ในทางคณิตศาสตร์ในสาขาทฤษฎีกลุ่มกลุ่มย่อยกึ่งปกติหรือกลุ่มย่อยสลับที่ได้คือกลุ่มย่อยของกลุ่ม หนึ่ง ที่สลับที่ได้ (สลับตำแหน่งได้) กับทุกกลุ่มย่อยอื่น ๆ โดยพิจารณาจากผลคูณของกลุ่มย่อยเหล่านั้นคำว่ากลุ่มย่อยกึ่งปกติถูกนำเสนอโดยØystein Oreในปี 1937

กล่าวได้ว่ากลุ่มย่อยสองกลุ่มสลับที่กันได้ (หรือสลับตำแหน่งกันได้) ถ้าสมาชิกใดๆ จากกลุ่มย่อยแรก คูณกับสมาชิกของกลุ่มย่อยที่สอง สามารถเขียนได้เป็นสมาชิกของกลุ่มย่อยที่สอง คูณกับสมาชิกของกลุ่มย่อยแรก นั่นคือและ เป็นกลุ่มย่อยของกล่าวได้ว่าสลับตำแหน่งกันได้ ถ้าHK = KHนั่นคือ สมาชิกใดๆ ในรูปแบบ โดยที่และสามารถเขียนได้ในรูปแบบโดย ที่และ${\displaystyle H}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle hk}$${\displaystyle h\in H}$${\displaystyle k\in K}$${\displaystyle k'h'}$${\displaystyle k'\in K}$${\displaystyle h'\in H}$

ทุกกลุ่มย่อยปกติเป็นกลุ่มย่อยกึ่งปกติ เพราะกลุ่มย่อยปกติสามารถสลับที่กับสมาชิกทุกตัวของกลุ่มได้ แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริง ตัวอย่างเช่น การขยายกลุ่มวัฏจักรด้วยกลุ่ม${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$ วัฏจักรอีกกลุ่มหนึ่ง สำหรับจำนวนเฉพาะ (คี่) เดียวกัน จะมีคุณสมบัติว่ากลุ่มย่อยทั้งหมดของกลุ่มย่อยนั้นเป็นกลุ่มย่อยกึ่งปกติ อย่างไรก็ตาม กลุ่มย่อยทั้งหมดไม่จำเป็นต้องเป็นกลุ่มย่อยปกติเสมอไป

ทุกกลุ่มย่อยกึ่งปกติเป็นกลุ่มย่อยแบบโมดูลาร์นั่นคือ องค์ประกอบแบบโมดูลาร์ในแลตทิซของกลุ่มย่อยสิ่งนี้เป็นผลมาจากคุณสมบัติแบบโมดูลาร์ของกลุ่มหากกลุ่มย่อยทั้งหมดเป็นกลุ่มย่อยกึ่งปกติ กลุ่มนั้นจะเรียกว่ากลุ่มอิวาซาวะ —บาง ^{ครั้ง}เรียกว่ากลุ่มโมดูลาร์ [ ^{1 ]}แม้ว่าคำหลังนี้จะมีความหมายอื่นก็ตาม

ในกลุ่มใดๆ ก็ตาม กลุ่มย่อยกึ่งปกติทุกกลุ่มล้วนเป็นกลุ่มที่มีอำนาจเหนือกว่า

กลุ่มย่อยสลับที่ได้แบบสังยุคคือกลุ่มย่อยที่สลับที่ได้กับกลุ่มย่อยสังยุคทั้งหมดของมัน กลุ่มย่อยกึ่งปกติทุกกลุ่มเป็นกลุ่มย่อยสลับที่ได้แบบสังยุค

ทุกกลุ่มย่อยกึ่งปกติของกลุ่มจำกัดเป็นกลุ่มย่อยกึ่งปกติซึ่งเป็นผลมาจากข้อความที่เข้มงวดกว่าเล็กน้อยที่ว่า ทุกกลุ่มย่อยสลับเปลี่ยนได้แบบสังยุคเป็นกลุ่มย่อยกึ่งปกติ ซึ่งเป็นผลมาจากข้อความที่ว่า ทุกกลุ่มย่อยสลับเปลี่ยนได้แบบสังยุคสูงสุดเป็นกลุ่มปกติ (ความเป็นกลุ่มจำกัดถูกนำมาใช้อย่างสำคัญในการพิสูจน์)

โดยสรุป กลุ่มย่อยHของกลุ่มจำกัดGสามารถสลับเปลี่ยนได้ในGก็ต่อเมื่อHเป็นทั้งโมดูลาร์และซับนอร์มัลใน  G ^{[ 1 ] [ 2 ]}

โดยทั่วไปแล้ว การเรียงสับเปลี่ยนไม่ใช่ความสัมพันธ์แบบถ่ายทอดกลุ่มที่การเรียงสับเปลี่ยนเป็นแบบถ่ายทอดเรียกว่ากลุ่ม PT โดยเปรียบเทียบกับกลุ่ม Tที่ความเป็นปกติเป็นแบบถ่ายทอด^{[ 3 ]}

• ผลิตภัณฑ์หลัก
• กลุ่มย่อยกึ่งสลับเปลี่ยนได้