ในพีชคณิตนามธรรมวงแหวนโมโนอิดคือวงแหวนที่สร้างขึ้นจากวงแหวนและโมโนอิดเช่นเดียวกับวงแหวนกลุ่ม ที่สร้าง ขึ้น จากวงแหวนและกลุ่ม

ให้Rเป็นริง และให้Gเป็นโมโนอิด ริงโมโนอิดหรือพีชคณิตโมโนอิดของGเหนือRซึ่งเขียนแทนด้วยR [ G ] หรือRGคือเซตของผลรวมเชิงรูปธรรมโดยที่สำหรับแต่ละและr _g = 0 สำหรับทุก g ยกเว้นg จำนวนจำกัด ซึ่งมาพร้อมกับการบวกแบบสัมประสิทธิ์ และการคูณที่สมาชิกของRสลับที่ได้กับสมาชิกของG กล่าว อย่างเป็นทางการมากขึ้นR [ G ] คือโมดูลอิสระRบนเซตGซึ่งมี การคูณเชิงเส้น Rที่กำหนดบนสมาชิกฐานโดยg·h  := ghโดยที่ด้านซ้ายมือหมายถึงการคูณในR [ G ] และด้านขวามือหมายถึงการคูณใน G${\displaystyle \sum _{g\in G}r_{g}g}$${\displaystyle r_{g}\in R}$${\displaystyle g\in G}$

อีกทางเลือกหนึ่งคือ เราสามารถระบุองค์ประกอบด้วยฟังก์ชันe _gที่แมปgไปที่ 1 และองค์ประกอบอื่นๆ ของGไปที่ 0 ด้วยวิธีนี้R [ G ] จะถูกระบุด้วยเซตของฟังก์ชันφ: G → Rโดยที่{ g  : φ( g ) ≠ 0 } เป็นเซตจำกัด พร้อมด้วยการบวกฟังก์ชัน และการคูณที่กำหนดโดย ${\displaystyle g\in R[G]}$

${\displaystyle (\phi \psi )(g)=\sum _{k\ell =g}\phi (k)\psi (\ell )}$.

ถ้าGเป็นกลุ่มแล้วR [ G ] ก็เรียกว่าวงแหวนกลุ่มของGเหนือRด้วย เช่นกัน

กำหนดให้RและGมีโฮโมมอร์ฟิซึมของริงα: R → R [ G ]ที่ส่งr แต่ละตัว ไปยังr 1 (โดยที่ 1 คือสมาชิกเอกลักษณ์ของG ) และโฮโมมอร์ฟิซึมของโมโนอิดβ: G → R [ G ] (โดยที่อันหลังนี้ถือว่าเป็นโมโนอิดภายใต้การคูณ) ที่ส่งg แต่ละตัว ไปยัง 1 g (โดยที่ 1 คือสมาชิกเอกลักษณ์การคูณของR ) เรามีว่า α( r ) สลับที่ได้กับ β( g )สำหรับทุกrในRและgในG

คุณสมบัติสากลของวงแหวนโมโนอิดระบุว่า เมื่อกำหนดวงแหวนS , โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนα': R → Sและโฮโมมอร์ฟิซึมของโมโนอิดβ': G → SไปยังโมโนอิดแบบทวีคูณของSโดยที่ α'( r ) สลับที่ได้กับ β'( g ) สำหรับทุกrในRและgในGจะมีโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนγ: R [ G ] → S ที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว ซึ่งเมื่อประกอบ α และ β กับ γ แล้วจะได้ α' และ β'

การเสริมคือโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนη : R [ G ] → Rซึ่งกำหนดโดย

${\displaystyle \eta \left(\sum _{g\in G}r_{g}g\right)=\sum _{g\in G}r_{g}.}$

เคอร์เนลของηเรียกว่าไอ เดียลเสริม ( augmentation ideal ) มันคือโมดูลR อิสระที่มีฐานประกอบด้วย 1 –  gสำหรับทุกgในG ที่ไม่เท่ากับ 1

เมื่อกำหนดริงRและโมโนอิด (แบบบวก) ของจำนวนธรรมชาติN (หรือ { x ⁿ } ในมุมมองแบบการคูณ) เราจะได้ริงR [{ x ⁿ }] =: R [ x ] ของพหุนามเหนือRโมโนอิดN ⁿ (พร้อมการบวก) จะให้ริงพหุนามที่มีตัวแปรn ตัว: R [ N ⁿ ] =: R [ X ₁ , ..., X _n ]

ถ้าGเป็นเซมิกรุปการสร้างแบบเดียวกันนี้จะให้ผลลัพธ์เป็นวงแหวนเซมิกรุปR [ G ]

• พีชคณิตอิสระ
• ซีรี่ส์ Puiseux

• R. Gilmer. วงแหวนเซมิกรุปสลับที่ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยชิคาโก, ชิคาโก–ลอนดอน, 1984