaystyle a\cdot a=a}$
• เซมิกรุปที่มีสององค์ประกอบ : มีอยู่ห้าแบบที่แตกต่างกันโดยพื้นฐาน
• เซมิกรุปว่างบนเซตที่ไม่ว่างใดๆ ที่มีศูนย์ที่เลือกไว้ หรือเซมิกรุปศูนย์ซ้าย/ขวาบนเซตใดๆ
• โมโนอิด "ฟลิปฟลอป" คือเซมิกรุปที่มีสามองค์ประกอบซึ่งแทนการดำเนินการสามอย่างบนสวิตช์ ได้แก่ ตั้งค่า รีเซ็ต และไม่ทำอะไรเลย โมโนอิดนี้มีบทบาทสำคัญในทฤษฎีโครห์น-โรดส์
• เซตของจำนวนเต็ม บวก ที่มีการบวก (หากรวม 0 ด้วย จะกลายเป็นโมโนอิด )
• เซตของจำนวนเต็มที่มีค่าต่ำสุดหรือสูงสุด (หากรวมอนันต์บวก/ลบเข้าไปด้วย จะกลายเป็นโมโนอิด)
• แปลงเมทริกซ์ที่ไม่เป็นลบที่มีขนาดที่กำหนดให้เป็นเมทริกซ์จัตุรัส ด้วยการคูณเมทริกซ์
• อุดมคติใดๆของวงแหวนที่มีการคูณของวงแหวนนั้น
• เซตของสตริง จำกัดทั้งหมด บนตัวอักษรคงที่ซึ่งมีการต่อสตริงเป็นการดำเนินการเซมิกรุป—เรียกว่าเซมิกรุปอิสระเหนือเมื่อรวมสตริงว่างเข้าไปด้วย เซมิกรุปนี้จะกลายเป็นโมโนอิดอิสระเหนือ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma }$
• การแจกแจงความน่าจะ เป็นพร้อมกับกำลังการสังเคราะห์ ทั้งหมด ของโดยใช้การสังเคราะห์เป็นตัวดำเนินการ สิ่งนี้เรียกว่าเซมิกรุปการสังเคราะห์${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$
• เซมิกรุปการแปลงและโมโนอิด
• เซตของฟังก์ชันต่อ เนื่องจาก ปริภูมิ เชิงทอพอโลยีไปยังตัวมันเอง โดยมีการประกอบฟังก์ชัน จะก่อให้เกิดโมโนอิด โดยมีฟังก์ชันเอกลักษณ์ทำหน้าที่เป็นเอกลักษณ์ โดยทั่วไปแล้วเอนโดมอร์ฟิซึมของวัตถุใดๆ ในหมวดหมู่จะก่อให้เกิดโมโนอิดภายใต้การประกอบฟังก์ชัน
• ผลคูณของหน้าต่างๆ ของการจัดเรียงระนาบหลายมิติ

เอกลักษณ์ซ้ายของเซมิกรุป(หรือโดยทั่วไปคือแมกมา ) คือ สมาชิกที่มีคุณสมบัติว่า สำหรับทุก ในแล้ว ในทำนองเดียวกันเอกลักษณ์ขวาคือ สมาชิกที่มีคุณสมบัติว่า สำหรับทุกใน แล้วเอกลักษณ์ซ้ายและขวาต่างก็เรียกว่าเอกลักษณ์ด้านเดียวเซมิกรุปอาจมีเอกลักษณ์ซ้ายหนึ่งตัวหรือมากกว่า แต่ไม่มีเอกลักษณ์ขวา และในทางกลับกัน ${\displaystyle S}$${\displaystyle e}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle e\cdot x=x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x\cdot f=x}$

เอกลักษณ์สองด้าน (หรือเรียกสั้น ๆ ว่าเอกลักษณ์ ) คือองค์ประกอบที่เป็นทั้งเอกลักษณ์ด้านซ้ายและด้านขวา เซมิกรุปที่มีเอกลักษณ์สองด้านเรียกว่าโมโนอิดเซมิกรุปอาจมีเอกลักษณ์สองด้านได้มากที่สุดหนึ่งตัว หากเซมิกรุปมีเอกลักษณ์สองด้าน เอกลักษณ์สองด้านนั้นจะเป็นเอกลักษณ์ด้านเดียวเพียงตัวเดียวในเซมิกรุป หากเซมิกรุปมีทั้งเอกลักษณ์ด้านซ้ายและเอกลักษณ์ด้านขวา เซมิกรุปนั้นจะมีเอกลักษณ์สองด้าน (ซึ่งจึงเป็นเอกลักษณ์ด้านเดียวเพียงตัวเดียว)

เซมิกรุปที่ไม่มีเอกลักษณ์สามารถฝังอยู่ในโมโนอิดที่สร้างขึ้นโดยการเพิ่มองค์ประกอบให้กับและกำหนดสำหรับทุก[ ^{2 ] [ 3 ] สัญลักษณ์}แสดงถึงโมโนอิดที่ได้จากโดยการเพิ่มเอกลักษณ์หากจำเป็น ( สำหรับโมโนอิด) ^{[ 3 ]}${\displaystyle S}$${\displaystyle e\notin S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle e\cdot s=s\cdot e=s}$${\displaystyle s\in S\cup \{e\}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S^{1}=S}$

ในทำนองเดียวกัน แมกมาทุกก้อนจะมี องค์ประกอบดูดซับอย่างมากที่สุดเพียงหนึ่งเดียวซึ่งในทฤษฎีเซมิกรุปเรียกว่าศูนย์ ในทำนองเดียวกันกับการสร้างข้างต้น สำหรับเซมิกรุปทุกก้อนเราสามารถกำหนดเซมิกรุปที่มีศูนย์ซึ่งฝังตัวอยู่ได้ ${\displaystyle S}$${\displaystyle S^{0}}$${\displaystyle S}$

การดำเนินการกับเซมิกรุปเหนี่ยวนำให้เกิดการดำเนินการกับกลุ่มของเซตย่อยของมัน: เมื่อกำหนดเซตย่อยและของเซมิกรุปผลคูณของเซตย่อยเหล่านั้นซึ่งมักเขียนเป็นคือเซต(แนวคิดนี้ถูกนิยามเหมือนกับที่ใช้กับกรุป ) ในแง่ของการดำเนินการนี้ เซตย่อยเรียกว่า ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A\cdot B}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle \{ab\mid a\in A{\text{ and }}b\in B\}}$${\displaystyle A}$

• เซมิกรุปย่อยถ้าเป็นเซตย่อยของ${\displaystyle AA}$${\displaystyle A}$
• อุดมคติที่ถูกต้องก็ต่อเมื่อเป็นเซตย่อยของและ${\displaystyle AS}$${\displaystyle A}$
• อุดมคติซ้ายถ้าเป็นเซตย่อยของ${\displaystyle SA}$${\displaystyle A}$

ถ้าเป็นทั้งอุดมคติซ้ายและอุดมคติขวาแล้ว จะเรียกว่าอุดมคติ (หรืออุดมคติสองด้าน ) ${\displaystyle A}$

ถ้าเป็นเซมิกรุปแล้ว อินเตอร์เซกชันของกลุ่มเซมิกรุปย่อยใดๆ ของก็จะเป็นเซมิกรุปย่อยของ ด้วยดังนั้น เซมิกรุปย่อยของ จึงประกอบกันเป็น แลตทิ ซ ที่สมบูรณ์${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

ตัวอย่างหนึ่งของเซมิกรุปที่ไม่มีไอเดียลขั้นต่ำคือเซตของจำนวนเต็มบวกภายใต้การบวก ไอเดียลขั้นต่ำของ เซมิกรุป สลับที่เมื่อมีอยู่ จะเป็นกลุ่ม

ความสัมพันธ์ของกรีนซึ่งเป็นชุดความสัมพันธ์สมมูล ห้าประการ ที่บ่งบอกลักษณะขององค์ประกอบต่างๆ ในแง่ของอุดมคติหลักที่พวกมันสร้างขึ้น เป็นเครื่องมือสำคัญสำหรับการวิเคราะห์อุดมคติของเซมิกรุปและแนวคิดโครงสร้างที่เกี่ยวข้อง

เซตย่อยที่มีคุณสมบัติที่สมาชิกทุกตัวสลับตำแหน่งกับสมาชิกอื่นใดของเซมิกรุปเรียกว่าศูนย์กลางของเซมิกรุป^{[ 4 ]}ศูนย์กลางของเซมิกรุปเป็นเซมิกรุปย่อย^{[ 5 ]}

โฮโมมอร์ฟิซึมของเซมิกรุปคือฟังก์ชันที่รักษาโครงสร้างของเซมิกรุปไว้ ฟังก์ชันระหว่างสองเซมิกรุปจะเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมก็ต่อเมื่อสมการ ${\displaystyle f:S\to T}$

${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$.

ใช้ได้กับทุกองค์ประกอบในกล่าวคือ ผลลัพธ์จะเหมือนกันเมื่อทำการดำเนินการเซมิกรุปหลังจากหรือก่อนการใช้แผนที่ ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$

โฮโมมอร์ฟิซึมของเซมิกรุประหว่างโมโนอิดจะรักษาเอกลักษณ์ไว้ได้ก็ต่อเมื่อมันเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของโมโนอิดแต่ก็มีโฮโมมอร์ฟิซึมของเซมิกรุปที่ไม่ใช่โฮโมมอร์ฟิซึมของโมโนอิดอยู่ด้วย เช่น การฝังแบบแคนอนิกของเซมิกรุปที่ไม่มีเอกลักษณ์ลงในเงื่อนไขที่บ่งบอกลักษณะของโฮโมมอร์ฟิซึมของโมโนอิดจะกล่าวถึงต่อไป ให้เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของเซมิกรุป ภาพของก็ เป็น เซมิกรุปเช่นกัน ถ้าเป็น โมโนอิดที่ มีเอกลักษณ์ แล้ว ก็ มีเอกลักษณ์ในภาพของ ถ้า เป็นโมโนอิดที่มีเอกลักษณ์และอยู่ในภาพของแล้วนั่นคือ เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของโมโนอิด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นการส่งแบบทั่วถึงแล้ว ก็เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของโมโนอิด ${\displaystyle S}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle f:S_{0}\to S_{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle e_{0}}$${\displaystyle f(e_{0})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(e_{0})=e_{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

เซมิกรุปสองกลุ่มและจะเรียกว่าเป็นไอโซมอร์ฟิกกันหากมีโฮโมมอร์ฟิซึมของเซมิกรุปแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงเซมิกรุปที่เป็นไอโซมอร์ฟิกกันจะมีโครงสร้างเหมือนกัน ${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle f:S\to T}$

ความสอดคล้องของเซมิกรุป คือความสัมพันธ์สมมูลที่เข้ากันได้กับการดำเนินการของเซมิกรุป กล่าวคือ เซตย่อยที่เป็นความสัมพันธ์สมมูลและและหมายความว่าสำหรับทุกในเช่นเดียวกับความสัมพันธ์สมมูลใดๆ ความสอดคล้องของเซมิกรุปจะเหนี่ยวนำให้เกิดชั้นความสอดคล้อง${\displaystyle \sim }$${\displaystyle \sim \,\subseteq S\times S}$${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle u\sim v}$${\displaystyle xu\sim yv}$${\displaystyle x,y,u,v}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \sim }$

${\displaystyle [a]=\{x\in S\mid x\sim a\}}$

และการดำเนินการเซมิกรุปเหนี่ยวนำให้เกิดการดำเนินการทวิภาคบนชั้นความสอดคล้อง: ${\displaystyle \circ }$

${\displaystyle [u]\circ [v]=[uv]}$.

เนื่องจากเป็นการสมมูลกัน เซตของชั้นสมมูลทั้งหมดของก่อให้เกิดเซมิกรุปที่มีเรียกว่าเซมิกรุปผลหารหรือเซมิกรุปตัวประกอบและใช้สัญลักษณ์ แทนการแมปเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของเซมิกรุป เรียกว่าแผนที่ผลหารการฉายภาพแบบแคนอนิกหรือการฉายภาพถ้าเป็นโมโนอิดแล้ว เซมิกรุปผลหารจะเป็นโมโนอิดที่มีเอกลักษณ์ในทางกลับกันเคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึมของเซมิกรุปใดๆ ก็เป็นสมมูลของเซมิกรุป ผลลัพธ์เหล่านี้เป็นเพียงการจำแนกเฉพาะของทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมแรกในพีชคณิตสากล ชั้นสมมูลและโมโนอิดตัวประกอบเป็นวัตถุของการศึกษาในระบบการเขียนสตริงใหม่ ${\displaystyle \sim }$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle \circ }$${\displaystyle S/\!\sim }$${\displaystyle x\mapsto [x]}$${\displaystyle S}$${\displaystyle [1]}$

ความสอดคล้องของนิวเคลียร์บนคือที่เป็นแกนหลักของเอนโดมอร์ฟิซึมของ^{[ 6 ]}${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

เซมิกรุปจะสอดคล้องกับเงื่อนไขสูงสุดบนคอนกรุเอนซ์หากตระกูลคอนกรุเอนซ์ใดๆ บนเรียงลำดับตามการรวม มีองค์ประกอบสูงสุด ตามทฤษฎีบทของ Zornสิ่งนี้เทียบเท่ากับการกล่าวว่าเงื่อนไขโซ่ขึ้นเป็นจริง: ไม่มีโซ่คอนกรุเอนซ์ขึ้นอย่างเคร่งครัดอนันต์บน^{[ 7 ]}${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

อุดมคติทุกประการของเซมิกรุปจะเหนี่ยวนำให้เกิดเซมิกรุปแฟกเตอร์ ซึ่งก็คือเซมิกรุปแฟกเตอร์ของรีสผ่านความสอดคล้องที่กำหนดโดยถ้า หรือหรือทั้งและอยู่ใน ${\displaystyle I}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle x\rho y}$${\displaystyle x=y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle I}$

แนวคิดต่อไปนี้^{[ 8 ]}แนะนำแนวคิดที่ว่าเซมิกรุปหนึ่งบรรจุอยู่ในเซมิกรุปอื่น

เซมิกรุปTเป็นผลหารของเซมิกรุปSก็ต่อเมื่อมีมอร์ฟิซึมเซมิกรุปแบบทั่วถึงจากSไปยังTตัวอย่างเช่น( Z /2 Z , +)เป็นผลหารของ( Z /4 Z , +)โดยใช้มอร์ฟิซึมที่ประกอบด้วยการหาเศษเหลือมอดูลัส 2 ของจำนวนเต็ม

เซมิกรุปTหารเซมิกรุปS ได้ลงตัว โดยเขียนแทนด้วยT ≼ Sถ้าTเป็นผลหารของเซมิกรุปย่อยSโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เซมิกรุปย่อยของSจะหารT ได้ลงตัว ในขณะที่ผลหารของSนั้น อาจไม่ใช่เช่นนั้นเสมอไป

ความสัมพันธ์ทั้งสองนั้นเป็นความสัมพันธ์แบบถ่ายทอดได้

สำหรับเซตย่อยA ใดๆ ของSจะมีเซมิกรุปย่อยT ที่เล็กที่สุด ของSที่บรรจุA อยู่ และเรากล่าวว่าA สร้างTสมาชิกx เพียงตัวเดียว ของSสร้างเซมิกรุปย่อย{ x ⁿ | n ∈ Z ⁺ }ถ้าเซมิกรุปนี้มีจำนวนจำกัดxจะมีอันดับจำกัดมิฉะนั้นจะมีอันดับอนันต์เซมิกรุปจะเรียกว่าเป็นคาบถ้าสมาชิกทั้งหมดของมันมีอันดับจำกัด เซมิกรุปที่สร้างโดยสมาชิกเพียงตัวเดียวเรียกว่าเป็นโมโนจีนิก (หรือไซคลิก ) ถ้าเซมิกรุปโมโนจีนิกมีจำนวนอนันต์ มันจะสม isomorphic กับเซมิกรุปของจำนวนเต็ม บวกที่มีการดำเนินการบวก ถ้ามันมีจำนวนจำกัดและไม่ว่างเปล่า มันจะต้องมี ตัวผกผันอย่างน้อยหนึ่งตัวดังนั้น เซมิกรุปคาบที่ไม่ว่างเปล่าทุกตัวจะต้องมีตัวผกผันอย่างน้อยหนึ่งตัว

เซมิกรุปย่อยที่เป็นกลุ่มด้วย เรียกว่ากรุปย่อยมีความสัมพันธ์ใกล้ชิดระหว่างกรุปย่อยของเซมิกรุปและตัวประกอบเอกลักษณ์ของมัน แต่ละกรุปย่อยมีตัวประกอบเอกลักษณ์เพียงตัวเดียว นั่นคือ สมาชิกเอกลักษณ์ของกรุปย่อยนั้น สำหรับตัวประกอบเอกลักษณ์e แต่ละตัว ของเซมิกรุป จะมีกรุปย่อยสูงสุดที่ไม่ซ้ำกันเพียงกลุ่มเดียวที่ประกอบด้วยeแต่ละกรุปย่อยสูงสุดเกิดขึ้นในลักษณะนี้ ดังนั้นจึงมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างตัวประกอบเอกลักษณ์และกรุปย่อยสูงสุด ในที่นี้ คำว่ากรุปย่อยสูงสุดแตกต่างจากความหมายที่ใช้กันทั่วไปในทฤษฎีกลุ่ม

มักจะสามารถกล่าวเพิ่มเติมได้เมื่อลำดับมีจำกัด ตัวอย่างเช่น เซมิกรุปจำกัดที่ไม่ว่างทุกตัวเป็นคาบ และมีไอเดียล ขั้นต่ำ และอย่างน้อยหนึ่งตัวเอกลักษณ์ จำนวนเซมิกรุปจำกัดที่มีขนาดที่กำหนด (มากกว่า 1) นั้น (เห็นได้ชัด) มากกว่าจำนวนกรุปที่มีขนาดเดียวกัน ตัวอย่างเช่น จาก "ตารางการคูณ" ที่เป็นไปได้สิบหกตารางสำหรับเซตของสององค์ประกอบ{ a , b }แปดตารางก่อตัวเป็นเซมิกรุ ป ^{[ b ]}ในขณะที่มีเพียงสี่ตารางเท่านั้นที่เป็นโมโนอิดและมีเพียงสองตารางเท่านั้นที่ก่อตัวเป็นกรุป สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับโครงสร้างของเซมิกรุปจำกัด โปรดดูทฤษฎี Krohn–Rhodes

• โมโนอิดคือ เซมิกรุปที่มีเอกลักษณ์เป็นสมาชิก
• กลุ่ม คือโมโน อิดที่ทุกสมาชิกมีสมาชิกผกผัน
• เซมิกรุปย่อย คือเซตย่อยของเซมิกรุปที่มีคุณสมบัติปิดภายใต้การดำเนินการของเซมิกรุป
• เซมิกรุปแบบตัดทอนคือเซมิกรุปที่มีคุณสมบัติการตัดทอน : ^{[ 9 ]} a · b = a · cหมายความว่าb = cและในทำนองเดียวกันสำหรับb · a = c · aทุกกลุ่มเป็นเซมิกรุปแบบตัดทอน และทุกเซมิกรุปแบบตัดทอนจำกัดเป็นกลุ่ม
• แบนด์คือเซมิกรุปที่มีการดำเนินการเป็นไอเดมโพเทนต์
• เซมิแลตทิซคือ เซมิกรุปที่มีการดำเนินการแบบเอกลักษณ์และสลับที่ได้
• เซมิกรุปแบบง่าย 0
• เซมิกรุปการแปลง : เซมิกรุปจำกัดใดๆSสามารถแทนด้วยการแปลงของเซต (สถานะ) Qที่มีสถานะไม่เกิน| S | + 1สถานะ แต่ละองค์ประกอบxของSจะแมปQไปยังตัวมันเองx  : Q → Qและลำดับxyถูกกำหนดโดยq ( xy ) = ( qx ) yสำหรับแต่ละqในQการจัดลำดับเป็นโอเปอเรชันแบบสมาคมอย่างชัดเจน ซึ่งในที่นี้เทียบเท่ากับการประกอบฟังก์ชัน การแทนแบบนี้เป็นพื้นฐานสำหรับออโตมาตาหรือเครื่องสถานะจำกัด (FSM) ใดๆ
• เซมิกรุปแบบไบไซคลิกนั้นแท้จริงแล้วคือโมโนอิด ซึ่งสามารถอธิบายได้ว่าเป็นเซมิกรุปอิสระบนตัวสร้างสองตัวคือpและqภายใต้ความสัมพันธ์pq = 1
• เซมิกรุปC ₀
• เซมิกรุปปกติสมาชิกx ทุกตัวมีตัวผกผัน yอย่างน้อยหนึ่งตัวที่สอดคล้องกับxyx = xและyxy = yสมาชิกxและyบางครั้งเรียกว่า "ตัวผกผันซึ่งกันและกัน"
• เซมิกรุปผกผันคือเซมิกรุปปกติที่สมาชิกทุกตัวมีตัวผกผันเพียงตัวเดียว หรืออีกนัยหนึ่ง เซมิกรุปปกติจะเป็นเซมิกรุปผกผันก็ต่อเมื่อสมาชิกสองตัวใดๆ ที่เป็นตัวเอกลักษณ์สลับที่ได้
• เซมิกรุปเชิงอัฟฟิน: เซมิกรุปที่สม isomorphic กับซับเซมิกรุปที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดของ Z ^dเซมิกรุปเหล่านี้มีการประยุกต์ใช้ในพีชคณิตเชิงสลับเปลี่ยน

มีทฤษฎีบทโครงสร้างสำหรับเซมิกรุปสลับที่ในแง่ของเซมิแลตทิซ [ ^{10 ] เซ}มิแลตทิซ (หรือที่แม่นยำกว่านั้นคือมีตเซมิแลตทิซ) ( L , ≤)คือเซตที่มีลำดับบางส่วนซึ่งทุกคู่ขององค์ประกอบa , b ∈ Lมีขอบล่างที่มากที่สุด ซึ่ง แสดงด้วยa ∧ bการดำเนินการ ∧ ทำให้Lเป็นเซมิกรุปที่สอดคล้องกับกฎ เอกลักษณ์เพิ่มเติมa ∧ a = a

เมื่อกำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมf  : S → Lจากเซมิกรุปใดๆ ไปยังเซมิแลตทิซ ภาพผกผันแต่ละภาพS a ₌ f −1 ^{ a }จะเป็นเซมิกรุป (ซึ่งอาจว่างเปล่า) ยิ่งไปกว่านั้นSจะถูกจัดระดับโดยLในความหมายที่ว่าS _a S _b ⊆ S _{a ∧ b}

ถ้าfเป็นฟังก์ชันทั่วถึง เซมิแลตทิซ LจะสมสัณฐานกับผลหารของSโดยความสัมพันธ์สมมูล ~ โดยที่x ~ yก็ต่อเมื่อf ( x ) = f ( y )ความสัมพันธ์สมมูลนี้เป็นความสอดคล้องของเซมิกรุป ตามที่นิยามไว้ข้างต้น

เมื่อใดก็ตามที่เราหาผลหารของเซมิกรุปสลับที่โดยคอนกรุป เราจะได้เซมิกรุปสลับที่อีกตัวหนึ่ง ทฤษฎีบทโครงสร้างกล่าวว่า สำหรับเซมิกรุปสลับที่S ใดๆ จะมีคอนกรุปละเอียดที่สุด ~ เช่นนั้น ผลหารของSโดยความสัมพันธ์สมมูลนี้คือเซมิแลตทิซ โดยกำหนดให้เซมิแลตทิซนี้เป็นLเราจะได้โฮโมมอร์ฟิซึมfจากSไปยังLดังที่กล่าวมาแล้วSจะถูกจัดระดับโดยเซมิแลตทิซนี้

นอกจากนี้ ส่วนประกอบS _aทั้งหมดเป็นเซมิกรุปอาร์คิมีเดียนเซมิกรุปอาร์คิมีเดียนคือเซมิกรุปที่กำหนดให้สำหรับสมาชิกx , y ใดๆ จะมีสมาชิกzและn > 0 อยู่ตัว หนึ่ง ซึ่งทำให้x ⁿ = yz

คุณสมบัติของอา ร์คิมีเดียนเป็นผลโดยตรงจากการเรียงลำดับในเซมิแลตทิซLเนื่องจากด้วยการเรียงลำดับนี้ เราจะได้f ( x ) ≤ f ( y )ก็ต่อเมื่อxn ⁼ yzสำหรับz บางตัว และn > 0

กลุ่มเศษส่วนหรือการเติมเต็มกลุ่มของเซมิกรุปSคือกลุ่มG = G ( S )ที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบของSเป็นตัวสร้างและสมการทั้งหมดxy = zที่เป็นจริงในSเป็นความสัมพันธ์^{[ 11 ]} มีโฮโมมอร์ฟิซึมเซมิกรุป j  : S → G ( S ) ที่ชัดเจนซึ่งส่งแต่ละองค์ประกอบของSไปยังตัวสร้างที่สอดคล้องกัน สิ่งนี้มีคุณสมบัติสากลสำหรับมอร์ฟิซึมจากSไปยังกลุ่ม: ^{[ 12 ]} เมื่อกำหนดกลุ่มH ใดๆ และโฮโมมอร์ฟิซึมเซมิกรุปk  : S → H ใดๆ จะมีโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มf  : G → H ที่ไม่ซ้ำกัน โดยที่k = fjเราอาจคิดว่าGเป็นกลุ่มที่ "ทั่วไปที่สุด" ที่มีภาพโฮโมมอร์ฟิกของ S

คำถามสำคัญคือการกำหนดลักษณะของเซมิกรุปเหล่านั้นซึ่งแผนที่นี้เป็นการฝังตัว นี่ไม่จำเป็นต้องเป็นเช่นนั้นเสมอไป ตัวอย่างเช่น ให้Sเป็นเซมิกรุปของเซตย่อยของเซตX บางเซต ที่มีการตัดกันเชิงเซตเป็นการดำเนินการทวิภาค (นี่เป็นตัวอย่างของเซมิแลตทิซ) เนื่องจากA . A = Aเป็นจริงสำหรับองค์ประกอบทั้งหมดของSดังนั้นสิ่งนี้ต้องเป็นจริงสำหรับตัวสร้างทั้งหมดของG ( S ) เช่นกัน ซึ่งก็คือกลุ่มที่ไม่สำคัญเห็นได้ชัดว่าจำเป็นสำหรับการฝังตัวที่Sต้องมีคุณสมบัติการตัดทอนเมื่อSเป็นแบบสลับที่ได้ เงื่อนไขนี้ก็เพียงพอเช่นกัน^{[ 13 ]}และกลุ่มเศษส่วนสามารถสร้างขึ้นเป็นกลุ่ม Grothendieckของเซมิกรุป หรือผ่านตัวแปรย่อยของการสร้างมาตรฐานของฟิลด์เศษส่วนของโดเมนจำนวนเต็ม^{[ 14 ]} ปัญหาสำหรับเซมิกรุปที่ไม่สลับที่ได้สามารถสืบย้อนไปถึงเอกสารสำคัญฉบับแรกเกี่ยวกับเซมิกรุปได้^{[ 15 ] [ 16 ]} Anatoly Maltsevได้ให้เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการฝังตัวในปี พ.ศ. 2480 ^{[ 17 ]}

ทฤษฎีเซมิกรุปสามารถนำมาใช้ศึกษาปัญหาบางอย่างในสาขาสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยได้โดยคร่าวๆ แล้ว แนวทางของเซมิกรุปคือการมองสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่ขึ้นอยู่กับเวลาว่าเป็นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญบนปริภูมิฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น พิจารณาปัญหาค่าเริ่มต้น/ค่าขอบเขตต่อไปนี้สำหรับสมการความร้อน บน ช่วง ปริภูมิ(0, 1) ⊂ Rและเวลาt ≥ 0 :

${\displaystyle {\begin{cases}\partial _{t}u(t,x)=\partial _{x}^{2}u(t,x),&x\in (0,1),t>0;\\u(t,x)=0,&x\in \{0,1\},t>0;\\u(t,x)=u_{0}(x),&x\in (0,1),t=0.\end{cases}}}$

ให้X = L ² ((0, 1) R )เป็นปริภูมิL ^pของฟังก์ชันค่าจริงที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ โดยมีโดเมนเป็นช่วง(0, 1)และให้Aเป็นตัวดำเนินการอนุพันธ์อันดับสอง โดยมีโดเมน เป็น

${\displaystyle D(A)={\big \{}u\in H^{2}((0,1);\mathbf {R} ){\big |}u(0)=u(1)=0{\big \}},}$

โดยที่เป็นปริภูมิโซโบเลฟดังนั้น ปัญหาค่าเริ่มต้น/ค่าขอบเขตข้างต้นสามารถตีความได้ว่าเป็นปัญหาค่าเริ่มต้นสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญบนปริภูมิX : ${\displaystyle H^{2}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {u}}(t)=Au(t);\\u(0)=u_{0}.\end{cases}}}$

ในเชิงอนุมาน วิธีแก้ปัญหานี้ "ควร" จะเป็น อย่างไรก็ตาม เพื่อการวิเคราะห์อย่างเข้มงวด จำเป็นต้องให้ความหมายแก่เลขชี้กำลังของtA exp ( tA ) เป็นเซมิกรุปของตัวดำเนินการจากX ไปยังตัวมันเอง โดยเปลี่ยนสถานะเริ่มต้นu₀ที่เวลาt = 0 _ไปเป็นสถานะu ( t ₎ = exp( tA ) u₀ที่เวลาtตัวดำเนินการAเรียกว่าตัวสร้างอนันต์ของเซมิกรุป $${\displaystyle u(t)=\exp(tA)u_{0}.}$$

การศึกษาเซมิกรุปส์นั้นล้าหลังกว่าโครงสร้างพีชคณิตอื่นๆ ที่มีสัจพจน์ที่ซับซ้อนกว่า เช่นกรุปส์หรือริงส์แหล่งข้อมูลหลายแหล่ง^{[ 18 ] [ 19 ]}ระบุว่าการใช้คำนี้ครั้งแรก (ในภาษาฝรั่งเศส) มาจาก J.-A. de Séguier ในÉlements de la Théorie des Groupes Abstraits (Elements of the Theory of Abstract Groups) ในปี 1904 คำนี้ถูกใช้ในภาษาอังกฤษในปี 1908 ใน Theory of Groups of Finite Orderของ Harold Hinton

Anton Sushkevichได้รับผลลัพธ์ที่ไม่ธรรมดาครั้งแรกเกี่ยวกับเซมิกรุป บทความของเขาในปี 1928 เรื่อง "Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit" ("เกี่ยวกับกลุ่มจำกัดที่ไม่มีกฎของการผกผันที่ไม่ซ้ำกัน") ได้กำหนดโครงสร้างของเซมิกรุปแบบง่ายจำกัดและแสดงให้เห็นว่าอุดมคติขั้นต่ำ (หรือคลาส J ของความสัมพันธ์ของ Green ) ของเซมิกรุปจำกัดนั้นเป็นแบบง่าย ^{[ 19 ]}จากนั้นเป็นต้นมา รากฐานของทฤษฎีเซมิกรุปได้รับการวางเพิ่มเติมโดยDavid Rees , James Alexander Green , Evgenii Sergeevich Lyapin , Alfred H. CliffordและGordon Prestonสองคนหลังได้ตีพิมพ์หนังสือโมโนกราฟสองเล่มเกี่ยวกับทฤษฎีเซมิกรุปในปี 1961 และ 1967 ตามลำดับ ในปี 1970 วารสารใหม่ชื่อSemigroup Forum (ปัจจุบันตีพิมพ์โดยSpringer Verlag ) กลายเป็นหนึ่งในวารสารทางคณิตศาสตร์ไม่กี่ฉบับที่อุทิศให้กับทฤษฎีเซมิกรุปโดยเฉพาะ

ทฤษฎีการแทนของเซมิกรุปได้รับการพัฒนาในปี 1963 โดยBoris Scheinโดยใช้ความสัมพันธ์ทวิภาคบนเซตAและการประกอบความสัมพันธ์สำหรับผลคูณของเซมิกรุป^{[ 20 ]} ในการประชุมพีชคณิตในปี 1972 Schein ได้สำรวจวรรณกรรมเกี่ยวกับ B _{A ซึ่ง} ^เป็นเซมิกรุปของความสัมพันธ์บนA ^{[ 21 ]}ในปี 1997 Schein และRalph McKenzieได้พิสูจน์ว่าเซมิกรุปทุกตัวเป็นไอโซมอร์ฟิกกับเซมิกรุปทรานซิทีฟของความสัมพันธ์ทวิภาค[ ^{22 ]}

ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา นักวิจัยในสาขานี้มีความเชี่ยวชาญเฉพาะด้านมากขึ้น โดยมีการตีพิมพ์หนังสือเฉพาะเรื่องเกี่ยวกับเซมิกรุปที่สำคัญ เช่นเซมิกรุปผกผันรวมถึงหนังสือที่เน้นการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีออโตมาตาเชิงพีชคณิตโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับออโตมาตาจำกัด และในด้านการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันด้วย

หากละทิ้งสัจพจน์การสลับที่ของเซมิกรุป ผลลัพธ์ที่ได้คือแมกมาซึ่งก็คือเซตMที่มีโอเปอเรชันทวิภาคที่ปิดM × M → Mนั่นเอง

เมื่อขยายความไปในทิศทางอื่น เซมิกรุป n -ary (หรือ เซมิกรุป n -ary , เซมิกรุป polyadicหรือเซมิกรุป multiary ) เป็นการขยายความของเซมิกรุปไปยังเซตGด้วย การดำเนินการ n - aryแทนที่จะเป็นการดำเนินการแบบไบนารี^{[ 23 ]}กฎการเชื่อมโยงได้รับการขยายความดังนี้: การเชื่อมโยงแบบไตรภาคคือ( abc ) de = a ( bcd ) e = ab ( cde )กล่าวคือ สตริงabcdeที่มีองค์ประกอบที่อยู่ติดกันสามตัวใดๆ อยู่ในวงเล็บ การเชื่อมโยง แบบ n -ary คือสตริงที่มีความยาวn + ( n − 1) ที่มีองค์ประกอบที่อยู่ติดกัน n ตัว ใดๆอยู่ในวงเล็บ เซมิกรุป 2-ary ก็คือเซมิกรุปนั่นเอง สัจพจน์เพิ่มเติมนำไปสู่กลุ่มn - ary

การสรุปทั่วไปประการที่สามคือเซมิกรุปอยด์ซึ่งเงื่อนไขที่ว่าความสัมพันธ์ทวิภาคต้องเป็นความสัมพันธ์สมบูรณ์นั้นถูกยกเลิกไป เนื่องจากหมวดหมู่ต่างๆ ขยายความของโมโนอิดในลักษณะเดียวกัน เซมิกรุปอยด์จึงมีพฤติกรรมคล้ายกับหมวดหมู่ แต่ไม่มีเอกลักษณ์

การวางนัยทั่วไปแบบอนันต์ของเซมิกรุปสลับที่ได้รับการพิจารณาโดยผู้เขียนหลายท่านในบางครั้ง^{[ c ]}

• องค์ประกอบดูดซับ
• ชุดเรียงลำดับสองแบบ
• เซมิกรุ๊ปขนาดกะทัดรัด
• เซมิกรุปว่างเปล่า
• ผกผันทั่วไป
• องค์ประกอบเอกลักษณ์
• การทดสอบความสัมพันธ์ของแสง
• ปัจจัยหลัก
• เซมิกรุปไดนามิกควอนตัม
• การกระทำของกลุ่มย่อย
• วงแหวนเซมิกรุป
• ผกผันที่อ่อนแอ