ในพีชคณิตเซมิกรุปการแปลง (หรือเซมิกรุปการประกอบ ) คือกลุ่มของการแปลง ( ฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปยังตัวมันเอง) ที่ปิดภายใต้การประกอบฟังก์ชันหากรวมถึงฟังก์ชันเอกลักษณ์ด้วยจะ เรียกว่า โมโนอิดซึ่งเรียกว่าโมโนอิดการแปลง (หรือ โมโนอิด การประกอบ ) นี่คือเซมิกรุปที่เทียบได้กับกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยน

เซมิกรุปการแปลงของเซตหนึ่งจะมีแอ็กชันเซมิกรุป เชิงสัจพจน์ บนเซตนั้น แอ็กชันดังกล่าวมีลักษณะเฉพาะคือมีความเที่ยงตรง กล่าวคือ ถ้าสององค์ประกอบในเซมิกรุปมีแอ็กชันเดียวกัน แอ็กชันทั้งสองนั้นจะเท่ากัน

ทฤษฎีบทที่คล้ายคลึงกับทฤษฎีบทของเคย์ลีย์แสดงให้เห็นว่าเซมิกรุปใดๆ ก็สามารถสร้างขึ้นได้ในรูปของเซมิกรุปการแปลงของเซตบางเซต

ในทฤษฎีออโตมาตาผู้เขียนบางคนใช้คำว่าเซมิกรุปการแปลงเพื่ออ้างถึงเซมิกรุปที่กระทำอย่างซื่อสัตย์บนเซตของ "สถานะ" ที่แตกต่างจากเซตฐานของเซมิกรุป^{[ 1 ]}มีความสอดคล้องกันระหว่างแนวคิดทั้งสอง

เซมิกรุปการแปลงคือคู่ ( X , S ) โดยที่Xเป็นเซต และSเป็นเซมิกรุปของการแปลงของXในที่นี้การแปลงของXเป็นเพียงฟังก์ชันจากเซตย่อยของXไปยังXซึ่งไม่จำเป็นต้องผกผันได้ ดังนั้นS จึง เป็นเพียงเซตของการแปลงของXซึ่งปิดภายใต้ การประกอบฟังก์ชัน เซตของฟังก์ชัน บางส่วนทั้งหมดบนเซตฐานX ที่กำหนด จะก่อให้เกิดเซมิกรุปปกติที่เรียกว่าเซมิกรุปของการแปลงบางส่วนทั้งหมด (หรือเซมิกรุปการแปลงบางส่วนบนX ) ซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์^{[ 2 ]}${\displaystyle {\mathcal {PT}}_{X}}$

ถ้าSประกอบด้วยการแปลงเอกลักษณ์ของXแล้ว จะเรียกว่าโมโนอิดการแปลงเซมิกรุปการแปลงใดๆSจะกำหนดโมโนอิดการแปลงMโดยการรวมSกับการแปลงเอกลักษณ์ โมโนอิดการแปลงที่มีสมาชิกที่ผกผันได้เรียกว่ากลุ่มการเรียงสับเปลี่ยน

เซตของการแปลงทั้งหมดของXเรียกว่า โมโนอิดการแปลง(หรือเซมิกรุป ) การแปลงแบบเต็ม ของ Xเรียกอีกอย่างว่าเซมิกรุปสมมาตรของXและใช้สัญลักษณ์T _X แทน ดังนั้น เซมิกรุปการแปลง (หรือโมโนอิด) จึงเป็นเพียงเซมิกรุปย่อย (หรือโมโนอิดย่อย ) ของโมโนอิดการแปลงแบบเต็มของ X

ถ้า ( X , S ) เป็นเซมิกรุปการแปลงแล้วXสามารถทำให้เป็นการกระทำของเซมิกรุปของS ได้ โดยการประเมินค่า:

${\displaystyle s\cdot x=s(x){\text{ สำหรับ }}s\in S,x\in X.}$

นี่คือการกระทำของโมโนอิด ถ้าSเป็นโมโนอิดการแปลง

คุณลักษณะเด่นของเซมิกรุปการแปลงในฐานะการกระทำ คือ เซมิกรุปเหล่านั้นมีความซื่อตรงกล่าวคือ ถ้า

${\displaystyle s\cdot x=t\cdot x{\text{ สำหรับทุก }}x\in X,}$

ดังนั้นs = tในทางกลับกัน ถ้าเซมิกรุปSกระทำต่อเซตXโดยT ( s , x ) = s • xแล้วเราสามารถกำหนดการแปลงT _sของX สำหรับ s ∈ Sได้โดย

${\displaystyle T_{s}(x)=T(s,x).\,}$

แผนที่ที่ส่งsไปยังT _s จะ เป็น ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งก็ต่อเมื่อ ( X ,  T ) เป็นฟังก์ชันที่ซื่อสัตย์ ซึ่งในกรณีนี้ ภาพของแผนที่นี้จะเป็นเซมิกรุปการแปลงที่สมมาตรกับS

ในทฤษฎีกลุ่มทฤษฎีบทของเคย์ลีย์กล่าวว่า กลุ่มใดๆGสมสัณฐานกับกลุ่มย่อยของกลุ่มสมมาตรของG (ซึ่งถือว่าเป็นเซต) ดังนั้นG จึง เป็นกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนทฤษฎีบทนี้สามารถขยายไปสู่โมโนอิดได้โดยตรง กล่าวคือ โมโนอิดใดๆMเป็นโมโนอิดการแปลงของเซตพื้นฐานของมัน ผ่านการกระทำที่กำหนดโดยการคูณทางซ้าย (หรือทางขวา) การกระทำนี้มีความซื่อสัตย์ เพราะถ้าax = bxสำหรับทุกxในMแล้ว โดยการแทนค่า xให้เท่ากับสมาชิกเอกลักษณ์ เราจะได้ a = b

สำหรับเซมิกรุปSที่ไม่มีองค์ประกอบเอกลักษณ์ (ซ้ายหรือขวา) เราจะถือว่าXเป็นเซตพื้นฐานของโมโนอิดที่สอดคล้องกับSเพื่อสร้างSให้เป็นเซมิกรุปการแปลงของXโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เซมิกรุปจำกัดใดๆ ก็สามารถแสดงเป็นเซมิกรุปย่อยของการแปลงของเซตXที่มี | X | ≤ | S | + 1 และถ้าSเป็นโมโนอิด เราจะมีขอบเขตที่คมชัดกว่าคือ | X | ≤ | S | เช่นเดียวกับกรณีของกลุ่มจำกัด [ ^{3 ] : 21}

ในวิทยาการคอมพิวเตอร์การแสดงแทนของเคย์ลีย์สามารถนำไปใช้เพื่อปรับปรุงประสิทธิภาพเชิงอะซิมโทติกของเซมิกรุปโดยการเชื่อมโยงการคูณที่ประกอบกันหลายรายการใหม่ การกระทำที่กำหนดโดยการคูณทางซ้ายส่งผลให้เกิดการคูณที่เชื่อมโยงทางขวา และในทางกลับกันสำหรับการกระทำที่กำหนดโดยการคูณทางขวา แม้ว่าจะมีผลลัพธ์เหมือนกันสำหรับเซมิกรุปใดๆ แต่ประสิทธิภาพเชิงอะซิมโทติกจะแตกต่างกัน ตัวอย่างสองตัวอย่างของโมโนอิดการแปลงที่มีประโยชน์ซึ่งกำหนดโดยการกระทำของการคูณทางซ้าย ได้แก่ การเปลี่ยนแปลงเชิงฟังก์ชันของ โครงสร้างข้อมูล รายการความแตกต่างและการแปลง Codensity แบบโมนาดิก (การแสดงแทนของเคย์ลีย์ของโมนาดซึ่งเป็นโมโนอิดในหมวดหมู่ฟังก์ชันโมโนอิด เฉพาะ ) ^{[ 4 ]}

ให้Mเป็นออโตมาตา แบบกำหนด ที่มีปริภูมิสถานะSและตัวอักษรAคำในโมโนอิดอิสระA ^∗เหนี่ยวนำให้เกิดการแปลงของSทำให้เกิดมอร์ฟิซึมโมโนอิดจากA ^∗ไปยังโมโนอิดการแปลงแบบเต็มT _Sภาพของมอร์ฟิซึมนี้คือเซมิกรุปการแปลงของM [ ^{3 ] : 78}

สำหรับภาษาปกติโมโนอิดทางไวยากรณ์จะสมมาตรกับโมโนอิดการแปลงของออโตมาตอนขั้นต่ำของภาษา^{[ 3 ] : 81}

• เอนโดฟังก์ชัน
• กึ่งอัตโนมัติ
• ทฤษฎีโครห์น-โรดส์
• เซมิกรุปผกผันสมมาตร
• ชุดเรียงลำดับสองแบบ
• กลุ่มพิเศษของเซมิกรุป
• แหวนคอมโพสิต