ในทางคณิตศาสตร์เราสามารถนิยามผลคูณของเซตย่อยของกลุ่มได้ด้วยวิธีที่เป็นธรรมชาติ ถ้าSและTเป็นเซตย่อยของกลุ่มGแล้ว ผลคูณของทั้งสองเซตย่อยนี้คือเซตย่อยของGที่นิยามโดย

${\displaystyle ST=\{st:s\in S{\text{ และ }}t\in T\}.}$

เซตย่อยSและTไม่จำเป็นต้องเป็นกลุ่มย่อยเพื่อให้ผลคูณนี้มีความหมายที่ชัดเจน คุณสมบัติการสลับที่ของผลคูณนี้เป็นผลมาจาก คุณสมบัติการสลับที่ของผลคูณของกลุ่ม ดังนั้น ผลคูณของเซตย่อยของกลุ่มจึง กำหนด โครงสร้าง โมโนอิดตามธรรมชาติบนเซตกำลังของG

ในกรณีที่ SและT เป็นกลุ่มย่อย เราสามารถอธิบายเพิ่มเติมได้อีกมากผลคูณของกลุ่มย่อยSและTของกลุ่มGจะเป็นกลุ่มย่อยของG ก็ต่อ เมื่อST = TSเท่านั้น

ถ้าSและTเป็นกลุ่มย่อยของGผลคูณของทั้งสองกลุ่มไม่จำเป็นต้องเป็นกลุ่มย่อย (ตัวอย่างเช่น กลุ่มย่อยที่แตกต่างกันสองกลุ่มที่มีอันดับ 2 ในกลุ่มสมมาตรบนสัญลักษณ์ 3 ตัว) ผลคูณนี้บางครั้งเรียกว่าผลคูณฟรอเบนิอุส [ ^{1 ] โดย}ทั่วไป ผลคูณของกลุ่มย่อยสองกลุ่มSและTเป็นกลุ่มย่อยก็ต่อเมื่อST = TS [ ^{2 ] และกลุ่มย่อยทั้งสอง กลุ่ม}นั้นเรียกว่าสลับตำแหน่งได้ ( วอลเตอร์ เลเดอร์มันน์เรียกข้อเท็จจริงนี้ว่าทฤษฎีบทผลคูณ^{[ 3 ]}แต่ชื่อนี้ เช่นเดียวกับ "ผลคูณฟรอเบนิอุส" ไม่ได้เป็นมาตรฐานแต่อย่างใด) ในกรณีนี้STคือกลุ่มที่สร้างขึ้นโดยSและTกล่าวคือST = TS = ⟨ S ∪ T ⟩

ถ้าSหรือT ตัวใดตัวหนึ่ง เป็นปกติเงื่อนไขST = TSจะเป็นจริง และผลคูณจะเป็นกลุ่มย่อย^{[ 4 ​​] [ 5 ]}ถ้าทั้งSและTเป็นปกติ ผลคูณก็จะเป็นปกติเช่นกัน^{[ 4 ]}

ถ้าSและTเป็นกลุ่มย่อยจำกัดของกลุ่มGแล้วSTเป็นเซตย่อยของGที่มีขนาด|ST|ซึ่งกำหนดโดยสูตรผลคูณดังนี้:

${\displaystyle |ST|={\frac {|S||T|}{|S\cap T|}}}$

โปรดทราบว่าข้อนี้ใช้ได้แม้ว่าทั้งSและTจะไม่ปกติก็ตาม

กฎโมดูลาร์ ต่อไปนี้(สำหรับกลุ่ม)ใช้ได้กับกลุ่มย่อยQ ใดๆ ของ Sโดยที่Tเป็นกลุ่มย่อยอื่นๆ ใดๆ ก็ได้ (และทั้งSและTเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มG บางกลุ่ม ):

Q ( S ∩ T ) = S ∩ ( QT )

ผลิตภัณฑ์สองชนิดที่ปรากฏในความเท่าเทียมกันนี้ ไม่จำเป็นต้องเป็นกลุ่มย่อยเสมอไป

ถ้าQTเป็นกลุ่มย่อย (หรือเทียบเท่ากับที่กล่าวไว้ข้างต้น ถ้าQและTสลับตำแหน่งกันได้) แล้วQT = ⟨ Q ∪ T ⟩ = Q ∨ Tกล่าวคือQTคือการรวมกันของQและTในแลตทิซของกลุ่มย่อยของGและกฎมอดูลาร์สำหรับคู่ดังกล่าวอาจเขียนได้เป็นQ ∨ ( S ∩ T ) = S ∩ ( Q ∨ T ) ซึ่งเป็นสมการที่กำหนดแลตทิซมอดูลาร์ถ้าสมการนี้ใช้ได้กับสมาชิกสามตัวใดๆ ในแลตทิซที่มีQ ≤ Sโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เนื่องจากกลุ่มย่อยปกติสลับตำแหน่งกันได้ จึงก่อให้เกิดแลตทิซ ย่อยมอดูลา ร์

กลุ่มที่ทุกกลุ่มย่อยสามารถสลับตำแหน่งได้เรียกว่ากลุ่มอิวาซาวะดังนั้นแลตทิซกลุ่มย่อยของกลุ่มอิวาซาวะจึงเป็นแลตทิซแบบโมดูลาร์ ดังนั้นบางครั้งกลุ่มเหล่านี้จึงเรียกว่ากลุ่มโมดูลาร์^{[ 6 ]} (แม้ว่าคำหลังนี้อาจมีความหมายอื่น)

ข้อสมมติในกฎโมดูลาร์สำหรับกลุ่ม (ตามที่กำหนดไว้ข้างต้น) ที่ว่าQเป็นกลุ่มย่อยของSนั้นมีความสำคัญ หากQ ไม่ใช่กลุ่มย่อยของS แล้ว คุณสมบัติการกระจายทั่วไปที่อาจพิจารณาได้ว่าS ∩ ( QT ) = ( S ∩ Q )( S ∩ T ) นั้นเป็นเท็จ^{[ 7 ] [ 8 ]}

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าSและTตัดกันเฉพาะในเอกลักษณ์เท่านั้น ทุกองค์ประกอบของSTจะมีนิพจน์ที่ไม่ซ้ำกันในรูปผลคูณ stโดยที่sอยู่ในSและtอยู่ในTถ้าSและTสลับที่กันได้ด้วยแล้วSTจะเป็นกลุ่ม และเรียกว่าผลคูณ Zappa–Szépยิ่งไปกว่านั้น ถ้าSหรือTเป็นกลุ่มปกติในSTแล้วSTจะตรงกับผลคูณกึ่งตรงของSและTสุดท้าย ถ้าทั้งSและTเป็นกลุ่มปกติในSTแล้วSTจะตรงกับ ผล คูณ ตรงของSและT

ถ้าSและTเป็นกลุ่มย่อยที่มีจุดตัดเป็นกลุ่มย่อยที่ไม่สำคัญ ( สมาชิกเอกลักษณ์ ) และนอกจากนี้ST = Gแล้วSเรียกว่าส่วนเติมเต็มของTและในทางกลับกัน

โดยการใช้คำศัพท์ในทางที่ผิด (ซึ่งไม่คลุมเครือในระดับท้องถิ่น) กลุ่มย่อยสองกลุ่มที่ตัดกันเฉพาะบนเอกลักษณ์ (ซึ่งโดยปกติแล้วเป็นสิ่งที่จำเป็น) บางครั้งเรียกว่าแยกกัน^{[ 9 ]}

คำถามที่เกิดขึ้นในกรณีของการตัดกันที่ไม่ธรรมดาระหว่างกลุ่มย่อยปกติNและกลุ่มย่อยKคือโครงสร้างของผลหารNK / N คืออะไร แม้ว่าบางคนอาจจะอยาก "ตัดทิ้ง" Nและบอกว่าคำตอบคือKแต่ก็ไม่ถูกต้อง เพราะโฮโมมอร์ฟิซึมที่มีเคอร์เนลNจะ "ยุบ" (แมปไปที่ 1) องค์ประกอบทั้งหมดของKที่อยู่ในN ด้วย ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องคือNK / Nเป็นไอโซมอร์ฟิกกับK /( N ∩ K ) ข้อเท็จจริงนี้บางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมที่สอง^{[ 10 ]} (แม้ว่าการกำหนดหมายเลขของทฤษฎีบทเหล่านี้จะมีความแตกต่างกันบ้างระหว่างผู้เขียน) ไอ. มาร์ติน ไอแซคส์เรียกทฤษฎีบทนี้ว่าทฤษฎีบทเพชรเนื่องจากรูปร่างของแลตทิซกลุ่มย่อยที่เกี่ยวข้อง^{[ 11 ]}และยังเรียกมันว่ากฎสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยพอล มอริตซ์ โคห์นซึ่งเน้นย้ำถึงความคล้ายคลึงกับกฎสี่เหลี่ยมด้านขนานสำหรับเวกเตอร์ เนื่องจากในแลตทิซกลุ่มย่อยที่ได้นั้น ด้านทั้งสองที่ถือว่าแทนกลุ่มผลหาร ( SN ) /  NและS  / ( S  ∩  N ) นั้น "เท่ากัน" ในแง่ของไอโซมอร์ฟิซึม^{[ 12 ]}

ข้อโต้แย้งของ Frattiniรับประกันการมีอยู่ของผลคูณของกลุ่มย่อย (ซึ่งก่อให้เกิดกลุ่มทั้งหมด) ในกรณีที่จุดตัดไม่จำเป็นต้องเป็นจุดตัดเล็กน้อย (และด้วยเหตุผลหลังนี้ กลุ่มย่อยทั้งสองจึงไม่ใช่ส่วนเติมเต็ม) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าGเป็นกลุ่มจำกัดที่มีกลุ่มย่อยปกติNและถ้าPเป็นกลุ่มย่อยSylow pของNแล้วG = N _G ( P ) Nโดยที่N _G ( P ) หมายถึงตัวทำให้ปกติของPในG (โปรดทราบว่าตัวทำให้ปกติของPรวมถึงP ด้วย ดังนั้นจุดตัดระหว่างNและN _G ( P ) อย่างน้อยที่สุดคือP )

ในเซมิกรุป S ผลคูณของเซตย่อยสองเซตจะกำหนดโครงสร้างของเซมิกรุปบน P(S) ซึ่งเป็นเซตกำลังของเซมิกรุป S ยิ่งไปกว่านั้น P(S) ยังเป็นเซมิริงที่มีการบวกเป็นการรวมกัน (ของเซตย่อย) และการคูณเป็นการคูณของเซตย่อย^{[ 13 ]}

• ผลิตภัณฑ์หลัก
• ชุดนอนคู่