Consider a finite sequence ${\displaystyle \{\mathbf {A} _{k}\}}$ of fixed, self-adjoint matrices with dimension ${\displaystyle d}$, and let ${\displaystyle \{\xi _{k}\}}$ be a finite sequence of independent standard normal or independent Rademacher random variables.

Then, for all ${\displaystyle t\geq 0}$,

${\displaystyle \Pr \left\{\lambda _{\text{max}}\left(\sum _{k}\xi _{k}\mathbf {A} _{k}\right)\geq t\right\}\leq d\cdot e^{-t^{2}/2\sigma ^{2}}}$

where

${\displaystyle \sigma ^{2}={\bigg \Vert }\sum _{k}\mathbf {A} _{k}^{2}{\bigg \Vert }.}$

Consider a finite sequence ${\displaystyle \{\mathbf {B} _{k}\}}$ of fixed matrices with dimension ${\displaystyle d_{1}\times d_{2}}$, and let ${\displaystyle \{\xi _{k}\}}$ be a finite sequence of independent standard normal or independent Rademacher random variables. Define the variance parameter

${\displaystyle \sigma ^{2}=\max \left\{{\bigg \Vert }\sum _{k}\mathbf {B} _{k}\mathbf {B} _{k}^{*}{\bigg \Vert },{\bigg \Vert }\sum _{k}\mathbf {B} _{k}^{*}\mathbf {B} _{k}{\bigg \Vert }\right\}.}$

Then, for all ${\displaystyle t\geq 0}$,

${\displaystyle \Pr \left\{{\bigg \Vert }\sum _{k}\xi _{k}\mathbf {B} _{k}{\bigg \Vert }\geq t\right\}\leq (d_{1}+d_{2})\cdot e^{-t^{2}/2\sigma ^{2}}.}$

Consider a finite sequence ${\displaystyle \{\mathbf {X} _{k}\}}$ of independent, random, self-adjoint matrices with dimension ${\displaystyle d}$. Assume that each random matrix satisfies

${\displaystyle \mathbf {X} _{k}\succeq \mathbf {0} \quad {\text{และ}}\quad \lambda _{\text{max}}(\mathbf {X} _{k})\leq R}$

almost surely.

Define

${\displaystyle \mu _{\text{min}}=\lambda _{\text{min}}\left(\sum _{k}\mathbb {E} \,\mathbf {X} _{k}\right)\quad {\text{and}}\quad \mu _{\text{max}}=\lambda _{\text{max}}\left(\sum _{k}\mathbb {E} \,\mathbf {X} _{k}\right).}$

Then

${\displaystyle \Pr \left\{\lambda _{\text{min}}\left(\sum _{k}\mathbf {X} _{k}\right)\leq (1-\delta )\mu _{\text{min}}\right\}\leq d\cdot \left[{\frac {e^{-\delta }}{(1-\delta )^{1-\delta }}}\right]^{\mu _{\text{min}}/R}\quad {\text{สำหรับ }}\delta \in [0,1){\text{และ}}}$

${\displaystyle \Pr \left\{\lambda _{\text{max}}\left(\sum _{k}\mathbf {X} _{k}\right)\geq (1+\delta )\mu _{\text{max}}\right\}\leq d\cdot \left[{\frac {e^{\delta }}{(1+\delta )^{1+\delta }}}\right]^{\mu _{\text{max}}/R}\quad {\text{สำหรับ }}\delta \geq 0.}$

Consider a sequence ${\displaystyle \{\mathbf {X} _{k}:k=1,2,\ldots ,n\}}$ of independent, random, self-adjoint matrices that satisfy

${\displaystyle \mathbf {X} _{k}\succeq \mathbf {0} \quad {\text{และ}}\quad \lambda _{\text{max}}(\mathbf {X} _{k})\leq 1}$

almost surely.

Compute the minimum and maximum eigenvalues of the average expectation,

${\displaystyle {\bar {\mu }}_{\text{min}}=\lambda _{\text{min}}\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\mathbb {E} \,\mathbf {X} _{k}\right)\quad {\text{and}}\quad {\bar {\mu }}_{\text{max}}=\lambda _{\text{max}}\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\mathbb {E} \,\mathbf {X} _{k}\right).}$

Then

${\displaystyle \Pr \left\{\lambda _{\text{min}}\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\mathbf {X} _{k}\right)\leq \alpha \right\}\leq d\cdot e^{-nD(\alpha \Vert {\bar {\mu }}_{\text{min}})}\quad {\text{for }}0\leq \alpha \leq {\bar {\mu }}_{\text{min}}{\text{, and}}}$

${\displaystyle \Pr \left\{\lambda _{\text{max}}\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\mathbf {X} _{k}\right)\geq \alpha \right\}\leq d\cdot e^{-nD(\alpha \Vert {\bar {\mu }}_{\text{max}})}\quad {\text{for }}{\bar {\mu }}_{\text{max}}\leq \alpha \leq 1.}$

The binary information divergence is defined as

${\displaystyle D(a\Vert u)=a\left(\log a-\log u\right)+(1-a)\left(\log(1-a)-\log(1-u)\right)}$

for ${\displaystyle a,u\in [0,1]}$.

Consider a finite sequence ${\displaystyle \{\mathbf {X} _{k}\}}$ of independent, random, self-adjoint matrices with dimension ${\displaystyle d}$. Assume that each random matrix satisfies

${\displaystyle \mathbb {E} \mathbf {X} _{k}=\mathbf {0} \quad {\text{and}}\quad \lambda _{\text{max}}(\mathbf {X} _{k})\leq R}$

almost surely.

Compute the norm of the total variance,

${\displaystyle \sigma ^{2}={\bigg \Vert }\sum _{k}\mathbb {E} \,(\mathbf {X} _{k}^{2}){\bigg \Vert }.}$

Then, the following chain of inequalities holds for all ${\displaystyle t\geq 0}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr \left\{\lambda _{\text{max}}\left(\sum _{k}\mathbf {X} _{k}\right)\geq t\right\}&\leq d\cdot \exp \left(-{\frac {\sigma ^{2}}{R^{2}}}\cdot h\left({\frac {Rt}{\sigma ^{2}}}\right)\right)\\&\leq d\cdot \exp \left({\frac {-t^{2}}{\sigma ^{2}+Rt/3}}\right)\\&\leq {\begin{cases}d\cdot \exp(-3t^{2}/8\sigma ^{2})\quad &{\text{for }}t\leq \sigma ^{2}/R;\\d\cdot \exp(-3t/8R)\quad &{\text{for }}t\geq \sigma ^{2}/R.\\\end{cases}}\end{aligned}}}$

The function ${\displaystyle h(u)}$ is defined as ${\displaystyle h(u)=(1+u)\log(1+u)-u}$ for ${\displaystyle u\geq 0}$.

Consider a sequence ${\displaystyle \{\mathbf {X} _{k}\}_{k=1}^{n}}$ of independent and identically distributed random column vectors in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$. Assume that each random vector satisfies ${\displaystyle \Vert \mathbf {X} _{k}\Vert _{2}\leq M}$ almost surely, and ${\displaystyle \Vert \mathbb {E} [\mathbf {X} _{k}\mathbf {X} _{k}^{T}]\Vert _{2}\leq 1}$. Then, for all ${\displaystyle t\geq 0}$,^[1]

${\displaystyle \Pr \left\{{\bigg \Vert }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\mathbf {X} _{k}\mathbf {X} _{k}^{T}-\mathbb {E} [\mathbf {X} _{1}\mathbf {X} _{1}^{T}]{\bigg \Vert }_{2}\geq t\right\}\leq (2\min(d,n))^{2}\cdot \exp \left(-{\frac {n(t-1)}{4M^{2}}}\right)}$

Consider a finite sequence ${\displaystyle \{\mathbf {X} _{k}\}}$ of independent, random, self-adjoint matrices with dimension ${\displaystyle d}$. Assume that

${\displaystyle \mathbb {E} \,\mathbf {X} _{k}=\mathbf {0} \quad {\text{and}}\quad \mathbb {E} \,(\mathbf {X} _{k}^{p})\preceq {\frac {p!}{2}}\cdot R^{p-2}\mathbf {A} _{k}^{2}}$

for ${\displaystyle p=2,3,4,\ldots }$.

Compute the variance parameter,

${\displaystyle \sigma ^{2}={\bigg \Vert }\sum _{k}\mathbf {A} _{k}^{2}{\bigg \Vert }.}$

Then, the following chain of inequalities holds for all ${\displaystyle t\geq 0}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr \left\{\lambda _{\text{max}}\left(\sum _{k}\mathbf {X} _{k}\right)\geq t\right\}&\leq d\cdot \exp \left({\frac {-t^{2}/2}{\sigma ^{2}+Rt}}\right)\\&\leq {\begin{cases}d\cdot \exp(-t^{2}/4\sigma ^{2})\quad &{\text{for }}t\leq \sigma ^{2}/R;\\d\cdot \exp(-t/4R)\quad &{\text{for }}t\geq \sigma ^{2}/R.\\\end{cases}}\end{aligned}}}$

Consider a finite sequence ${\displaystyle \{\mathbf {Z} _{k}\}}$ของเมทริกซ์สุ่มอิสระที่มีมิติ${\displaystyle d_{1}\times d_{2}}$สมมติว่าเมทริกซ์สุ่มแต่ละตัวเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้

${\displaystyle \mathbb {E} \,\mathbf {Z} _{k}=\mathbf {0} \quad {\text{and}}\quad \Vert \mathbf {Z} _{k}\Vert \leq R}$

เกือบจะแน่นอน กำหนดพารามิเตอร์ความแปรปรวน

${\displaystyle \sigma ^{2}=\max \left\{{\bigg \Vert }\sum _{k}\mathbb {E} \,(\mathbf {Z} _{k}\mathbf {Z} _{k}^{*}){\bigg \Vert },{\bigg \Vert }\sum _{k}\mathbb {E} \,(\mathbf {Z} _{k}^{*}\mathbf {Z} _{k}){\bigg \Vert }\right\}.}$

จากนั้น สำหรับทุกคน${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle \Pr \left\{{\bigg \Vert }\sum _{k}\mathbf {Z} _{k}{\bigg \Vert }\geq t\right\}\leq (d_{1}+d_{2})\cdot \exp \left({\frac {-t^{2}/2}{\sigma ^{2}+Rt/3}}\right)}$

ถือครอง

อสมการของ Azumaในรูปแบบสเกลาร์ระบุว่ามาร์ติงเกล แบบสเกลาร์ แสดงการกระจุกตัวแบบปกติรอบค่าเฉลี่ย และมาตราส่วนสำหรับการเบี่ยงเบนถูกควบคุมโดยช่วงกำลังสองสูงสุดทั้งหมดของลำดับความแตกต่าง ต่อไปนี้คือส่วนขยายในบริบทของเมทริกซ์

พิจารณาลำดับที่ปรับเปลี่ยนได้แบบจำกัด${\displaystyle \{\mathbf {X} _{k}\}}$ของเมทริกซ์สมมาตรที่มีมิติ${\displaystyle d}$และลำดับที่กำหนดไว้${\displaystyle \{\mathbf {A} _{k}\}}$ของเมทริกซ์สมมาตรในตัวเองที่ตรงตามเงื่อนไข

${\displaystyle \mathbb {E} _{k-1}\,\mathbf {X} _{k}=\mathbf {0} \quad {\text{and}}\quad \mathbf {X} _{k}^{2}\preceq \mathbf {A} _{k}^{2}}$

แทบจะแน่นอน

คำนวณค่าพารามิเตอร์ความแปรปรวน

${\displaystyle \sigma ^{2}={\bigg \Vert }\sum _{k}\mathbf {A} _{k}^{2}{\bigg \Vert }.}$

จากนั้น สำหรับทุกคน${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle \Pr \left\{\lambda _{\text{max}}\left(\sum _{k}\mathbf {X} _{k}\right)\geq t\right\}\leq d\cdot e^{-t^{2}/8\sigma ^{2}}}$

ค่าคงที่ 1/8 สามารถปรับปรุงให้เป็น 1/2 ได้เมื่อมีข้อมูลเพิ่มเติม กรณีหนึ่งเกิดขึ้นเมื่อแต่ละพจน์บวก${\displaystyle \mathbf {X} _{k}}$มีสมมาตรแบบมีเงื่อนไข ตัวอย่างอื่นต้องอาศัยข้อสมมติฐานว่า${\displaystyle \mathbf {X} _{k}}$การเดินทางไปทำงานแทบจะแน่นอนด้วย${\displaystyle \mathbf {A} _{k}}$.

การเพิ่มสมมติฐานว่าพจน์บวกในเมทริกซ์ Azuma เป็นอิสระต่อกัน จะทำให้ได้การขยายอสมการของ Hoeffding ในรูปแบบเมทริก ซ์

พิจารณาลำดับจำกัด${\displaystyle \{\mathbf {X} _{k}\}}$ประกอบด้วยเมทริกซ์อิสระ สุ่ม และสมมาตรในตัวเอง ที่มีมิติ${\displaystyle d}$และปล่อยให้${\displaystyle \{\mathbf {A} _{k}\}}$เป็นลำดับของเมทริกซ์สมมาตรคงที่ สมมติว่าเมทริกซ์สุ่มแต่ละตัวเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้

${\displaystyle \mathbb {E} \,\mathbf {X} _{k}=\mathbf {0} \quad {\text{and}}\quad \mathbf {X} _{k}^{2}\preceq \mathbf {A} _{k}^{2}}$

แทบจะแน่นอน

จากนั้น สำหรับทุกคน${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle \Pr \left\{\lambda _{\text{max}}\left(\sum _{k}\mathbf {X} _{k}\right)\geq t\right\}\leq d\cdot e^{-t^{2}/8\sigma ^{2}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle \sigma ^{2}={\bigg \Vert }\sum _{k}\mathbf {A} _{k}^{2}{\bigg \Vert }.}$

ผลลัพธ์ที่ดีขึ้นนี้ได้รับการกำหนดไว้ใน( Mackey et al. 2012 ) : สำหรับทุก${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle \Pr \left\{\lambda _{\text{max}}\left(\sum _{k}\mathbf {X} _{k}\right)\geq t\right\}\leq d\cdot e^{-t^{2}/2\sigma ^{2}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {1}{2}}{\bigg \Vert }\sum _{k}\mathbf {A} _{k}^{2}+\mathbb {E} \,\mathbf {X} _{k}^{2}{\bigg \Vert }\leq {\bigg \Vert }\sum _{k}\mathbf {A} _{k}^{2}{\bigg \Vert }.}$

ในบริบทของสเกลาร์อสมการของ McDiarmidให้วิธีการทั่วไปวิธีหนึ่งในการกำหนดขอบเขตของความแตกต่างโดยการประยุกต์ใช้อสมการของ Azumaกับมาร์ติงเกลของ Doobนอกจากนี้ยังมีอสมการความแตกต่างที่มีขอบเขตในรูปแบบเมทริกซ์ด้วย

อนุญาต${\displaystyle \{Z_{k}:k=1,2,\ldots ,n\}}$ให้ เป็นกลุ่มของตัวแปรสุ่มอิสระ และให้${\displaystyle \mathbf {H} }$เป็นฟังก์ชันที่แมป${\displaystyle n}$ตัวแปรไปยังเมทริกซ์สมมาตรที่มีมิติ${\displaystyle d}$พิจารณาลำดับต่อไปนี้${\displaystyle \{\mathbf {A} _{k}\}}$ของเมทริกซ์สมมาตรคงที่ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข

${\displaystyle \left(\mathbf {H} (z_{1},\ldots ,z_{k},\ldots ,z_{n})-\mathbf {H} (z_{1},\ldots ,z'_{k},\ldots ,z_{n})\right)^{2}\preceq \mathbf {A} _{k}^{2},}$

ที่ไหน${\displaystyle z_{i}}$และ${\displaystyle z'_{i}}$ครอบคลุมค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ${\displaystyle Z_{i}}$สำหรับแต่ละดัชนี${\displaystyle i}$คำนวณค่าพารามิเตอร์ความแปรปรวน

${\displaystyle \sigma ^{2}={\bigg \Vert }\sum _{k}\mathbf {A} _{k}^{2}{\bigg \Vert }.}$

จากนั้น สำหรับทุกคน${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle \Pr \left\{\lambda _{\text{max}}\left(\mathbf {H} (\mathbf {z} )-\mathbb {E} \,\mathbf {H} (\mathbf {z} )\right)\geq t\right\}\leq d\cdot e^{-t^{2}/8\sigma ^{2}},}$

ที่ไหน${\displaystyle \mathbf {z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{n})}$.

มีการปรับปรุงผลลัพธ์นี้ใน( Paulin, Mackey & Tropp 2013 ) (ดูเพิ่มเติมใน( Paulin, Mackey & Tropp 2016 ) ): สำหรับทุก${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle \Pr \left\{\lambda _{\text{max}}\left(\mathbf {H} (\mathbf {z} )-\mathbb {E} \,\mathbf {H} (\mathbf {z} )\right)\geq t\right\}\leq d\cdot e^{-t^{2}/\sigma ^{2}},}$

ที่ไหน${\displaystyle \mathbf {z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{n})}$และ ${\displaystyle \sigma ^{2}={\bigg \Vert }\sum _{k}\mathbf {A} _{k}^{2}{\bigg \Vert }.}$

ข้อ โต้แย้ง การแปลงลาปลาสที่พบใน( Ahlswede & Winter 2003 )เป็นผลลัพธ์ที่สำคัญในตัวมันเอง: ให้${\displaystyle \mathbf {Y} }$เป็นเมทริกซ์สมมาตรแบบสุ่ม จากนั้น

${\displaystyle \Pr \left\{\lambda _{\max }(Y)\geq t\right\}\leq \inf _{\theta >0}\left\{e^{-\theta t}\cdot \operatorname {E} \left[\operatorname {tr} e^{\theta \mathbf {Y} }\right]\right\}.}$

เพื่อพิสูจน์เรื่องนี้ ให้แก้ไข ${\displaystyle \theta >0}$. แล้ว

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr \left\{\lambda _{\max }(\mathbf {Y} )\geq t\right\}&=\Pr \left\{\lambda _{\max }(\mathbf {\theta Y} )\geq \theta t\right\}\\&=\Pr \left\{e^{\lambda _{\max }(\theta \mathbf {Y} )}\geq e^{\theta t}\right\}\\&\leq e^{-\theta t}\operatorname {E} e^{\lambda _{\max }(\theta \mathbf {Y} )}\\&\leq e^{-\theta t}\operatorname {E} \operatorname {tr} e^{(\theta \mathbf {Y} )}\end{aligned}}}$

อสมการรองสุดท้ายคืออสมการของมาร์คอฟอสมการสุดท้ายเป็นจริงเนื่องจาก${\displaystyle e^{\lambda _{\max }(\theta \mathbf {Y} )}=\lambda _{\max }(e^{\theta \mathbf {Y} })\leq \operatorname {tr} (e^{\theta \mathbf {Y} })}$เนื่องจากปริมาณทางซ้ายสุดไม่ขึ้นอยู่กับ${\displaystyle \theta }$ค่าต่ำสุดเหนือ${\displaystyle \theta >0}$ยังคงเป็นขีดจำกัดสูงสุดสำหรับมัน

ดังนั้น ภารกิจของเราคือการทำความเข้าใจ${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {tr} (e^{\theta \mathbf {Y} })]}$ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากร่องรอยและความคาดหวังต่างก็เป็นเชิงเส้น เราจึงสามารถสลับลำดับกันได้ ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะพิจารณา${\displaystyle \operatorname {E} e^{\theta \mathbf {Y} }:=\mathbf {M} _{\mathbf {Y} }(\theta )}$ซึ่งเราเรียกว่าฟังก์ชันก่อกำเนิดเมทริกซ์ นี่คือจุดที่วิธีการของ( Ahlswede & Winter 2003 )และ( Tropp 2010 )แตกต่างกัน การนำเสนอต่อไปนี้เป็นไปตาม( Ahlswede & Winter 2003 )

อสมการโกลเด้น-ทอมป์สันบ่งชี้ว่า

${\displaystyle \operatorname {tr} \mathbf {M} _{\mathbf {X} _{1}+\mathbf {X} _{2}}(\theta )\leq \operatorname {tr} \left[\left(\operatorname {E} e^{\theta \mathbf {X} _{1}}\right)\left(\operatorname {E} e^{\theta \mathbf {X} _{2}}\right)\right]=\operatorname {tr} \mathbf {M} _{\mathbf {X} _{1}}(\theta )\mathbf {M} _{\mathbf {X} _{2}}(\theta )}$ซึ่งเราได้ใช้ความเป็นเส้นตรงของค่าคาดหวังหลายครั้ง

สมมติ${\displaystyle \mathbf {Y} =\sum _{k}\mathbf {X} _{k}}$เราสามารถหาขอบเขตบนสำหรับ${\displaystyle \operatorname {tr} \mathbf {M} _{\mathbf {Y} }(\theta )}$โดยการทำซ้ำผลลัพธ์นี้ โดยสังเกตว่า${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {AB} )\leq \operatorname {tr} (\mathbf {A} )\lambda _{\max }(\mathbf {B} )}$, แล้ว

${\displaystyle \operatorname {tr} \mathbf {M} _{\mathbf {Y} }(\theta )\leq \operatorname {tr} \left[\left(\operatorname {E} e^{\sum _{k=1}^{n-1}\theta \mathbf {X} _{k}}\right)\left(\operatorname {E} e^{\theta \mathbf {X} _{n}}\right)\right]\leq \operatorname {tr} \left(\operatorname {E} e^{\sum _{k=1}^{n-1}\theta \mathbf {X} _{k}}\right)\lambda _{\max }(\operatorname {E} e^{\theta \mathbf {X} _{n}}).}$

เมื่อทำซ้ำเช่นนี้ เราจะได้

${\displaystyle \operatorname {tr} \mathbf {M} _{\mathbf {Y} }(\theta )\leq (\operatorname {tr} \mathbf {I} )\left[\Pi _{k}\lambda _{\max }(\operatorname {E} e^{\theta \mathbf {X} _{k}})\right]=de^{\sum _{k}\lambda _{\max }\left(\log \operatorname {E} e^{\theta \mathbf {X} _{k}}\right)}}$

จนถึงตอนนี้ เราพบขอบเขตที่มีค่าต่ำสุดมากกว่า${\displaystyle \theta }$ในทางกลับกัน สิ่งนี้สามารถจำกัดได้ อย่างไรก็ตาม เราสามารถเห็นได้ว่าขอบเขตของ Ahlswede–Winter เกิดขึ้นจากผลรวมของค่าลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุด

ผลงานสำคัญของ( Tropp 2010 )คือการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของ Liebซึ่ง( Ahlswede & Winter 2003 )ได้ประยุกต์ใช้ความไม่เท่าเทียมกันของ Golden–Thompsonบทสรุปของ Tropp มีดังนี้: ถ้า${\displaystyle H}$เป็นเมทริกซ์สมมาตรคงที่ และ${\displaystyle X}$ถ้าเมทริกซ์สมมาตรแบบสุ่มนั้น

${\displaystyle \operatorname {E} \operatorname {tr} e^{\mathbf {H} +\mathbf {X} }\leq \operatorname {tr} e^{\mathbf {H} +\log(\operatorname {E} e^{\mathbf {X} })}}$

พิสูจน์: ให้${\displaystyle \mathbf {Y} =e^{\mathbf {X} }}$จากนั้นทฤษฎีบทของ Lieb ก็บอกเราว่า

${\displaystyle f(\mathbf {Y} )=\operatorname {tr} e^{\mathbf {H} +\log(\mathbf {Y} )}}$

เป็นฟังก์ชันเว้า ขั้นตอนสุดท้ายคือการใช้ความไม่เท่าเทียมของเจนเซ่นเพื่อย้ายค่าคาดหวังเข้าไปภายในฟังก์ชัน:

${\displaystyle \operatorname {E} \operatorname {tr} e^{\mathbf {H} +\log(\mathbf {Y} )}\leq \operatorname {tr} e^{\mathbf {H} +\log(\operatorname {E} \mathbf {Y} )}.}$

นี่คือผลลัพธ์หลักของงานวิจัยนี้: คุณสมบัติการบวกย่อยของลอการิทึมของฟังก์ชันก่อกำเนิดเมทริกซ์