ในทางสถิติค่าความแปรปรวนร่วมของ Matérnหรือที่เรียกว่า^{เคอร์เนล} Matérn [ ^{1 ]} เป็นฟังก์ชันความแปรปรวนร่วมที่ใช้ในสถิติเชิงพื้นที่ ภูมิสถิติการเรียนรู้ของเครื่อง การวิเคราะห์ภาพและการประยุกต์ใช้การวิเคราะห์ทางสถิติแบบหลายตัวแปรอื่นๆ บนปริภูมิเมตริก โดยตั้งชื่อตาม Bertil Matérnนักสถิติป่าไม้ชาวสวีเดน^{[ 2 ]}ฟังก์ชันนี้ระบุความแปรปรวนร่วมระหว่างการวัดสองครั้งเป็นฟังก์ชันของระยะทาง${\displaystyle d}$ระหว่างจุดที่ทำการเก็บข้อมูล เนื่องจากค่าความแปรปรวนร่วมขึ้นอยู่กับระยะห่างระหว่างจุดเท่านั้น จึงทำให้ค่าความแปรปรวนร่วมคงที่หากระยะห่างเป็นระยะทางแบบยุคลิด ค่าความแปรปรวนร่วมของ Matérn ก็จะเป็น แบบไอโซโทรปิกด้วย

ความแปรปรวนร่วมของ Matérn ระหว่างการวัดที่จุดสองจุดที่แยกจากกันด้วย ระยะทาง dหน่วย จะได้รับจาก^{[ 3 ]}

${\displaystyle C_{\nu }(d)=\sigma ^{2}{\frac {2^{1-\nu }}{\Gamma (\nu )}}{{\Bigg (}{\sqrt {2\nu }}{\frac {d}{\rho }}{\Bigg )}}^{\nu }K_{\nu }{\Bigg (}{\sqrt {2\nu }}{\frac {d}{\rho }}{\บิ๊ก )},}$

ที่ไหน${\displaystyle \Gamma }$คือฟังก์ชันแกมมา${\displaystyle K_{\nu }}$คือฟังก์ชันเบสเซลแบบดัดแปลงชนิดที่สอง และρและ${\displaystyle \nu }$เป็นพารามิเตอร์ บวก ของความแปรปรวนร่วม

กระบวนการเกาส์เซียนที่มีความแปรปรวนร่วมแบบ Matérn คือ${\displaystyle \lceil \nu \rceil -1}$หลายครั้งที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ในแง่ของค่าเฉลี่ยกำลังสอง^{[ 3 ] [ 4 ]}

สเปกตรัมกำลังของกระบวนการที่มีความแปรปรวนร่วมแบบ Matérn ที่กำหนดไว้บน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$คือการแปลงฟูริเยร์ ( nมิติ) ของฟังก์ชันความแปรปรวนร่วมของ Matérn (ดูทฤษฎีบท Wiener–Khinchin ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กำหนดโดย

${\displaystyle S(f)=\sigma ^{2}{\frac {2^{n}\pi ^{n/2}\Gamma (\nu +{\frac {n}{2}})(2\nu )^{\nu }}{\Gamma (\nu )\rho ^{2\nu }}}\left({\frac {2\nu }{\rho ^{2}}}+4\pi ^{2}f^{2}\right)^{-\left(\nu +{\frac {n}{2}}\right)}.}$^{[ 3 ]}

จากความสัมพันธ์พื้นฐานที่ฟังก์ชันแกมมาเป็นไปตามนั้น${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}}$ และความสัมพันธ์พื้นฐานที่ฟังก์ชันเบสเซลดัดแปลงของตัวที่สองเป็นไปตามนั้น

${\displaystyle K_{\nu }(x)={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\nu }(x)-I_{\nu }(x)}{\sin(\pi \nu )}}}$

และนิยามของฟังก์ชันเบสเซลที่ดัดแปลงของข้อแรก ${\displaystyle I_{\nu }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\,\Gamma (m+\nu +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\nu },}$

พฤติกรรมสำหรับ${\displaystyle d\rightarrow 0}$สามารถหาได้จากอนุกรมเทย์เลอร์ ต่อไปนี้ (เมื่อ ${\displaystyle \nu }$ไม่ใช่จำนวนเต็มและมากกว่า 2):

$${\displaystyle C_{\nu }(d)=\sigma ^{2}\left(1+{\frac {\nu }{2(1-\nu )}}\left({\frac {d}{\rho }}\right)^{2}+{\frac {\nu ^{2}}{8(2-3\nu +\nu ^{2})}}\left({\frac {d}{\rho }}\right)^{4}+{\mathcal {O}}\left(d^{6\wedge (2\nu )}\right)\right),\,\,\nu >2.}$$^{[ 8 ]}

เมื่อกำหนดนิยามแล้ว โมเมนต์สเปกตรัมต่อไปนี้สามารถหาได้จากอนุกรมเทย์เลอร์:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{0}&=C_{\nu }(0)=\sigma ^{2},\\[8pt]\lambda _{2}&=-\left.{\frac {\partial ^{2}C_{\nu }(d)}{\partial d^{2}}}\right|_{d=0}={\frac {\sigma ^{2}\nu }{\rho ^{2}(\nu -1)}}.\end{aligned}}}$

สำหรับกรณีของ${\displaystyle \nu \in (0,1)\cup (1,2)}$สามารถสร้าง อนุกรมเทย์เลอร์ที่คล้ายกัน ได้:$${\displaystyle C_{\nu }(d)=\sigma ^{2}\left(1+{\frac {\nu }{2(1-\nu )}}\left({\frac {d}{\rho }}\right)^{2}-{\frac {\Gamma (1-\nu )}{\Gamma (1+\nu )}}\left({\frac {\nu }{2}}\right)^{\nu }\left({\frac {d}{\rho }}\right)^{2\nu }+{\mathcal {O}}\left(d^{4\wedge (2\nu +2)}\right)\right),\,\,\nu \in (0,1)\cup (1,2).}$$ เมื่อไร${\displaystyle \nu }$หากเป็นจำนวนเต็ม ควรใช้ค่าจำกัด (ดู^{[ 8 ]} )

• ฟังก์ชันฐานรัศมี