ทฤษฎีพลศาสตร์นิวตันแบบดัดแปลง ( MOND ) เป็นทฤษฎีที่เสนอการปรับเปลี่ยนกฎของนิวตันเพื่ออธิบายคุณสมบัติที่สังเกตได้ของกาแล็กซีการปรับเปลี่ยนกฎแรงโน้มถ่วงของนิวตันส่งผลให้เกิดแรงโน้มถ่วงแบบดัดแปลงในขณะที่การปรับเปลี่ยนกฎข้อที่สองของนิวตันส่งผลให้เกิดความเฉื่อยแบบดัดแปลง ซึ่งทฤษฎีหลังนี้ได้รับความสนใจน้อยกว่าเมื่อเทียบกับแรงโน้มถ่วงแบบดัดแปลง แรงจูงใจหลักของทฤษฎีนี้คือการอธิบายเส้นโค้งการหมุนของกาแล็กซีโดยไม่ต้องอ้างถึงสสารมืดและเป็นหนึ่งในทฤษฎีที่เป็นที่รู้จักมากที่สุดในกลุ่มนี้

MOND ได้รับการพัฒนาในปี 1982 และนำเสนอในปี 1983 โดยนักฟิสิกส์ชาวอิสราเอลMordehai Milgrom [ ^{1 ] [ 2 ] Milgrom}ตั้งข้อสังเกตว่าข้อมูลเส้นโค้งการหมุนของกาแล็กซี ซึ่งดูเหมือนจะแสดงให้เห็นว่ากาแล็กซีมีสสารมากกว่าที่สังเกตได้นั้น สามารถอธิบายได้หากแรงโน้มถ่วงที่ดาวฤกษ์ในบริเวณรอบนอกของกาแล็กซีได้รับนั้นลดลงช้ากว่าที่ทำนายไว้โดยกฎแรงโน้มถ่วงของนิวตัน MOND ปรับเปลี่ยนกฎของนิวตันสำหรับความเร่งที่น้อยมาก ซึ่งพบได้ทั่วไปในกาแล็กซีและกระจุกกาแล็กซี ซึ่งทำให้สอดคล้องกับข้อมูลเส้นโค้งการหมุนของกาแล็กซีได้ดี ในขณะที่ยังคงพลวัตของระบบสุริยะที่มีสนามโน้มถ่วงที่แข็งแกร่งเอาไว้^{[ 3 ]}อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีนี้ทำนายว่าสนามโน้มถ่วงของกาแล็กซีอาจส่งผลต่อวงโคจรของ วัตถุ ในแถบไคเปอร์ผ่านผลกระทบของสนามภายนอกซึ่งเป็นเอกลักษณ์เฉพาะของ MOND ^{[ 4 ]}

นับตั้งแต่ข้อเสนอเดิมของ Milgrom MOND ก็ประสบความสำเร็จบ้าง มันสามารถอธิบายการสังเกตการณ์หลายอย่างในพลศาสตร์ของกาแล็กซีได้^{[ 5 ] [ 6 ]}ซึ่งหลายอย่าง Lambda-CDM อธิบายได้ยาก^{[ 7 ] [ 8 ]}อย่างไรก็ตาม MOND ประสบปัญหาในการอธิบายการสังเกตการณ์อื่นๆ อีกมากมาย เช่น ยอดคลื่นเสียงของพื้นหลังไมโครเวฟของจักรวาลและสเปกตรัมกำลังของสสารของโครงสร้างขนาดใหญ่ของจักรวาลนอกจากนี้ เนื่องจาก MOND ไม่ใช่ทฤษฎีสัมพัทธภาพ มันจึงประสบปัญหาในการอธิบายผลกระทบสัมพัทธภาพ เช่นเลนส์โน้มถ่วงและคลื่นโน้มถ่วงสุดท้าย จุดอ่อนสำคัญของ MOND คือกระจุกกาแล็กซีทั้งหมด รวมถึงกระจุกกาแล็กซี Bullet ที่มีชื่อเสียง แสดงความคลาดเคลื่อน ^ของมวลที่เหลืออยู่แม้จะวิเคราะห์โดยใช้ MOND ก็ตาม ด้วยเหตุนี้ มันจึงไม่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวาง^{[ 5 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

ในปี 2547 Jacob Bekensteinได้พัฒนาการขยายความเชิงสัมพัทธภาพของ MOND, TeVeSซึ่งอย่างไรก็ตามก็มีปัญหาของตัวเอง ความพยายามที่โดดเด่นอีกครั้งหนึ่งคือโดยConstantinos SkordisและTom Złośnikในปี 2564 ซึ่งเสนอแบบจำลองเชิงสัมพัทธภาพของ MOND ที่เข้ากันได้กับการสังเกตการณ์พื้นหลังไมโครเวฟของจักรวาล แบบจำลองนี้ต้องการฟิลด์พิเศษหลายฟิลด์ (จึงลดความสง่างามของแบบจำลองลง) และยังไม่สามารถจับคู่การเลนส์โน้มถ่วงที่สังเกตได้^{[ 12 ] [ 14 ]}

การสังเกตอิสระหลายครั้งชี้ให้เห็นว่ามวลที่มองเห็นได้ในกาแล็กซีและกระจุกกาแล็กซีนั้นไม่เพียงพอที่จะอธิบายพลวัตของพวกมัน เมื่อวิเคราะห์โดยใช้กฎของนิวตัน ความไม่สอดคล้องกันนี้ – ซึ่งรู้จักกันในชื่อ “ปัญหามวลที่หายไป” – ได้รับการระบุโดยผู้สังเกตการณ์หลายคนโดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยนักดาราศาสตร์ชาวสวิสFritz Zwickyในปี 1933 ผ่านการศึกษาของเขาเกี่ยวกับกระจุกกาแล็กซีโคมา [ ^{17 ] [ 18 ] ต่อ}มาได้มีการขยายผลนี้ไปรวมถึงกาแล็กซีเกลียวโดยงานของHorace Babcockใน ปี 1939 เกี่ยวกับ กาแล็กซีแอนโดรเมดา^{[ 19 ]}

การศึกษาเบื้องต้นเหล่านี้ได้รับการเสริมและนำเสนอต่อชุมชนดาราศาสตร์ในช่วงทศวรรษ 1960 และ 1970 โดยผลงานของVera Rubinซึ่งได้ทำแผนที่ความเร็วในการหมุนของดาวฤกษ์อย่างละเอียดในตัวอย่างกาแล็กซีเกลียวจำนวนมาก ในขณะที่กฎของนิวตันทำนายว่าความเร็วในการหมุนของดาวฤกษ์ควรลดลงตามระยะทางจากศูนย์กลางกาแล็กซี แต่ Rubin และผู้ร่วมงานกลับพบว่าความเร็วในการหมุนยังคงเกือบคงที่^{[ 20 ]} – เส้นโค้งการหมุนจึงเรียกว่า "แบนราบ" การสังเกตนี้จำเป็นต้องมีสิ่งใดสิ่งหนึ่งต่อไปนี้: ^{[ 5 ]}

1. ในกาแล็กซีมีสสารที่มองไม่เห็นอยู่เป็นจำนวนมาก ซึ่งช่วยเพิ่มความเร็วของดาวฤกษ์ให้สูงกว่าที่คาดการณ์ได้จากมวลที่มองเห็นได้เพียงอย่างเดียว หรือ
2. หนึ่งในกฎของนิวตันใช้ไม่ได้กับกาแล็กซี

ตัวเลือกแรกนำไปสู่สมมติฐานเรื่องสสารมืด ส่วนตัวเลือกที่สองนำไปสู่ทฤษฎีแรงโน้มถ่วงทางเลือกอื่นๆ เช่น MOND

MOND ได้รับการเสนอในปี 1983 และได้รับการแก้ไขอย่างมีนัยสำคัญนับตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ในปี 2004 Jacob Bekenstein ได้สร้าง TeVeSเวอร์ชันที่ถูกต้องตามทฤษฎีสัม พัทธภาพ ซึ่งเพิ่มฟิลด์เพิ่มเติมอีกสองฟิลด์และพารามิเตอร์อิสระสามตัวให้กับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป^{[ 21 ]} ΛCDM ที่รวมสสารมืดและ MOND ที่รวมแรงโน้มถ่วงทางเลือกมีขอบเขตความสำเร็จที่แตกต่างกัน ในระดับจักรวาลวิทยาขนาดใหญ่ เช่น กระจุกกาแล็กซีและการก่อตัวของกาแล็กซี ΛCDM ประสบความสำเร็จอย่างมาก MOND สามารถอธิบายการสังเกตการณ์ทางดาราศาสตร์ในระดับกาแล็กซีได้ แต่ล้มเหลวในฐานะแบบจำลองสำหรับจักรวาลวิทยา^{[ 5 ] [ 22 ]}

หลักการพื้นฐานของ MOND คือ แม้ว่ากฎของนิวตันจะได้รับการทดสอบอย่างกว้างขวางในสภาพแวดล้อมที่มีความเร่งสูง (ในระบบสุริยะและบนโลก) แต่ก็ยังไม่ได้รับการตรวจสอบสำหรับสภาพแวดล้อมที่มีความเร่งต่ำมาก เช่น วงโคจรในส่วนนอกของกาแล็กซี สิ่งนี้ทำให้ Milgrom ตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับกฎแรงโน้มถ่วงที่มีประสิทธิภาพใหม่ที่เชื่อมโยงความเร่งที่แท้จริงของวัตถุกับความเร่งที่จะคาดการณ์ได้จากกลศาสตร์ของนิวตัน^{[ 1 ]}กฎนี้ ซึ่งเป็นหัวใจสำคัญของ MOND ถูกเลือกเพื่อสร้างผลลัพธ์ของนิวตันที่ความเร่งสูง แต่นำไปสู่พฤติกรรมที่แตกต่างกัน ("deep-MOND") ที่ความเร่งต่ำ:

${\displaystyle F_{\text{N}}=m\,\mu \left({\frac {a}{a_{0}}}\right)\,a~.}$

1

ในที่นี้F _Nคือแรงแบบนิวตัน, m คือ มวล (เนื่องจากแรงโน้มถ่วง) ของวัตถุ, aคือความเร่งของวัตถุ, μ ( x ) คือฟังก์ชันที่ยังไม่ได้ระบุ (เรียกว่าฟังก์ชันการประมาณค่า ) และa ₀คือค่าคงที่พื้นฐานใหม่ที่บ่งบอกถึงการเปลี่ยนผ่านระหว่างระบอบนิวตันและระบอบ MOND เชิงลึก การสอดคล้องกับกลศาสตร์แบบนิวตันนั้นจำเป็นต้องมี

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu (x)\longrightarrow 1&&{\text{ สำหรับ }}x\gg 1\end{aligned}}~,}$

และความสอดคล้องกับการสังเกตการณ์ทางดาราศาสตร์นั้นจำเป็นต้องมี

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu (x)\longrightarrow x&&{\text{ สำหรับ }}x\ll 1\end{aligned}}~.}$

นอกเหนือจากขอบเขตเหล่านี้แล้ว สมมติฐานไม่ได้ระบุฟังก์ชันการประมาณค่าไว้

กฎของมิลกรมสามารถตีความได้สองวิธี:

• ความเฉื่อยที่ปรับเปลี่ยน:ความเป็นไปได้ประการหนึ่งคือการพิจารณาว่าเป็นการปรับเปลี่ยนกฎข้อที่สองของนิวตันเพื่อให้แรงที่กระทำต่อวัตถุไม่เป็นสัดส่วนกับความเร่งของอนุภาคaแต่เป็นสัดส่วนกับในกรณีนี้ พลศาสตร์ที่ปรับเปลี่ยนจะไม่เพียงใช้กับปรากฏการณ์แรงโน้มถ่วงเท่านั้น แต่ยังใช้กับปรากฏการณ์ที่เกิดจากแรง อื่นๆ ด้วย เช่นแม่เหล็กไฟฟ้า^{[ 23 ]}การตีความนี้ไม่เป็นที่ยอมรับจากการทดลองในห้องปฏิบัติการ^{[ 24 ]}${\textstyle \mu \left({\frac {a}{a_{0}}}\right)a.}$
• แรงโน้มถ่วงที่ปรับเปลี่ยน:อีกทางเลือกหนึ่ง กฎของมิลกรมอาจถูกมองว่าเป็นการปรับเปลี่ยนกฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตันแทน ดังนั้นแรงโน้มถ่วงที่แท้จริงที่กระทำต่อวัตถุมวลmเนื่องมาจาก วัตถุมวล Mจึงมีรูปแบบโดยประมาณดังนี้ในการตีความนี้ การปรับเปลี่ยนของมิลกรมจะใช้ได้เฉพาะกับปรากฏการณ์แรงโน้มถ่วงเท่านั้น การตีความนี้ได้รับความสนใจมากกว่าการตีความอีกแบบหนึ่ง${\textstyle {\frac {GMm}{\nu \left({\frac {a_{0}}{a}}\right)r^{2}}}.}$

กฎของ Milgrom กล่าวว่า สำหรับความเร่งที่น้อยกว่าa₀ความเร่งจะเบี่ยงเบนจากความสัมพันธ์มาตรฐานของมวลและระยะทางแบบนิวตันM · G / r²_{มาก ขึ้นเรื่อย} ^ๆ ซึ่งความแรงของแรงโน้มถ่วงเป็นสัดส่วนเชิงเส้นกับมวลและผกผันกำลังสองของระยะทาง ในทางกลับกัน ทฤษฎีนี้กล่าวว่า สนามโน้มถ่วงที่ต่ำกว่าค่า a₀จะเพิ่มขึ้นตามรากที่สองของมวลและลดลงเชิงเส้นกับระยะทางเมื่อใดก็ตามที่สนามโน้มถ่วงมีค่ามากกว่า_{a₀ ไม่}ว่าจะเป็นบริเวณใกล้ศูนย์กลางของกาแล็กซีหรือวัตถุใกล้หรือบนโลก MOND จะให้พลศาสตร์ที่แทบจะแยกไม่ออกจากแรงโน้มถ่วงแบบนิวตัน ตัวอย่างเช่น หากความเร่งโน้มถ่วงเท่ากับa₀ ที่ระยะทางหนึ่งจากมวล ที่ระยะทางสิบ _เท่าของระยะนั้น แรงโน้มถ่วงแบบนิวตันทำนายว่าแรงโน้มถ่วงจะลดลงร้อยเท่า ในขณะที่ MOND ทำนายว่าจะลดลงเพียงสิบเท่า ในปี 1991 Begeman และคณะ พบว่าค่าa ₀ ≈ 1.2 × 10 ⁻¹⁰  m/s ²เหมาะสมที่สุดโดยการปรับกฎของ Milgrom ให้เข้ากับข้อมูลเส้นโค้งการหมุน^{[ 25 ]}ค่าคงที่ความเร่งของ Milgrom ไม่ได้เปลี่ยนแปลงอย่างมีนัยสำคัญนับตั้งแต่นั้นมา^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]}ค่าของa ₀ยังกำหนดระยะห่างจากมวลที่พลศาสตร์แบบนิวตันและ MOND แตกต่างกัน

กฎของมิลกรมนั้นโดยตัวมันเองไม่ใช่ทฤษฎีทางฟิสิกส์ ที่สมบูรณ์และครบถ้วนในตัวเอง แต่เป็นเพียงรูปแบบหนึ่งของสมการในกลศาสตร์คลาสสิกที่ได้แรงบันดาลใจจากประสบการณ์ สถานะของมันภายในสมมติฐานที่ไม่เกี่ยวกับสัมพัทธภาพที่สอดคล้องกันของ MOND นั้นคล้ายคลึงกับกฎข้อที่สามของเคปเลอร์ในกลศาสตร์นิวตัน กฎของมิลกรมให้คำอธิบายที่กระชับเกี่ยวกับข้อเท็จจริงที่สังเกตได้ แต่ตัวมันเองต้องมีพื้นฐานมาจากทฤษฎีสนามที่เหมาะสม สมมติฐานคลาสสิกที่สมบูรณ์หลายข้อได้รับการเสนอ (โดยทั่วไปอยู่ในแนว "แรงโน้มถ่วงที่ปรับเปลี่ยน" ตรงข้ามกับ "ความเฉื่อยที่ปรับเปลี่ยน") สมมติฐานเหล่านี้โดยทั่วไปจะให้ผลลัพธ์ตามกฎของมิลกรมอย่างแม่นยำในสถานการณ์ที่มีสมมาตร สูง และในกรณีอื่น ๆ จะเบี่ยงเบนจากกฎนั้นเล็กน้อย สำหรับ MOND ในฐานะแรงโน้มถ่วงที่ปรับเปลี่ยนนั้น มีทฤษฎีสนามที่สมบูรณ์สองทฤษฎีที่เรียกว่าAQUALและQUMONDสมมติฐานที่ไม่เกี่ยวกับสัมพัทธภาพเหล่านี้บางส่วนได้ถูกนำไปฝังไว้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ ซึ่งสามารถเชื่อมโยงกับปรากฏการณ์ที่ไม่ใช่คลาสสิก (เช่นเลนส์ความโน้มถ่วง ) และจักรวาลวิทยาได้^{[ 30 ]}การแยกแยะความแตกต่างระหว่างทางเลือกเหล่านี้ทั้งในเชิงทฤษฎีและเชิงสังเกตถือเป็นหัวข้อการวิจัยในปัจจุบัน

กฎของ Milgrom ใช้ฟังก์ชันการแทรกสอดเพื่อเชื่อมขีดจำกัดทั้งสองเข้าด้วยกัน กฎนี้แสดงถึงอัลกอริทึมง่ายๆ ในการแปลงความเร่งโน้มถ่วงแบบนิวตันไปเป็นความเร่งจลน์ที่สังเกตได้ และในทางกลับกัน มีการเสนอฟังก์ชันมากมายในเอกสารทางวิชาการ แม้ว่าในปัจจุบันจะไม่มีฟังก์ชันการแทรกสอดเพียงฟังก์ชันเดียวที่ตรงตามข้อจำกัดทั้งหมดก็ตาม^{[ 31 ]}ตัวเลือกทั่วไปสองแบบคือ "ฟังก์ชันการแทรกสอดแบบง่าย" และ "ฟังก์ชันการแทรกสอดแบบมาตรฐาน" ^{[ 30 ]}แต่ละฟังก์ชันมีค่า a และทิศทางในการแปลงสนามโน้มถ่วงแบบ Milgromian ไปเป็นแบบนิวตัน และในทางกลับกัน ดังนี้: ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle a_{N}=\mu \left({\frac {a_{M}}{a_{0}}}\right)a_{M}~,}$

${\displaystyle a_{M}=\nu \left({\frac {a_{0}}{a_{N}}}\right)a_{N}~.}$

ฟังก์ชัน การแทรกค่า แบบง่ายคือ:

${\displaystyle \mu \left({\frac {a_{M}}{a_{0}}}\right)={\frac {\frac {a_{M}}{a_{0}}}{1+{\frac {a_{M}}{a_{0}}}}}~,}$

${\displaystyle \nu \left({\frac {a_{0}}{a_{N}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {1+{\frac {4a_{0}}{a_{N}}}}}\right)~.}$

ฟังก์ชัน การประมาณค่า แบบมาตรฐานคือ:

${\displaystyle \mu \left({\frac {a_{M}}{a_{0}}}\right)={\frac {\frac {a_{M}}{a_{0}}}{{\sqrt {1+\left({\frac {a_{M}}{a_{0}}}\right)^{2}}}~}}~,}$

${\displaystyle \nu \left({\frac {a_{0}}{a_{N}}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+{\sqrt {1+4\left({\frac {a_{0}}{a_{N}}}\right)^{2}}}}}~.}$

ดังนั้น ในระบอบ deep-MOND ( a ≪ a ₀ ):

${\displaystyle F_{\text{N}}=m{\frac {\,a^{2}\,}{\,a_{0}\,}}~.}$

ข้อมูลจากกาแล็กซีเกลียวและวงรีสนับสนุนฟังก์ชันการแทรกสอดแบบง่าย^{[ 32 ] [ 33 ]}ในขณะที่ข้อมูลจากการวัดระยะด้วยเลเซอร์ของดวงจันทร์และข้อมูลการติดตามด้วยคลื่นวิทยุของยาน อวกาศ แคสสินีไปยังดาวเสาร์ต้องการฟังก์ชันการแทรกสอดที่ลู่เข้าสู่แรงโน้มถ่วงแบบนิวตันได้เร็วกว่า^{[ 31 ] [ 34 ]}

ในกลศาสตร์นิวตัน ความเร่งของวัตถุสามารถหาได้จากผลรวมเวกเตอร์ของความเร่งอันเนื่องมาจากแรงแต่ละแรงที่กระทำต่อวัตถุนั้น ซึ่งหมายความว่าระบบย่อยสามารถแยกออกจากระบบที่ใหญ่กว่าซึ่งมันฝังอยู่ได้โดยการอ้างอิงการเคลื่อนที่ของอนุภาคที่เป็นส่วนประกอบไปยังจุดศูนย์กลางมวลของพวกมัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง อิทธิพลของระบบที่ใหญ่กว่านั้นไม่เกี่ยวข้องกับพลศาสตร์ภายในของระบบย่อย เนื่องจากกฎของ Milgrom ไม่เป็นเชิงเส้นในเรื่องความเร่ง ระบบย่อย MONDian จึงไม่สามารถแยกออกจากสิ่งแวดล้อมได้ด้วยวิธีนี้ และในบางสถานการณ์จะนำไปสู่พฤติกรรมที่ไม่มีความคล้ายคลึงกับกลศาสตร์นิวตัน นี่คือสิ่งที่เรียกว่า "ผลกระทบจากสนามภายนอก" (EFE) ^{[ 1 ]}ซึ่งมีหลักฐานจากการสังเกต^{[ 35 ]}

ผลกระทบจากสนามภายนอกนั้น อธิบายได้ดีที่สุดโดยการจำแนกระบบทางกายภาพตามค่าสัมพัทธ์ของa _in (ความเร่งลักษณะเฉพาะของวัตถุหนึ่งภายในระบบย่อยเนื่องจากอิทธิพลของวัตถุอื่น), a _ex (ความเร่งของระบบย่อยทั้งหมดเนื่องจากแรงที่กระทำโดยวัตถุภายนอก) และa ₀ :

• ${\displaystyle a_{\mathrm {in} }>a_{0}}$ : ระบอบนิวตัน
• ${\displaystyle a_{\mathrm {ex} }<a_{\mathrm {in} }<a_{0}}$ : ระบอบ Deep-MOND
• ${\displaystyle a_{\mathrm {in} }<a_{0}<a_{\mathrm {ex} }}$ สนามภายนอกมีอิทธิพลเหนือกว่า และพฤติกรรมของระบบเป็นแบบนิวตัน
• ${\displaystyle a_{\mathrm {in} }<a_{\mathrm {ex} }<a_{0}}$ สนามภายนอกมีขนาดใหญ่กว่าความเร่งภายในของระบบ แต่ทั้งสองมีขนาดเล็กกว่าค่าวิกฤต ในกรณีนี้ พลศาสตร์เป็นแบบนิวตัน แต่ค่าประสิทธิผลของ^Gจะเพิ่มขึ้นด้วยปัจจัยa ₀ / a _ex ^{[ 37} ]

ผลกระทบของสนามภายนอกบ่งบอกถึงการแตกหักพื้นฐานกับหลักการสมดุลที่แข็งแกร่ง (แต่ไม่ใช่หลักการสมดุลที่อ่อนแอซึ่งจำเป็นโดยLagrangian ^{[ 2 ] [ 38 ]} ) ผลกระทบนี้ถูกตั้งสมมติฐานโดย Milgrom ในเอกสารฉบับแรกของเขาในปี 1983 เพื่ออธิบายว่าทำไมกระจุกดาวเปิด บางกระจุก จึงไม่มีความคลาดเคลื่อนของมวลแม้ว่าความเร่งภายในของพวกมันจะต่ำกว่า a ₀ก็ตาม ตั้งแต่นั้นมาก็ได้รับการยอมรับว่าเป็นองค์ประกอบสำคัญของแบบจำลอง MOND

การพึ่งพาของพลวัตภายในของระบบใน MOND ต่อสภาพแวดล้อมภายนอก (โดยหลักการคือส่วนที่เหลือของจักรวาล ) นั้นชวนให้นึกถึงหลักการของ Mach อย่างมาก และอาจชี้ให้เห็นถึงโครงสร้างพื้นฐานที่อยู่เบื้องหลังกฎของ Milgrom มากขึ้น ในเรื่องนี้ Milgrom ได้แสดงความคิดเห็นไว้ว่า: ^{[ 39 ]}

เป็นที่สงสัยกันมานานแล้วว่าพลวัตในระดับท้องถิ่นได้รับอิทธิพลอย่างมากจากเอกภพโดยรวมตามหลักการของมัค แต่ทฤษฎี MOND ดูเหมือนจะเป็นทฤษฎีแรกที่ให้หลักฐานที่เป็นรูปธรรมสำหรับความเชื่อมโยงดังกล่าว นี่อาจกลายเป็นผลลัพธ์ที่สำคัญที่สุดของทฤษฎี MOND นอกเหนือจากการปรับเปลี่ยนพลวัตแบบนิวตันและทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป และนอกเหนือจากการกำจัดสสารมืด

กฎของ Milgrom จำเป็นต้องรวมเข้ากับสมมติฐานที่สมบูรณ์หากต้องการให้สอดคล้องกับกฎการอนุรักษ์และให้คำตอบที่ไม่ซ้ำกันสำหรับวิวัฒนาการเวลาของระบบทางกายภาพใดๆ^{[ 40 ]}แต่ละทฤษฎีที่อธิบายไว้ที่นี่จะลดลงเหลือกฎของ Milgrom ในสถานการณ์ที่มีสมมาตรสูง แต่จะสร้างพฤติกรรมที่แตกต่างกันในรายละเอียด

ทั้ง AQUAL และ QUMOND เสนอการเปลี่ยนแปลงในส่วนของแรงโน้มถ่วงของการกระทำของสสารแบบคลาสสิก และด้วยเหตุนี้จึงตีความกฎของ Milgrom ว่าเป็นการปรับเปลี่ยนแรงโน้มถ่วงแบบนิวตัน แทนที่จะเป็นกฎข้อที่สองของนิวตัน ทางเลือกอื่นคือการเปลี่ยนเทอมจลน์ของการกระทำให้เป็นฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับวิถีการเคลื่อนที่ของอนุภาค อย่างไรก็ตาม ทฤษฎี "ความเฉื่อยที่ปรับเปลี่ยน" ดังกล่าวนั้นยากที่จะนำไปใช้ เนื่องจากไม่ขึ้นอยู่กับเวลา ต้อง กำหนด พลังงานและโมเมนตัมใหม่ที่ไม่ธรรมดาเพื่อให้คงอยู่ และมีการคาดการณ์ที่ขึ้นอยู่กับวงโคจรทั้งหมดของอนุภาค^{[ 30 ]}

สมมติฐานแรกของ MOND (เรียกว่า AQUAL ซึ่งย่อมาจาก "A QUAdratic Lagrangian") ถูกสร้างขึ้นในปี 1984 โดย Milgrom และJacob Bekenstein [ ^{2 ] AQUAL}สร้างพฤติกรรมแบบ MONDian โดยการปรับเปลี่ยนเทอมแรงโน้มถ่วงในLagrangian แบบคลาสสิก จากที่เป็นกำลังสองในเกรเดียนต์ของศักยภาพแบบนิวตันไปเป็นฟังก์ชันทั่วไปมากขึ้น F ฟังก์ชัน F นี้จะลดลงเหลือเวอร์ชันของฟังก์ชันการแทรกสอดหลังจากเปลี่ยนแปลงโดยใช้หลักการของการกระทำน้อยที่สุดในแรงโน้มถ่วงแบบนิวตันและ AQUAL Lagrangian คือ: ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\text{Newton}}&=-{\frac {1}{8\pi G}}\cdot \|\nabla \phi \|^{2}\\[6pt]{\mathcal {L}}_{\text{AQUAL}}&=-{\frac {1}{8\pi G}}\cdot a_{0}^{2}F\left({\tfrac {\|\nabla \phi \|^{2}}{a_{0}^{2}}}\right),\qquad {\text{with }}\quad \mu (x)={\frac {dF(x^{2})}{dx}}.\end{aligned}}}$

โดยที่ คือศักย์โน้มถ่วงแบบนิวตันมาตรฐาน และFคือฟังก์ชันไร้มิติแบบใหม่ การประยุกต์ใช้สมการออยเลอร์-ลากรางจ์ในแบบมาตรฐานจะนำไปสู่การวางนัยทั่วไปแบบไม่เชิงเส้นของสมการนิวตัน-ปัวซง : ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \nabla \cdot \left[\mu \left({\frac {\left\|\nabla \phi \right\|}{a_{0}}}\right)\nabla \phi \right]=4\pi G\rho }$

ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยการกำหนดเงื่อนไขขอบเขตที่เหมาะสมและเลือกค่า F เพื่อให้ได้กฎของ Milgrom (โดยมี การแก้ไขสนาม curlซึ่งจะหายไปในสถานการณ์ที่มีสมมาตรสูง) AQUAL ใช้ฟังก์ชันการแทรกสอดที่เลือกในรูปแบบ -version ${\displaystyle \mu }$

อีกวิธีหนึ่งในการปรับเปลี่ยนเทอมแรงโน้มถ่วงใน Lagrangian คือการแนะนำความแตกต่างระหว่างสนามความเร่งจริง (MONDian) aและสนามความเร่งแบบนิวตันa _N Lagrangian อาจถูกสร้างขึ้นเพื่อให้a _Nสอดคล้องกับสมการนิวตัน-ปัวซงตามปกติ จากนั้นจึงใช้เพื่อหาaผ่านขั้นตอนพีชคณิตเพิ่มเติมแต่ไม่เป็นเชิงเส้น ซึ่งเลือกให้สอดคล้องกับกฎของ Milgrom วิธีนี้เรียกว่า "การกำหนดสูตรกึ่งเชิงเส้นของ MOND" หรือ QUMOND ^{[ 38 ]}และมีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการคำนวณการกระจายของสสารมืด "แฟนทอม" ที่จะอนุมานได้จากการวิเคราะห์แบบนิวตันของสถานการณ์ทางกายภาพที่กำหนด^{[ 30 ]} QUMOND ได้กลายเป็นทฤษฎีสนาม MOND ที่โดดเด่นนับตั้งแต่ได้รับการกำหนดสูตรครั้งแรกในปี 2010 เนื่องจากเป็นมิตรกับการคำนวณมากกว่าและอาจเข้าใจง่ายกว่าสำหรับผู้ที่ทำงานเกี่ยวกับการจำลองเชิงตัวเลขของแรงโน้มถ่วงแบบนิวตัน^{[ 36 ]} QUMOND ใช้ฟังก์ชันการแทรกสอดแบบ -เวอร์ชันที่เลือก QUMOND และ AQUAL สามารถหาได้จากกันและกันโดยใช้การแปลงเลอจองเดอร์^{[ 41 ]}ลากรางเจียนของ QUMOND คือ: ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\text{QUMOND}}={\frac {1}{2}}\rho v^{2}-\rho \phi -{\frac {1}{8\pi G}}\left(2\nabla \phi \cdot \nabla \phi _{N}-a_{0}^{2}Q\left((a_{0}/\nabla \phi _{N})^{2}\right)\right)\end{aligned}}}$

เนื่องจาก Lagrangian นี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเวลาโดยตรงและไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลเชิงพื้นที่ ซึ่งหมายความว่าพลังงานและโมเมนตัมจะถูกอนุรักษ์ตามทฤษฎีบทของ Noetherการเปลี่ยนแปลงค่า r แสดงให้เห็นว่าหลักการสมมูลแบบอ่อนใช้ได้เสมอใน QUMOND อย่างไรก็ตาม เนื่องจากและไม่เหมือนกันและมีความสัมพันธ์แบบไม่เชิงเส้น ซึ่งหมายความว่าหลักการสมมูลแบบเข้มจะต้องถูกละเมิด สามารถสังเกตได้โดยการวัดผลกระทบของสนามภายนอก ยิ่งไปกว่านั้น การเปลี่ยนแปลงค่า r ทำให้ เราได้ สมการ Newton-Poissonต่อไปนี้ซึ่งคุ้นเคยจากแรงโน้มถ่วงแบบนิวตัน แต่ตอนนี้มีตัวห้อยเพื่อแสดงว่าใน QUMOND สมการนี้กำหนดสนามแรงโน้มถ่วงเสริม: ^{[ 38 ]}${\displaystyle ma=mg}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi _{N}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi _{N}}$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\phi _{N}=4\pi G\rho .}$$

สุดท้ายนี้ ด้วยการปรับเปลี่ยน Lagrangian ของ QUMOND เมื่อเทียบกับเราจะได้สมการสนามของ QUMOND: ^{[ 38 ]}${\displaystyle \phi _{N}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =\nabla \cdot \left[\nu \left({\frac {a_{0}}{\left\|\nabla \phi _{N}\right\|}}\right)\nabla \phi _{N}\right]}$

สมการสนามทั้งสองนี้สามารถแก้ได้ด้วยวิธีเชิงตัวเลขสำหรับการกระจายสสารใดๆ โดยใช้ตัวแก้เชิงตัวเลขเช่น Phantom ของ RAMSES (POR) ^{[ 42 ]}

เนื่องจาก MOND ถูกออกแบบมาโดยเฉพาะเพื่อสร้างเส้นโค้งการหมุนแบบแบนราบ สิ่งเหล่านี้จึงไม่ถือเป็นหลักฐานสนับสนุนสมมติฐาน แต่การสังเกตที่ตรงกันทุกครั้งจะเพิ่มการสนับสนุนให้กับกฎเชิงประจักษ์ที่ MOND ยึดถือ อย่างไรก็ตาม ผู้สนับสนุนอ้างว่าปรากฏการณ์ทางฟิสิกส์ดาราศาสตร์ที่หลากหลายในระดับกาแล็กซีสามารถอธิบายได้อย่างลงตัวภายในกรอบงานของ MOND ^{[ 30 ] [ 44 ]}ปรากฏการณ์เหล่านี้หลายอย่างปรากฏขึ้นหลังจากการตีพิมพ์เอกสารต้นฉบับของ Milgrom และยากที่จะอธิบายโดยใช้สมมติฐานสสารมืด ปรากฏการณ์ที่โดดเด่นที่สุดมีดังต่อไปนี้:

• นอกจากจะแสดงให้เห็นว่าเส้นโค้งการหมุนใน MOND แบนราบแล้ว สมการที่ 2 ยังให้ความสัมพันธ์ที่ชัดเจนระหว่างมวลแบริออนิกทั้งหมดของกาแล็กซี (ผลรวมของมวลในดาวฤกษ์และก๊าซ) และความเร็วการหมุนเชิงเส้นกำกับ ความสัมพันธ์ที่ทำนายไว้นี้เรียกว่าความสัมพันธ์มวล-ความเร็วเชิงเส้นกำกับ (MASSR) โดย Milgrom การแสดงออกเชิงสังเกตของมันเรียกว่าความสัมพันธ์แบริออนิกทัลลี-ฟิชเชอร์ (BTFR) ^{[ 50 ]}และพบว่าสอดคล้องกับการทำนายของ MOND อย่างใกล้ชิด^{[ 51 ]}ความสัมพันธ์นี้ได้มาจากขีดจำกัด Deep-MOND ดังต่อไปนี้: ^{[ 30 ]}

${\displaystyle {\frac {GMm}{r^{2}}}=m{\frac {\left({\frac {v^{2}}{r}}\right)^{2}}{a_{0}}}\quad \Longrightarrow \quad v^{4}=GMa_{0}~}$

2

• กฎของ Milgrom ระบุเส้นโค้งการหมุนของกาแล็กซีได้อย่างสมบูรณ์โดยพิจารณาจากการกระจายตัวของมวลแบริออนเท่านั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง MOND ทำนายความสัมพันธ์ที่แข็งแกร่งกว่ามากระหว่างลักษณะในการกระจายตัวของมวลแบริออนและลักษณะในเส้นโค้งการหมุนมากกว่าสมมติฐานสสารมืด (เนื่องจากสสารมืดครอบงำงบประมาณมวลของกาแล็กซีและโดยทั่วไปถือว่าไม่ติดตามการกระจายตัวของแบริออนอย่างใกล้ชิด) มีการอ้างว่าพบความสัมพันธ์ที่แน่นแฟ้นเช่นนี้ในกาแล็กซีเกลียวหลายแห่ง ซึ่งเป็นข้อเท็จจริงที่ถูกเรียกว่า "กฎของเรนโซ" ^{[ 30 ]}
• เนื่องจาก MOND ปรับเปลี่ยนพลศาสตร์แบบนิวตันในลักษณะที่ขึ้นอยู่กับความเร่ง จึงทำนายความสัมพันธ์เฉพาะระหว่างความเร่งของดาวฤกษ์ที่รัศมีใดๆ จากศูนย์กลางของกาแล็กซีและปริมาณมวลที่มองไม่เห็น (สสารมืด) ภายในรัศมีนั้นซึ่งจะถูกอนุมานในการวิเคราะห์แบบนิวตัน ความสัมพันธ์นี้เรียกว่าความสัมพันธ์ระหว่างความคลาดเคลื่อนของมวลและความเร่ง และได้รับการวัดจากการสังเกตการณ์^{[ 52 ] [ 53 ]}แง่มุมหนึ่งของการทำนายของ MOND คือมวลของสสารมืดที่อนุมานได้จะเป็นศูนย์เมื่อความเร่งสู่ศูนย์กลางของดาวฤกษ์มีค่ามากกว่า₀ ซึ่ง MOND จะกลับไปใช้กลศาสตร์แบบนิวตัน ในสมมติฐานสสารมืด เป็นเรื่องท้าทายที่จะเข้าใจว่าเหตุใดมวลนี้จึงควรมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับความเร่ง และเหตุใดจึงดูเหมือนจะมีความเร่งวิกฤตที่สูงกว่านั้นไม่จำเป็นต้องใช้สสารมืด^{[ 5 ]}
• กาแล็กซีขนาดใหญ่มากเป็นพิเศษจะอยู่ในระบอบนิวตัน ( a > a0 ₎จนถึงรัศมีที่ครอบคลุมมวลแบริออนส่วนใหญ่ ที่รัศมีเหล่านี้ MOND ทำนายว่าเส้นโค้งการหมุนควรลดลงตาม 1/ rตามกฎของเคปเลอร์ในทางตรงกันข้าม จากมุมมองของสสารมืด เราคาดว่าฮาโลจะเพิ่มความเร็วในการหมุนอย่างมีนัยสำคัญและทำให้มันเข้าใกล้ค่าคงที่ เช่นเดียวกับในกาแล็กซีที่มีมวลน้อยกว่า การสังเกตการณ์กาแล็กซีรูปวงรีที่มีมวลมากยืนยันการทำนายของ MOND ^{[ 54 ] [ 55 ]}
• ในปี 2020 กลุ่มนักดาราศาสตร์ที่วิเคราะห์ข้อมูลจากตัวอย่าง Spitzer Photometry and Accurate Rotation Curves (SPARC) ร่วมกับการประมาณค่าสนามโน้มถ่วงภายนอกขนาดใหญ่จากแคตตาล็อกกาแล็กซีทั่วท้องฟ้า สรุปได้ว่ามีหลักฐานทางสถิติที่สำคัญมากของการละเมิดหลักการสมดุลที่แข็งแกร่งในสนามโน้มถ่วงที่อ่อนแอในบริเวณใกล้เคียงกับกาแล็กซีที่ได้รับการสนับสนุนจากการหมุน^{[ 35 ]}พวกเขาสังเกตเห็นผลที่สอดคล้องกับผลของสนามภายนอกของพลศาสตร์นิวตันที่ดัดแปลง และไม่สอดคล้องกับผลของกระแสน้ำในแบบจำลอง Lambda-CDMที่ ใช้สสารมืด
• ในปี 2023 การศึกษาชิ้นหนึ่งอ้างว่าสสารมืดเย็นไม่สามารถอธิบายส่วนภายในของเส้นโค้งการหมุนของกาแล็กซีได้ ในขณะที่ MOND สามารถทำได้^{[ 56 ]}

• งานวิจัยล่าสุดแสดงให้เห็นว่ากาแล็กซีแคระจำนวนมากรอบทางช้างเผือกและแอนโดรเมดาตั้งอยู่ในระนาบเดียวกันและมีการเคลื่อนที่สัมพันธ์กัน ซึ่งบ่งชี้ว่าพวกมันอาจก่อตัวขึ้นในระหว่างการเผชิญหน้าอย่างใกล้ชิดกับกาแล็กซีอื่น และด้วยเหตุนี้จึงเป็นกาแล็กซีแคระที่เกิดจากแรงโน้มถ่วง หากเป็นเช่นนั้น การมีอยู่ของความคลาดเคลื่อนของมวลในระบบเหล่านี้ถือเป็นหลักฐานสำหรับ MOND นอกจากนี้ ยังมีการอ้างว่าแรงโน้มถ่วงที่แข็งแกร่งกว่าของนิวตัน (เช่น ของมิลกรม) จำเป็นสำหรับกาแล็กซีเหล่านี้ในการรักษาวงโคจรของพวกมันไว้ได้ตลอดเวลา^{[ 57 ]}เซนทอรัส เอมีระนาบของกาแล็กซีแคระที่คล้ายกันอยู่รอบๆ ซึ่งเป็นสิ่งที่ท้าทายสำหรับ LCDM ซึ่งคาดหวังว่าจะมีรัศมีของกาแล็กซีแคระที่สม่ำเสมอ^{[ 8 ]}
• ใน MOND วัตถุที่แยกตัวออกจากกันทั้งหมดซึ่งถูกผูกมัดด้วยแรงโน้มถ่วงโดยมีa < a ₀ที่อยู่ในสมดุล ไม่ว่าจะมีต้นกำเนิดมาจากที่ใด ควรแสดงความคลาดเคลื่อนของมวลเมื่อวิเคราะห์โดยใช้กลศาสตร์นิวตัน และควรอยู่บน BTFR ภายใต้สมมติฐานสสารมืด วัตถุที่ก่อตัวขึ้นจากสสารแบริโอนิกที่ถูกขับออกมาในระหว่างการรวมตัวหรือปฏิสัมพันธ์ของแรงโน้มถ่วงของกาแล็กซีสองดวง (" กาแล็กซีแคระจากแรงโน้มถ่วง ") คาดว่าจะปราศจากสสารมืดและดังนั้นจึงไม่แสดงความคลาดเคลื่อนของมวล วัตถุสามดวงที่ระบุได้อย่างชัดเจนว่าเป็นกาแล็กซีแคระจากแรงโน้มถ่วงดูเหมือนจะมีความคลาดเคลื่อนของมวลที่สอดคล้องกับการทำนายของ MOND ^{[ 58 ] [ 59 ] [ 60 ]}
• ในการสำรวจกาแล็กซีแคระที่ตีพิมพ์ในปี 2022 จากแคตตาล็อก Fornax Deep Survey (FDS) กลุ่มนักดาราศาสตร์และนักฟิสิกส์สรุปว่า 'การสังเกตการเปลี่ยนแปลงรูปร่างของกาแล็กซีแคระในกระจุกดาว Fornaxและการขาดแคลนกาแล็กซีแคระที่มีความสว่างพื้นผิวต่ำบริเวณใจกลางนั้นไม่สอดคล้องกับความคาดหวังของ ΛCDM แต่สอดคล้องกับ MOND เป็นอย่างดี' ^{[ 61 ]}

• การเลนส์ความโน้มถ่วงที่อ่อนแอรอบกาแล็กซีเกลียวและวงรีที่แยกตัวยืนยันว่าสนามโน้มถ่วงของกาแล็กซีดังกล่าวเป็นไปตามกฎของ Milgrom ^{[ 63 ] [ 64 ]}ซึ่งสอดคล้องกับเส้นโค้งการหมุนแบบแบนราบไปจนถึงระยะทาง 1 Mpc ^{[ 62 ]}
• การเลนส์ความโน้มถ่วงที่รุนแรงโดยใช้วงแหวนไอน์สไตน์ดูเหมือนจะยืนยันความคาดหวังของ MOND สำหรับความสัมพันธ์ระหว่างความคลาดเคลื่อนของมวลและความเร่ง^{[ 65 ]}

• ทั้ง MOND และฮาโลสสารมืดช่วยทำให้กาแล็กซีแบบจานมีเสถียรภาพ ช่วยให้พวกมันรักษาสภาพโครงสร้างที่ได้รับการสนับสนุนจากการหมุน และป้องกันการเปลี่ยนแปลงไปเป็นกาแล็กซีรูปวงรีใน MOND เสถียรภาพที่เพิ่มขึ้นนี้มีอยู่เฉพาะในบริเวณของกาแล็กซีภายในระบอบ deep-MOND (เช่น มีa < a ₀ ) ซึ่งบ่งชี้ว่ากาแล็กซีเกลียวที่มีa > a ₀ในบริเวณศูนย์กลางน่าจะมีแนวโน้มที่จะเกิดความไม่เสถียร และด้วยเหตุนี้จึงมีโอกาสน้อยที่จะอยู่รอดมาจนถึงปัจจุบัน^{[ 66 ]}นี่อาจอธิบาย " ขีดจำกัด ของฟรีแมน " สำหรับความหนาแน่นมวลพื้นผิวศูนย์กลางที่สังเกตได้ของกาแล็กซีเกลียว ซึ่งโดยประมาณคือa ₀ / G ^{[ 67} ] มาตราส่วนนี้จะต้องใส่ด้วยตนเองในแบบจำลองการก่อตัวของกาแล็กซีที่อิงตามสสาร^{มืด[ 68 ]}
• แถบกาแล็กซีในกาแล็กซีที่มีแถบนั้นขัดแย้งกับการจำลองสสารมืด เนื่องจากมีความเด่นชัดเกินไปและหมุนเร็วเกินไป แต่ตรงกับการคำนวณตาม MOND ^{[ 69 ] [ 70 ]}

• ในปี 2022 Kroupa และคณะได้ตีพิมพ์งานวิจัยเกี่ยวกับกระจุกดาวเปิด โดยโต้แย้งว่าความไม่สมมาตรในประชากรของหางน้ำขึ้นน้ำลงนำและตาม และอายุขัยที่สังเกตได้ของกระจุกดาวเหล่านี้ ไม่สอดคล้องกับพลศาสตร์แบบนิวตัน แต่สอดคล้องกับ MOND ^{[ 71 ] [ 72 ]}
• ในปี 2023 การศึกษาหนึ่งได้วัดความเร่งของระบบดาวคู่ที่มีความกว้าง 26,615 ระบบภายในระยะ 200 พาร์เซก การศึกษานี้แสดงให้เห็นว่าระบบดาวคู่ที่มีความเร่งน้อยกว่า 1 nm/s² ^{เบี่ยงเบนจากพลศาสตร์แบบนิวตันอย่างเป็นระบบ แต่สอดคล้องกับการคาดการณ์ของ MOND โดยเฉพาะ AQUAL [73]ผลลัพธ์}ดังกล่าว^เป็นที่^{ถกเถียง}กัน โดยผู้เขียนบางคนโต้แย้งว่าการตรวจจับเกิดจากการควบคุมคุณภาพที่ไม่ดี^{[ 74 ]}ในขณะที่ผู้เขียนดั้งเดิมอ้างว่าการควบคุมคุณภาพที่เพิ่มเข้ามาไม่ได้ส่งผลกระทบต่อผลลัพธ์อย่างมีนัยสำคัญ^{[ 75 ]}
• ในปี 2024 การศึกษาชิ้นหนึ่งอ้างว่ากาแล็กซีแรกสุดของจักรวาลก่อตัวและเติบโตเร็วเกินกว่าที่แบบจำลอง Lambda-CDM จะอธิบายได้ แต่การเติบโตอย่างรวดเร็วดังกล่าวได้รับการทำนายไว้ใน MOND ^{[ 76 ]}

แม้จะยอมรับว่ากฎของ Milgrom ให้คำอธิบายที่กระชับและแม่นยำเกี่ยวกับปรากฏการณ์กาแล็กซีหลายอย่าง แต่เหล่านักฟิสิกส์หลายคนปฏิเสธความคิดที่ว่าพลศาสตร์แบบคลาสสิกเองจำเป็นต้องได้รับการแก้ไข และพยายามอธิบายความสำเร็จของกฎนี้โดยอ้างอิงถึงพฤติกรรมของสสารมืดแทน ความพยายามบางส่วนได้มุ่งไปสู่การสร้างการมีอยู่ของมาตราส่วนความเร่งลักษณะเฉพาะเป็นผลตามธรรมชาติของพฤติกรรมของฮาโลสสารมืดเย็น^{[ 77 ] [ 78 ]}แม้ว่า Milgrom จะโต้แย้งว่าข้อโต้แย้งดังกล่าวอธิบายได้เพียงส่วนน้อยของปรากฏการณ์ MOND เท่านั้น ^{[ 79 ]}ข้อเสนอทางเลือกคือการปรับเปลี่ยนคุณสมบัติของสสารมืดแบบเฉพาะกิจ (เช่น ทำให้มันมีปฏิสัมพันธ์อย่างรุนแรงกับตัวเองหรือแบริออน) เพื่อเหนี่ยวนำให้เกิดการเชื่อมโยงที่แน่นแฟ้นระหว่างมวลแบริออนและสสารมืดที่การสังเกตการณ์ชี้ให้เห็น^{[ 80 ] [ 81 ]}สุดท้าย นักวิจัยบางคนแนะนำว่าการอธิบายความสำเร็จเชิงประจักษ์ของกฎของ Milgrom จำเป็นต้องมีการเปลี่ยนแปลงที่รุนแรงมากขึ้นจากสมมติฐานทั่วไปเกี่ยวกับธรรมชาติของสสารมืด แนวคิดหนึ่ง (เรียกว่า "สสารมืดแบบไดโพลาร์") คือการทำให้สสารมืดสามารถเกิดการโพลาไร ซ์ด้วยแรงโน้มถ่วง จากสสารธรรมดา และให้การโพลาไรซ์นี้ช่วยเพิ่มแรงดึงดูดระหว่างบาริออน^{[ 82 ]}

กาแล็กซีที่กระจายตัวมากเป็นพิเศษบางแห่งเช่นNGC 1052-DF2เดิมทีดูเหมือนจะปราศจากสสารมืด หากเป็นเช่นนั้นจริง ก็จะเป็นปัญหาสำหรับ MOND เพราะไม่สามารถอธิบายเส้นโค้งการหมุนได้^{[ a ]}อย่างไรก็ตาม การวิจัยเพิ่มเติมแสดงให้เห็นว่ากาแล็กซีเหล่านี้อยู่ที่ระยะทางที่แตกต่างจากที่เคยคิดไว้ ทำให้กาแล็กซีมีพื้นที่เหลือเฟือสำหรับสสารมืด^{[ 83 ] [ 84 ] [ 85 ]}แนวคิดที่ว่าค่า a ₀ เพียงค่าเดียว สามารถเข้ากับเส้นโค้งการหมุนของกาแล็กซีที่แตกต่างกันทั้งหมดได้นั้นก็ถูกวิพากษ์วิจารณ์เช่นกัน^{[ 86 ] [ 87 ]}แม้ว่าการค้นพบนี้จะเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ก็ตาม^{[ 88 ] [ 89 ]}นอกจากนี้ยังมีการอ้างว่า MOND ให้ความเหมาะสมที่ไม่ดีกับทั้งความหนาแน่นของคอลัมน์ HI และขนาดของ ตัวดูด ซับLyα ^{[ 90 ]} MOND เวอร์ชันความเฉื่อยที่แก้ไขแล้วนั้นประสบปัญหามานานแล้วจากความเข้ากันได้ทางทฤษฎีที่ไม่ดีกับหลักการทางฟิสิกส์ที่ยึดถือกันมานาน เช่น กฎการอนุรักษ์ โดยทั่วไป นักวิจัยที่ทำงานเกี่ยวกับ MOND ไม่ได้ตีความว่าเป็นการปรับเปลี่ยนความเฉื่อย โดยมีงานวิจัยในด้านนี้น้อยมาก

เกือบทั้งระบบสุริยะ มีสนามโน้มถ่วงที่สูงกว่า ₀หลายอันดับดังนั้นการเพิ่มขึ้นของแรงโน้มถ่วงเนื่องจาก MOND จึงน้อยมาก อย่างไรก็ตาม การทดสอบระบบสุริยะมีความแม่นยำอย่างยิ่ง และการสังเกตการณ์ส่วนใหญ่พิสูจน์แล้วว่า MOND อธิบายได้ยาก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ข้อมูลจากการวัดระยะด้วยเลเซอร์ของดวงจันทร์ตัดความเป็นไปได้ของฟังก์ชันการประมาณค่าแบบง่าย^{[ 34 ]}ข้อมูลการติดตามด้วยคลื่นวิทยุของยาน อวกาศ Cassiniไปยังดาวเสาร์ตัดความเป็นไปได้ของทั้งฟังก์ชันการประมาณค่าแบบง่ายและแบบมาตรฐานโดยการทดสอบผลกระทบควอดรูโพลที่ผิดปกติซึ่งทำนายโดย MOND ^{[ 31 ]}นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ว่าการปรับปฏิทินระบบสุริยะให้สมบูรณ์โดยอนุญาตให้มวลของดาวเคราะห์และดาวเคราะห์น้อยเปลี่ยนแปลงได้ สามารถรองรับผลกระทบควอดรูโพลที่ผิดปกตินี้ได้ เนื่องจากปัจจุบันสิ่งเหล่านี้ถูกกำหนดโดยใช้ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเท่านั้น^{[ 36 ]}การสังเกตการณ์ดาวหางคาบยาวก็ดูเหมือนจะขัดแย้งกับการทำนายลำดับที่สูงกว่าของ MOND ด้วย^{[ 91 ]}ยิ่งไปกว่านั้น การทดลองในห้องปฏิบัติการของกฎข้อที่สองของนิวตันดูเหมือนจะตัดความเป็นไปได้ของ MOND เวอร์ชันความเฉื่อยที่แก้ไขแล้วออกไป โดยมีความเร่งในการทดลองต่ำถึง 0.1% ของ a ₀โดยไม่เบี่ยงเบนจากความคาดหวังของนิวตัน^{[ 24 ]}การสังเกตการณ์ระบบสุริยะบางอย่างอาจสนับสนุน MOND เนื่องจากมีการเสนอแนะว่าวงโคจรของ วัตถุ ในแถบไคเปอร์นั้นอธิบายได้ดีที่สุดผ่านผลกระทบสนามภายนอกของ MOND มากกว่าผ่านดาวเคราะห์สมมติดวงที่เก้า [ ^{4 ] นอกจาก}นี้ยังมีการอ้างว่าความแปรผันในการวัดค่าคงที่ความโน้มถ่วงของนิวตันเกิดจาก MOND ที่กระทำตั้งฉากกับสนามโน้มถ่วงของโลก^{[ 92 ]}

ปัญหาที่ร้ายแรงที่สุดที่กฎของ Milgrom เผชิญคือ กระจุกกาแล็กซีแสดงความคลาดเคลื่อนของมวลที่เหลืออยู่ แม้ว่าจะวิเคราะห์โดยใช้ MOND ก็ตาม^{[ 5 ] [ 90 ]}ปัญหานี้มีมานานแล้วและถูกเรียกว่า"ปริศนากระจุกกาแล็กซี"ซึ่งบั่นทอนความน่าเชื่อถือของ MOND ในฐานะทางเลือกแทนสสารมืด แม้ว่าปริมาณมวลส่วนเกินที่ต้องการจะมีเพียงหนึ่งในห้าของการวิเคราะห์แบบนิวตันและอาจอยู่ในรูปของสสารปกติ^{[ 93 ]}มีการคาดการณ์ว่านิวตริโน ~2 eV อาจอธิบายการสังเกตการณ์กระจุกกาแล็กซีใน MOND ได้ ในขณะที่ยังคงรักษาความสำเร็จของสมมติฐานในระดับกาแล็กซีไว้^{[ 94 ] [ 95 ] [ 96 ]}การวิเคราะห์ข้อมูลเลนส์สำหรับกระจุกกาแล็กซี Abell 1689 แสดงให้เห็นว่าปัญหามวลที่หายไปที่เหลืออยู่ใน MOND นี้จะรุนแรงขึ้นเมื่อเข้าใกล้แกนกลางของกระจุกกาแล็กซี^{[ 97 ]}

การสังเกตการณ์ในปี 2006 ของกลุ่มกาแล็กซีที่ชนกันสองกลุ่มที่รู้จักกันในชื่อ " Bullet Cluster " ได้รับการกล่าวอ้างว่าเป็นความท้าทายที่สำคัญสำหรับทฤษฎีทั้งหมดที่เสนอวิธีแก้ปัญหามวลที่หายไปโดยใช้แรงโน้มถ่วงที่ปรับเปลี่ยน รวมถึง MOND ด้วย^{[ 98 ]}นักดาราศาสตร์วัดการกระจายของมวลดาวฤกษ์และก๊าซในกลุ่มกาแล็กซีโดยใช้ แสง ที่มองเห็นได้และรังสีเอ็กซ์ตามลำดับ และยังทำแผนที่ศักยภาพแรงโน้มถ่วงโดยใช้เลนส์โน้มถ่วง ดังแสดงในภาพทางด้านขวา ก๊าซรังสีเอ็กซ์อยู่ตรงกลาง ในขณะที่กาแล็กซีอยู่บริเวณรอบนอก ในระหว่างการชนกัน ก๊าซรังสีเอ็กซ์มีปฏิสัมพันธ์และชะลอตัวลง ยังคงอยู่ตรงกลาง ในขณะที่กาแล็กซีส่วนใหญ่เคลื่อนผ่านกันไป เนื่องจากระยะห่างระหว่างพวกมันนั้นมาก ศักยภาพแรงโน้มถ่วงเผยให้เห็นความเข้มข้นขนาดใหญ่สองแห่งที่อยู่ตรงกลางกาแล็กซี ไม่ใช่ที่ก๊าซรังสีเอ็กซ์ ซึ่งเป็นที่ตั้งของสสารปกติส่วนใหญ่ ใน ΛCDM เราคาดหวังว่ากระจุกดาวแต่ละกระจุกจะมีฮาโลสสารมืดที่เคลื่อนที่ผ่านกันระหว่างการชน (โดยสมมติตามปกติว่าสสารมืดไม่มีการชนกัน) ความคาดหวังเกี่ยวกับสสารมืดนี้เป็นคำอธิบายที่ชัดเจนสำหรับความแตกต่างระหว่างจุดสูงสุดของศักยภาพแรงโน้มถ่วงและก๊าซรังสีเอกซ์ ความแตกต่างระหว่างศักยภาพแรงโน้มถ่วงและสสารปกตินี้เองที่ Clowe et al. อ้างว่าเป็น"หลักฐานเชิงประจักษ์โดยตรงของการมีอยู่ของสสารมืด"โดยโต้แย้งว่าทฤษฎีแรงโน้มถ่วงที่ดัดแปลงไม่สามารถอธิบายได้^{[ 98 ]}อย่างไรก็ตาม การศึกษาของ Clowe et al. นี้ไม่ได้พยายามวิเคราะห์กระจุกดาว Bullet โดยใช้ MOND หรือทฤษฎีแรงโน้มถ่วงที่ดัดแปลงอื่นใด ยิ่งไปกว่านั้น ในปีเดียวกัน Angus et al. ได้แสดงให้เห็นว่า MOND สามารถสร้างความแตกต่างระหว่างศักยภาพแรงโน้มถ่วงและก๊าซรังสีเอกซ์ในระบบที่ไม่สมมาตรทรงกลมสูงนี้ได้จริง^{[ 99 ]}ใน MOND เราคาดว่า "มวลที่หายไป" จะอยู่ตรงกลางบริเวณที่มีการเร่งความเร็วต่ำกว่า a ₀ซึ่งในกรณีของกระจุกดาวกระสุน จะสอดคล้องกับบริเวณที่มีกาแล็กซี ไม่ใช่ก๊าซรังสีเอ็กซ์ อย่างไรก็ตาม MOND ยังคงไม่สามารถอธิบายกระจุกดาวนี้ได้อย่างสมบูรณ์ เช่นเดียวกับกระจุกกาแล็กซีอื่นๆ เนื่องจากมวลที่เหลืออยู่ในบริเวณแกนกลางหลายแห่งของกระจุกดาวกระสุน^{[ 94 ]}

นอกจากปัญหาการสังเกตเหล่านี้แล้ว MOND และการสรุปเชิงสัมพัทธภาพยังประสบปัญหาทางทฤษฎีอีกด้วย^{[ 100 ] [ 101 ]}จำเป็นต้องมีการเพิ่มเติมแบบเฉพาะกิจและไม่สง่างามหลายอย่างในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเพื่อสร้างทฤษฎีที่เข้ากันได้กับขีดจำกัดที่ไม่ใช่แบบนิวตันและไม่ใช่เชิงสัมพัทธภาพ แม้ว่าการคาดการณ์ในขีดจำกัดนี้จะค่อนข้างชัดเจนก็ตาม

ในปี 2547 Jacob Bekenstein ได้กำหนดTeVeSซึ่งเป็นสมมติฐานสัมพัทธภาพที่สมบูรณ์ครั้งแรกโดยใช้พฤติกรรมแบบ MONDian ^{[ 102 ]} TeVeS ถูกสร้างขึ้นจาก Lagrangian ท้องถิ่น (และด้วยเหตุนี้จึงเคารพกฎการอนุรักษ์) และใช้สนามเวกเตอร์ หน่วย สนามสเกลาร์แบบไดนามิกและไม่ไดนามิกฟังก์ชันอิสระ และเมตริก ที่ไม่ใช่แบบไอน์สไตน์ เพื่อให้ได้ AQUAL ในขีดจำกัดที่ไม่ใช่สัมพัทธภาพ (ความเร็วต่ำและแรงโน้มถ่วงอ่อน) TeVeS ประสบความสำเร็จบ้างในการติดต่อกับการสังเกตการณ์ การเลนส์โน้มถ่วงและ การก่อตัวของโครงสร้าง^{[ 103 ]}แต่ประสบปัญหาเมื่อเผชิญกับข้อมูลเกี่ยวกับความไม่สมมาตรของพื้นหลังไมโครเวฟของจักรวาล [ ^{104 ]}อายุขัยของวัตถุขนาดกะทัดรัด^{[ 105 ]}และความสัมพันธ์ระหว่างศักยภาพการเลนส์และความหนาแน่นเกินของสสาร^{[ 106 ] TeVeS}ยังดูเหมือนจะไม่สอดคล้องกับความเร็วของคลื่นโน้มถ่วงตาม LIGO ^{[ 107 ]}ความเร็วของคลื่นความโน้มถ่วงถูกวัดให้เท่ากับความเร็วแสงด้วยความแม่นยำสูงโดยใช้เหตุการณ์คลื่นความโน้มถ่วง GW170817

มีการวางนัยทั่วไป เชิงสัมพัทธภาพแบบใหม่ของ MOND อยู่หลายแบบ รวมถึง BIMOND และทฤษฎีอีเธอร์ของไอน์สไตน์แบบ ทั่วไป ^{[ 30 ]}นอกจากนี้ยังมีการวางนัยทั่วไปเชิงสัมพัทธภาพของ MOND ที่ถือว่าความไม่แปรเปลี่ยนแบบลอเรนซ์เป็นพื้นฐานทางกายภาพของปรากฏการณ์วิทยาของ MOND ^{[ 108 ]}เมื่อเร็วๆ นี้ Skordis และ Złośnik ได้เสนอแบบจำลองเชิงสัมพัทธภาพของ MOND ที่เข้ากันได้กับการสังเกตพื้นหลังไมโครเวฟของจักรวาล สเปกตรัมกำลังของสสาร และความเร็วของแรงโน้มถ่วง^{[ 14 ]}

มีการกล่าวอ้างว่า MOND โดยทั่วไปไม่เหมาะสมที่จะใช้เป็นพื้นฐานของจักรวาลวิทยา^{[ 100 ]}หลักฐานสำคัญที่สนับสนุนสสารมืดมาตรฐานคือความไม่สมมาตรที่สังเกตได้ใน พื้น หลังไมโครเวฟของจักรวาล^{[ 109 ]}ในขณะที่ ΛCDM สามารถอธิบายสเปกตรัมกำลังเชิงมุมที่สังเกตได้ แต่ MOND กลับทำได้ยากกว่ามาก^{[ 110 ]}เป็นไปได้ที่จะสร้างการสรุปเชิงสัมพัทธภาพของ MOND ที่สามารถเข้ากับการสังเกต CMB ได้^{[ 14 ]}แต่ต้องใช้เงื่อนไขที่ไม่ดูเป็นธรรมชาติ และการสังเกตหลายอย่าง (เช่น ปริมาณเลนส์โน้มถ่วง) ยังคงอธิบายได้ยาก^{[ 12 ]} MOND ยังประสบปัญหาในการอธิบายการก่อตัวของโครงสร้างโดยการรบกวนความหนาแน่นใน MOND อาจเติบโตอย่างรวดเร็วจนทำให้เกิดโครงสร้างมากเกินไปในยุคปัจจุบัน^{[ 111 ]}อย่างไรก็ตาม การสำรวจกาแล็กซีดูเหมือนจะแสดงให้เห็นว่าการก่อตัวของกาแล็กซีขนาดใหญ่เกิดขึ้นอย่างรวดเร็วกว่าที่เป็นไปได้ตาม ΛCDM ในช่วงต้นของเวลา^{[ 112 ]}

มีความเชื่อมโยงที่เป็นไปได้ระหว่าง MOND และจักรวาลวิทยา มีข้อสังเกตว่าค่าของa ₀อยู่ภายในลำดับขนาดของcH ₀โดยที่cคือความเร็วแสงและH ₀คือค่าคงที่ฮับเบิล (การวัดอัตราการขยายตัวของจักรวาลในปัจจุบัน) ^{[ 1 ]}นอกจากนี้ยังใกล้เคียงกับอัตราเร่งของจักรวาลผ่านโดยที่ Λ คือค่าคงที่ทางจักรวาลวิทยา^{[ 113} ] งานล่าสุดเกี่ยวกับการกำหนดสูตรเชิงธุรกรรมของ^แรงโน้มถ่วงเอนโทรปีโดย Schlatter และ Kastner ^{[ 114 ]}ชี้ให้เห็นถึงความเชื่อมโยงตามธรรมชาติระหว่างa ₀ , H ₀และค่าคงที่ทางจักรวาลวิทยา ${\displaystyle {\sqrt {\Lambda }}c^{2}}$

มีการเสนอการทดสอบเชิงสังเกตและการทดลองหลายอย่างเพื่อช่วยแยกแยะ^{[ 115 ]}ระหว่าง MOND และแบบจำลองที่อิงตามสสารมืด:

• การตรวจพบอนุภาคที่เหมาะสมสำหรับการเป็นองค์ประกอบของสสารมืดในจักรวาลวิทยาจะบ่งชี้อย่างชัดเจนว่าแบบจำลอง ΛCDM นั้นถูกต้อง และไม่จำเป็นต้องแก้ไขกฎของนิวตัน
• หาก MOND ถูกมองว่าเป็นทฤษฎีของความเฉื่อยที่ปรับเปลี่ยน มันจะทำนายการมีอยู่ของความเร่งที่ผิดปกติบนโลก ณ สถานที่และเวลาที่เฉพาะเจาะจงของปี ซึ่งสามารถตรวจจับได้ในการทดลองที่มีความแม่นยำสูง การทำนายนี้จะไม่เป็นจริงหาก MOND ถูกมองว่าเป็นทฤษฎีของแรงโน้มถ่วงที่ปรับเปลี่ยน เนื่องจากผลกระทบของสนามภายนอกที่เกิดจากโลกจะหักล้างผลกระทบของ MOND ที่พื้นผิวโลก^{[ 116 ] [ 117 ]}
• มีการเสนอแนะว่า MOND อาจได้รับการทดสอบในระบบสุริยะโดยใช้ ภารกิจ LISA Pathfinder (เปิดตัวในปี 2015) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง อาจเป็นไปได้ที่จะตรวจจับความเค้นไทดัลที่ผิดปกติซึ่ง MOND ทำนายไว้ว่าจะมีอยู่ ณ จุดอานม้าของโลก-ดวงอาทิตย์ของศักยภาพแรงโน้มถ่วงแบบนิวตัน^{[ 118 ]}นอกจากนี้ยังอาจเป็นไปได้ที่จะวัดการแก้ไข MOND สำหรับการเคลื่อนที่ของจุดใกล้ดวงอาทิตย์ของดาวเคราะห์ในระบบสุริยะ^{[ 119 ]}หรือยานอวกาศที่สร้างขึ้นโดยเฉพาะ^{[ 120 ]}
• การทดสอบทางฟิสิกส์ดาราศาสตร์ที่เป็นไปได้ประการหนึ่งของ MOND คือการตรวจสอบว่ากาแล็กซีที่แยกตัวออกไปมีพฤติกรรมที่แตกต่างจากกาแล็กซีที่เหมือนกันทุกประการซึ่งอยู่ภายใต้อิทธิพลของสนามภายนอกที่รุนแรงหรือไม่ อีกประการหนึ่งคือการค้นหาพฤติกรรมที่ไม่เป็นไปตามกฎของนิวตันในการเคลื่อนที่ของ^ระบบดาวคู่ที่ดาวอยู่ห่างกันมากพอที่ความเร่งของพวกมันจะต่ำกว่า₀ [ ^{121 ]}
• การทดสอบ MOND โดยใช้การพึ่งพาเรดชิฟต์ของความเร่งเชิงรัศมี – Sabine Hossenfelderและ Tobias Mistele เสนอแบบจำลอง MOND ที่ไม่มีพารามิเตอร์ซึ่งพวกเขาเรียกว่า Covariant Emergent Gravity และแนะนำว่าเมื่อการวัดความเร่งเชิงรัศมีดีขึ้น แบบจำลอง MOND ต่างๆ และสสารมืดอนุภาคอาจแยกแยะได้ เนื่องจาก MOND ทำนายการพึ่งพาเรดชิฟต์ที่น้อยกว่ามาก^{[ 122 ]}

ด้านเทคนิค (หนังสือและบทวิจารณ์หนังสือ):

• Banik, Indranil; Zhao, Hongsheng (2022-06-27). "จากแท่งกาแล็กซีสู่ความตึงเครียดของฮับเบิล: การชั่งน้ำหนักหลักฐานทางฟิสิกส์ดาราศาสตร์สำหรับแรงโน้มถ่วงแบบมิลโกรเมียน" . Symmetry . 14 (7): 1331. arXiv : 2110.06936 . Bibcode : 2022Symm...14.1331B . doi : 10.3390/sym14071331 . ISSN  2073-8994 .
• เมอร์ริตต์, เดวิด (2020). แนวทางเชิงปรัชญาต่อ MOND: การประเมินโครงการวิจัยจักรวาลวิทยาของมิลโกรเมียน (เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ ), 282 หน้าISBN 9781108492690
• Famaey, Benoît; McGaugh, Stacy S. (2012). "พลศาสตร์นิวตันแบบดัดแปลง (MOND): ปรากฏการณ์เชิงสังเกตและการขยายเชิงสัมพัทธภาพ" . Living Reviews in Relativity . 15 (1): 10. arXiv : 1112.3960 . Bibcode : 2012LRR....15...10F . doi : 10.12942/lrr-2012-10 . PMC  5255531 . PMID  28163623 .

บทความทางเทคนิค (บทวิจารณ์):

• McGaugh, Stacy S. (2015). "เรื่องราวของสองกระบวนทัศน์: ความไม่สอดคล้องกันของ ΛCDM และ MOND". Canadian Journal of Physics . 93 (2): 250– 259. arXiv : 1404.7525 . Bibcode : 2015CaJPh..93..250M . doi : 10.1139/cjp-2014-0203 . S2CID  51822163 .
• Milgrom, Mordehai (2015). "ทฤษฎี MOND". Canadian Journal of Physics . 93 (2): 107– 118. arXiv : 1404.7661 . Bibcode : 2015CaJPh..93..107M . doi : 10.1139/cjp-2014-0211 . S2CID  119183394 .
• Kroupa, Pavel (2015). "กาแล็กซีเป็นระบบพลวัตที่เรียบง่าย: ข้อมูลการสังเกตการณ์ไม่สนับสนุนสสารมืดและการก่อตัวของดาวแบบสุ่ม" Canadian Journal of Physics . 93 (2): 169– 202. arXiv : 1406.4860 . Bibcode : 2015CaJPh..93..169K . doi : 10.1139/cjp-2014-0179 . S2CID  118479184 .
• Milgrom, Mordehai (2014). "แบบจำลอง MOND ของพลวัตที่ปรับเปลี่ยน" Scholarpedia . 9 ( 6) 31410. Bibcode : 2014SchpJ...931410M . doi : 10.4249/scholarpedia.31410 .
• Scarpa, Riccardo (2006). "พลศาสตร์นิวตันแบบดัดแปลง บททบทวนเบื้องต้น". AIP Conference Proceedings . Vol. 822. AIP. หน้า  253–265 . arXiv : astro-ph/0601478 . doi : 10.1063/1.2189141 .

เป็นที่นิยม:

• โมเดลที่ไม่เป็นไปตามมาตรฐาน , เดวิด เมอร์ริตต์, นิตยสาร Aeon, กรกฎาคม 2021
• นักวิจารณ์เรื่องสสารมืดมุ่งเน้นรายละเอียด แต่ละเลยภาพรวมลี, 14 พฤศจิกายน 2012
• Milgrom, Mordehai (2009). "MOND: ถึงเวลาเปลี่ยนใจแล้วหรือ?". arXiv : 0908.3842 [ astro-ph.CO ].
• ผู้ที่สงสัยเรื่อง "สสารมืด" ยังไม่เงียบหายไป ( เก็บถาวร เมื่อ 2016-05-20 ที่Wayback Machine , World Science, 2 ส.ค. 2007)
• สสารมืดมีอยู่จริงหรือไม่?มิลกรม, ไซเอนทิสต์ อเมริกัน, สิงหาคม 2545

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับพลศาสตร์นิวตันแบบดัดแปลงในวิกิมีเดียคอมมอนส์

Wikiquote มีคำคมที่เกี่ยวข้องกับพลศาสตร์นิวตันแบบดัดแปลง

• เว็บไซต์ของมอร์เดไฮ มิลกรม
• แหล่งรวมวิดีโอการบรรยายและบทสนทนามากมายบน YouTube