ในทฤษฎีกลุ่มซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์คอร์ คือ กลุ่มย่อยปกติพิเศษบาง ประเภท ของกลุ่มคอร์ที่พบได้บ่อยที่สุดสองประเภทคือคอร์ปกติของกลุ่มย่อยและp-คอร์ของกลุ่ม

สำหรับกลุ่มGแกนปกติหรือส่วนภายในปกติ^{[ 1 ]}ของกลุ่มย่อยHคือกลุ่มย่อยปกติ ที่ใหญ่ที่สุด ของGที่อยู่ในH (หรือเทียบเท่ากับการตัดกันของคอนจูเกตของH ) โดยทั่วไป แกนของHที่เกี่ยวข้องกับเซตย่อยS  ⊆ GคือการตัดกันของคอนจูเกตของHภายใต้Sกล่าวคือ

${\displaystyle \mathrm {Core} _{S}(H):=\bigcap _{s\in S}{s^{-1}Hs}.}$

ภายใต้นิยามทั่วไปนี้ แกนหลักปกติคือแกนหลักที่เกี่ยวข้องกับS  = Gแกนหลักปกติของกลุ่มย่อยปกติใดๆ ก็คือกลุ่มย่อยนั้นเอง

แนวคิดคู่ขนานของแกนปกติคือการปิดปกติซึ่งเป็นกลุ่มย่อยปกติที่เล็กที่สุดของGที่มีH อยู่ ภายใน

แกนปกติมีความสำคัญในบริบทของการกระทำของกลุ่มบนเซตโดยที่แกนปกติของกลุ่มย่อยไอโซโทรปีของจุดใดๆ ทำหน้าที่เหมือนเอกลักษณ์บนวงโคจร ทั้งหมดของจุดนั้น ดังนั้น ในกรณีที่การกระทำเป็นแบบถ่ายทอดแกนปกติของกลุ่มย่อยไอโซโทรปีใดๆ ก็จะเป็นแกนหลักของการกระทำนั้น อย่างแม่นยำ

กลุ่มย่อยที่ไม่มีแกนกลางคือ กลุ่มย่อยที่มีแกนกลางปกติเป็นกลุ่มย่อยที่ไม่สำคัญหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นกลุ่มย่อยที่ปรากฏเป็นกลุ่มย่อยไอโซโทรปีของการกระทำของกลุ่ม ที่ถ่ายทอดได้และ ซื่อสัตย์

วิธีแก้ปัญหาสำหรับกลุ่มย่อยที่ซ่อนเร้นใน กรณี อาเบเลียนสามารถขยายไปสู่การหาแกนกลางปกติในกรณีของกลุ่มย่อยของกลุ่มใดๆ ก็ได้

ในส่วนนี้Gจะหมายถึงกลุ่มจำกัดแม้ว่าบางแง่มุมจะสามารถขยายไปสู่กลุ่มจำกัดเฉพาะที่และกลุ่มพรอไฟไนต์ได้ก็ตาม

สำหรับจำนวนเฉพาะ p แกนp ของกลุ่มจำกัดถูกกำหนดให้เป็นกลุ่มย่อย ปกติ p ที่ใหญ่ที่สุด มันคือแกนปกติของ กลุ่ม ย่อย Sylow p ทุกกลุ่มของกลุ่มนั้น แกน pของGมักจะใช้สัญลักษณ์และโดยเฉพาะอย่างยิ่งปรากฏในหนึ่งในนิยามของกลุ่มย่อย Fittingของกลุ่มจำกัด ในทำนอง เดียวกัน แกน p ′คือกลุ่มย่อยปกติที่ใหญ่ที่สุดของGที่มีอันดับเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับpและใช้สัญลักษณ์ ในด้านกลุ่มที่ไม่สามารถแก้ได้แบบจำกัด รวมถึงการจำแนกกลุ่มง่ายแบบจำกัดแกน 2′ มักเรียกว่าแกนและใช้สัญลักษณ์ซึ่งทำให้เกิดความสับสนเพียงเล็กน้อย เพราะโดยปกติแล้วเราสามารถแยกแยะระหว่างแกนของกลุ่มและแกนของกลุ่มย่อยภายในกลุ่มได้ แกนp ′, pซึ่งใช้สัญลักษณ์ถูกกำหนดโดยสำหรับกลุ่มจำกัด แกนp ′, pคือกลุ่มย่อย ปกติ p -nilpotent ที่ใหญ่ที่สุดเพียงหนึ่งเดียว${\displaystyle O_{p}(G)}$${\displaystyle O_{p'}(G)}$${\displaystyle O(G)}$${\displaystyle O_{p',p}(G)}$${\displaystyle O_{p',p}(G)/O_{p'}(G)=O_{p}(G/O_{p'}(G))}$

นอกจากนี้ p - core ยังสามารถนิยามได้ว่าเป็นกลุ่มย่อยp- subgroup ที่ใหญ่ที่สุดและ เป็นเอกลักษณ์ในกลุ่มย่อยปกติ p' -core เป็น กลุ่มย่อย p' -subgroup ที่ใหญ่ที่สุดและเป็นเอกลักษณ์ในกลุ่มย่อยปกติ p'-core และp ', p -core เป็นกลุ่มย่อย p -nilpotent ที่ใหญ่ที่สุดและเป็นเอกลักษณ์ในกลุ่มย่อยปกติ p'

p ′และp ′, p -core เริ่มต้นบนp -seriesสำหรับเซตπ ₁ , π ₂ , ..., π _{n +1}ของจำนวนเฉพาะ เราจะกำหนดกลุ่มย่อย O _{π 1 , π 2 , ..., π n +1} ( G ) โดย:

${\displaystyle O_{\pi _{1},\pi _{2},\dots ,\pi _{n+1}}(G)/O_{\pi _{1},\pi _{2},\dots ,\pi _{n}}(G)=O_{\pi _{n+1}}(G/O_{\pi _{1},\pi _{2},\dots ,\pi _{n}}(G))}$

อนุกรม pบนเกิดจากการใช้π _{2 i −1} = p ′ และπ _{2 i} = pนอกจากนี้ยังมีอนุกรมpล่าง อีกด้วย กลุ่มจำกัดจะเรียกว่าp-นิลโพเทนต์ก็ต่อเมื่อมันเท่ากับp ′, p-คอร์ของตัวเอง กลุ่มจำกัดจะเรียกว่าp-โซลูเบิลก็ต่อเมื่อมันเท่ากับพจน์บางพจน์ใน อนุกรม p บนของมัน ความยาวpของมันคือความยาวของ อนุกรม p บน กลุ่มจำกัดGจะเรียกว่าp-คอนสตรัคต์สำหรับ จำนวนเฉพาะpถ้า${\displaystyle C_{G}(O_{p',p}(G)/O_{p'}(G))\subseteq O_{p',p}(G)}$

ทุกกลุ่มนิลโพเทนต์เป็นกลุ่มp- นิลโพเทนต์ และทุก กลุ่ม p-นิลโพเทนต์เป็นกลุ่มp-ละลายได้ ทุกกลุ่มละลายได้เป็น กลุ่ม p- ละลาย ได้ และทุก กลุ่ม p-ละลายได้เป็น กลุ่ม p-ถูกจำกัด กลุ่มใดกลุ่มหนึ่งจะเป็นp-นิลโพเทนต์ก็ต่อเมื่อมีp-คอมพลีเมนต์ปกติ ซึ่งก็คือแกน p ′ ของมันนั่นเอง

เช่นเดียวกับที่แกนหลักปกติมีความสำคัญต่อ การกระทำ ของกลุ่มบนเซต แกน pและแกนp ′ ก็มีความสำคัญใน ทฤษฎีการแทนแบบโมดูลาร์ซึ่งศึกษาการกระทำของกลุ่มบนปริภูมิเวกเตอร์ แกน p ของกลุ่มจำกัดคือจุดตัดของเคอร์เนลของการแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้เหนือฟิลด์ใดๆ ที่มีลักษณะเฉพาะpสำหรับกลุ่มจำกัด แกน p ′ คือจุดตัดของเคอร์เนลของการแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้แบบธรรมดา (เชิงซ้อน) ที่อยู่ในบล็อกหลักpสำหรับกลุ่มจำกัด แกน p ′, pคือจุดตัดของเคอร์เนลของการแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้ในบล็อกหลักpเหนือฟิลด์ใดๆ ที่มีลักษณะเฉพาะpนอกจากนี้ สำหรับกลุ่มจำกัด แกนp ′, pคือจุดตัดของตัวทำให้เป็นศูนย์กลางของปัจจัยหลักอาเบเลียนที่มีอันดับหารด้วยp ลงตัว (ซึ่งทั้งหมดเป็นการแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้เหนือฟิลด์ขนาดpที่อยู่ในบล็อกหลัก) สำหรับกลุ่มจำกัด ที่มีข้อจำกัด pนั้น โมดูลที่ไม่สามารถลดทอนได้เหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะpจะอยู่ในบล็อกหลักก็ต่อเมื่อ แกน p ′ ของกลุ่มนั้นบรรจุอยู่ในเคอร์เนลของการแทน

กลุ่มย่อยที่เกี่ยวข้องในเชิงแนวคิดและสัญลักษณ์คือกลุ่มย่อยที่สามารถแก้ได้ (solvable radical) กลุ่ม ย่อยที่สามารถแก้ได้ถูกกำหนดให้เป็น กลุ่มย่อยปกติ ที่สามารถแก้ได้ ที่ใหญ่ที่สุด และใช้สัญลักษณ์ แทนด้วยมีความแตกต่างกันบ้างในเอกสารทางวิชาการเกี่ยวกับการนิยาม แกน p ′ ของGผู้เขียนบางคนในเอกสารเพียงไม่กี่ฉบับ (ตัวอย่างเช่นเอกสารเกี่ยวกับกลุ่ม N ของJohn G. Thompson แต่ไม่ใช่ผลงานในภายหลังของเขา) นิยามแกน p ′ ของกลุ่มG ที่ไม่สามารถแก้ได้ ว่าเป็น แกน p ′ ของกลุ่มย่อยที่สามารถแก้ได้ เพื่อเลียนแบบคุณสมบัติของแกน 2′ ได้ดียิ่งขึ้น ${\displaystyle O_{\infty }(G)}$