โครงสร้างนิยมเป็นทฤษฎีในปรัชญาคณิตศาสตร์ที่กล่าวว่า ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์อธิบายโครงสร้างของวัตถุทางคณิตศาสตร์วัตถุทางคณิตศาสตร์ได้รับการนิยามอย่างครบถ้วนโดยตำแหน่งของมันในโครงสร้างดังกล่าว ดังนั้น โครงสร้างนิยมจึงยืนยันว่าวัตถุทางคณิตศาสตร์ไม่มีคุณสมบัติภายใน ใดๆ แต่ได้รับการนิยามโดยความสัมพันธ์ภายนอกในระบบ ตัวอย่างเช่น โครงสร้างนิยมกล่าวว่า จำนวน 1 ได้รับการนิยามอย่างครบถ้วนโดยการเป็นตัวถัดจาก 0 ในโครงสร้างของทฤษฎีจำนวนธรรมชาติและโดยการสรุปจากตัวอย่างนี้ จำนวนธรรมชาติใดๆ ก็ได้รับการนิยามโดยตำแหน่งของมันในทฤษฎีนั้น ตัวอย่างอื่นๆ ของวัตถุทางคณิตศาสตร์อาจรวมถึงเส้นและระนาบในเรขาคณิตหรือองค์ประกอบและการดำเนินการในพีชคณิตนามธรรม

โครงสร้างนิยมเป็น มุมมอง ที่สมจริงทางญาณวิทยา ในแง่ที่ว่าข้อความทางคณิตศาสตร์มีค่าความจริง เชิงวัตถุวิสัย อย่างไรก็ตาม ข้ออ้างหลักของโครงสร้างนิยมเกี่ยวข้องกับประเภทของสิ่งที่เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์เท่านั้น ไม่ใช่ประเภทของการดำรงอยู่ที่วัตถุหรือโครงสร้างทางคณิตศาสตร์มี (เช่นภววิทยา ของวัตถุเหล่านั้น ) ประเภทของการดำรงอยู่ที่วัตถุทางคณิตศาสตร์จะขึ้นอยู่กับโครงสร้างที่วัตถุเหล่านั้นฝังอยู่ โครงสร้างนิยมประเภทย่อยต่างๆ มีข้ออ้างทางภววิทยาที่แตกต่างกันในเรื่องนี้^{[ 1 ]}

แนวคิดโครงสร้างนิยมในปรัชญาคณิตศาสตร์มีความเกี่ยวข้องอย่างมากกับPaul Benacerraf , Geoffrey Hellman , Michael Resnik , Stewart ShapiroและJames Franklin

แรงจูงใจทางประวัติศาสตร์สำหรับการพัฒนาโครงสร้างนิยมนั้นมาจากปัญหาพื้นฐานของภววิทยาตั้งแต่ สมัย ยุคกลางนักปรัชญาได้ถกเถียงกันว่าภววิทยาของคณิตศาสตร์นั้นมีวัตถุเชิงนามธรรม อยู่หรือไม่ ในปรัชญาคณิตศาสตร์ วัตถุเชิงนามธรรมนั้นโดยทั่วไปนิยามว่าเป็นสิ่งที่มีคุณสมบัติดังนี้:

(1) มีอยู่โดยอิสระจากจิตใจ (2) มีอยู่โดยอิสระจากโลกแห่งประสบการณ์ และ (3) มีคุณสมบัติที่เป็นนิรันดร์และเปลี่ยนแปลงไม่ได้

ปรัชญาคณิตศาสตร์แบบเพลโตดั้งเดิมเชื่อว่า องค์ประกอบทางคณิตศาสตร์บางอย่างเช่นจำนวนธรรมชาติจำนวนจริงฟังก์ชันความสัมพันธ์และระบบเป็นวัตถุเชิงนามธรรม ในทางตรงกันข้าม ปรัชญาคณิตศาสตร์แบบนามนิยมปฏิเสธการมีอยู่ของวัตถุเชิงนามธรรมใดๆ ในภววิทยาของคณิตศาสตร์

ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 และต้นศตวรรษที่ 20 โปรแกรมต่อต้านเพลโตนิยมจำนวนหนึ่งได้รับความนิยมมากขึ้น ซึ่งรวมถึงลัทธิสัญชาตญาณนิยม ลัทธิรูปนิยมและลัทธิอภิปรัชญาอย่างไรก็ตาม ในช่วงกลางศตวรรษที่ 20 ทฤษฎีต่อต้านเพลโตนิยมเหล่านี้ก็มีปัญหาของตัวเองหลายประการ ส่งผลให้ความสนใจในลัทธิเพลโตนิยมกลับมาอีกครั้ง ในบริบททางประวัติศาสตร์นี้เองที่แรงจูงใจสำหรับลัทธิโครงสร้างนิยมพัฒนาขึ้น ในปี 1965 พอล เบนาเซราฟได้ตีพิมพ์บทความที่มีอิทธิพลเรื่อง "สิ่งที่ตัวเลขไม่สามารถเป็นได้" ^{[ 2 ]} เบนาเซราฟสรุปโดยอาศัยข้อโต้แย้งหลักสองประการว่า ลัทธิเพลโตนิยม เชิงเซตไม่สามารถประสบความสำเร็จในฐานะทฤษฎีทางปรัชญาของคณิตศาสตร์ได้

ประการแรก เบนาเซราฟโต้แย้งว่าแนวทางแบบเพลโตไม่ผ่านการทดสอบทางออนโทโลยี^{[ 2 ]} เขาพัฒนาข้อโต้แย้งต่อออนโทโลยีของเพลโตนิยมเชิงเซต ซึ่งปัจจุบันได้รับการกล่าวถึงในเชิงประวัติศาสตร์ว่าเป็นปัญหาการระบุตัวตนของเบนาเซราฟ เบนาเซราฟตั้งข้อสังเกตว่ามีวิธีการเชิงเซตที่เทียบเท่ากันในเชิงพื้นฐาน ในการเชื่อมโยงจำนวนธรรมชาติกับ เซตบริสุทธิ์อย่างไรก็ตาม หากมีคนถามถึงข้อความเอกลักษณ์ที่ "เป็นจริง" สำหรับการเชื่อมโยงจำนวนธรรมชาติกับเซตบริสุทธิ์ วิธีการเชิงเซตที่แตกต่างกันจะให้ข้อความเอกลักษณ์ที่ขัดแย้งกันเมื่อเซตที่เทียบเท่ากันในเชิงพื้นฐานเหล่านี้เชื่อมโยงกัน^{[ 2 ]} สิ่งนี้ก่อให้เกิดความเท็จเชิงเซต ดังนั้น เบนาเซราฟจึงสรุปว่าความเท็จเชิงเซตนี้แสดงให้เห็นว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะมีวิธีการแบบเพลโตใดๆ ในการลดจำนวนลงเป็นเซตที่เปิดเผยวัตถุเชิงนามธรรมใดๆ

ประการที่สอง เบนาเซราฟแย้งว่าแนวทางแบบเพลโตไม่ผ่าน การทดสอบ ทางญาณวิทยาเบนาเซราฟยืนยันว่าไม่มีวิธีการเชิงประจักษ์หรือเหตุผลในการเข้าถึงวัตถุที่เป็นนามธรรม หากวัตถุทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่เชิงพื้นที่หรือเชิงเวลา เบนาเซราฟจึงอนุมานว่าวัตถุดังกล่าวไม่สามารถเข้าถึงได้ผ่านทฤษฎีความรู้เชิงสาเหตุ [ ^{3 ] ดังนั้น} ปัญหาทางญาณวิทยาพื้นฐานจึงเกิดขึ้นสำหรับนักปรัชญาเพลโตที่จะเสนอคำอธิบายที่น่าเชื่อถือว่านักคณิตศาสตร์ที่มีจิตใจเชิงประจักษ์ที่จำกัดสามารถเข้าถึงความจริงนิรันดร์ที่ไม่ขึ้นกับจิตใจและไม่ขึ้นกับโลกได้อย่างแม่นยำได้อย่างไร จากการพิจารณาเหล่านี้—ข้อโต้แย้งเชิงภววิทยาและข้อโต้แย้งเชิงญาณวิทยา—ที่การวิพากษ์วิจารณ์ต่อต้านเพลโตของเบนาเซราฟกระตุ้นให้เกิดการพัฒนาโครงสร้างนิยมในปรัชญาคณิตศาสตร์ (อย่างไรก็ตาม โปรดดูด้านล่างเกี่ยวกับรูปแบบเพลโตของโครงสร้างนิยม)

Stewart Shapiro แบ่งโครงสร้าง นิยม ออกเป็น 3 สำนักคิดหลัก^{[ 4 ]}สำนักคิดเหล่านี้เรียกว่าante rem , in reและpost rem

• โครงสร้างนิยมแบบAnte rem ^{[ 5 ]} (“ก่อนสิ่งนั้น”) หรือโครงสร้างนิยมเชิงนามธรรม^{[ 4 ]}หรือนามธรรมนิยม^{[ 6 ] [ a ]} ​​(โดยเฉพาะอย่างยิ่งเกี่ยวข้องกับ Michael Resnik , ^{[ 4 ]} Stewart Shapiro , ^{[ 4 ]} Edward Zalta , ^{[ 7 ]} Bob Haleและ Crispin Wright , ^{[ 8 ]}และ Øystein Linnebo ) ^{[ 9 ]}มีออนโทโลยีที่คล้ายคลึงกับเพลโตนิสม์ (ดูเพิ่มเติมที่โมดัลนีโอโลจิซิสม์ ) โครงสร้างถือว่ามีอยู่จริง แม้จะเป็นนามธรรมและไม่มีตัวตนก็ตาม ด้วยเหตุนี้ จึงเผชิญกับปัญหาทางญาณวิทยา มาตรฐาน ดังที่ Benacerraf ได้กล่าวไว้ คือการอธิบายปฏิสัมพันธ์ระหว่างโครงสร้างนามธรรมดังกล่าวกับนักคณิตศาสตร์ที่เป็นมนุษย์ ^{[ 3 ]}มีความพยายามหลายครั้งที่จะรับมือกับความท้าทายนี้ ตัวอย่างเช่น Resnik และ Shapiro เสนอว่าความรู้ที่จำเป็นเกี่ยวกับโครงสร้างทางคณิตศาสตร์นามธรรมนั้นได้มาจากการสร้างระบบสัจพจน์ ซึ่งให้คำจำกัดความโดยนัยของโครงสร้างที่เกี่ยวข้อง ซึ่งทำให้ไม่จำเป็นต้องมีการติดต่อระหว่างจิตใจกับนามธรรม หรืออีกทางหนึ่ง และอาจประสบความสำเร็จมากที่สุด Linskyและ Zalta (ทำงานร่วมกัน) และ Balaguer (แยกกัน) ได้พัฒนาแนวทางที่เรียกว่าเพลโตนิสม์แบบสมบูรณ์ (หรือเพลโตนิสม์แบบ "เต็มเปี่ยม") ซึ่งตั้งสมมติฐานว่าวัตถุทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่อาจมีอยู่จริงนั้นมีอยู่จริง ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องมีการติดต่อกับนามธรรมดังกล่าวเลย ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่สอดคล้องกันภายในทุกทฤษฎีจะอธิบายชุดของวัตถุทางคณิตศาสตร์ (ที่มีอยู่จริง) ^{ได้อย่างแม่นยำ [ 10 ]}
• ในเชิงโครงสร้างนิยม^{[ 5 ]} ("ในสิ่งนั้น") หรือโครงสร้างนิยมเชิงรูปแบบ^{[ 4 ]} (โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เกี่ยวข้องกับ Geoffrey Hellman ) ^{[ 4 ]}เทียบเท่ากับสัจนิยมแบบอริสโตเติล^{[ 11 ]} (สัจนิยมในคุณค่าความจริง แต่ต่อต้านสัจนิยมเกี่ยวกับวัตถุนามธรรมในออนโทโลยี) โครงสร้างถือว่ามีอยู่จริงตราบใดที่ระบบที่เป็นรูปธรรมบางระบบเป็นตัวอย่างของโครงสร้างเหล่านั้น หรือสำหรับนักโครงสร้างนิยมเชิงรูปแบบ ตราบใดที่เป็นไปได้ที่โครงสร้างเหล่านั้นจะมีอยู่จริง สิ่งนี้ก่อให้เกิดปัญหาตามปกติที่ว่าโครงสร้างที่ถูกต้องตามกฎหมายบางอย่างอาจไม่มีอยู่จริงโดยบังเอิญ และโลกทางกายภาพที่จำกัดอาจไม่ "ใหญ่" พอที่จะรองรับโครงสร้างที่ถูกต้องตามกฎหมายบางอย่างได้ ^{[ b ]}สัจนิยมแบบอริสโตเติลของ James Franklin ก็เป็น โครงสร้าง นิยมเชิงรูปแบบเช่นกัน โดยโต้แย้งว่าคุณสมบัติเชิงโครงสร้าง เช่น ความสมมาตร มีอยู่จริงในโลกทางกายภาพและสามารถรับรู้ได้ ^{[ 12 ]}ในการตอบปัญหาของโครงสร้างที่ไม่มีอยู่จริงซึ่งมีขนาดใหญ่เกินกว่าจะเข้ากับโลกทางกายภาพได้ แฟรงคลินชี้ให้เห็นว่าวิทยาศาสตร์อื่นๆ ก็สามารถจัดการกับสิ่งสากลที่ไม่มีอยู่จริงได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น วิทยาศาสตร์ของสีสามารถจัดการกับเฉดสีฟ้าที่ไม่ปรากฏบนวัตถุจริงใดๆ ได้ ^{[ 13 ]}
• โครงสร้างนิยมแบบโพสต์เรม^{[ 14 ]} (“หลังจากสิ่งนั้น”) หรือโครงสร้างนิยมแบบกำจัด^{[ 4 ]} (โดยเฉพาะอย่างยิ่งเกี่ยวข้องกับ Paul Benacerraf ) ^{[ 4 ]}เป็นแนวคิดต่อต้านสัจนิยมเกี่ยวกับโครงสร้างในลักษณะที่ขนานกับนามนิยมเช่นเดียวกับนามนิยม แนวทาง โพสต์เรมปฏิเสธการมีอยู่ของวัตถุทางคณิตศาสตร์นามธรรมที่มีคุณสมบัติอื่นนอกเหนือจากตำแหน่งในโครงสร้างเชิงสัมพันธ์ ตามมุมมองนี้ระบบ ทางคณิตศาสตร์ มีอยู่จริงและมีลักษณะโครงสร้างร่วมกัน หากสิ่งใดเป็นจริงสำหรับโครงสร้างหนึ่ง สิ่งนั้นจะเป็นจริงสำหรับระบบทั้งหมดที่เป็นตัวอย่างของโครงสร้างนั้น อย่างไรก็ตาม การพูดถึงโครงสร้างที่ “มีร่วมกัน” ระหว่างระบบนั้นเป็นเพียงเครื่องมือเท่านั้น ในความเป็นจริงแล้วโครงสร้างเหล่านั้นไม่มีอยู่จริงอย่างอิสระ

• ทฤษฎีวัตถุเชิงนามธรรม
• พื้นฐานของคณิตศาสตร์
• มูลนิธิยูนิวาเลนต์
• ปรัชญาคณิตศาสตร์แบบสัจนิยมของอริสโตเติล

สารตั้งต้น

• นิโคลัส บูร์บากิ

• โครงสร้างนิยมทางคณิตศาสตร์สารานุกรมปรัชญาออนไลน์
• ลัทธินามธรรม , สารานุกรมปรัชญาออนไลน์
• โครงการวิจัยพื้นฐานของโครงสร้างนิยมมหาวิทยาลัยบริสตอล สหราชอาณาจักร