ในแม่เหล็กไฟฟ้าซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของฟิสิกส์ พื้นฐาน การแสดงสมการของแม็กซ์เวลล์ ในรูปแบบเมทริกซ์ เป็นการกำหนดสมการของแม็กซ์เวลล์โดยใช้เมทริกซ์จำนวนเชิงซ้อนและแคลคูลัสเวกเตอร์การแสดงเหล่านี้ใช้สำหรับตัวกลางที่เป็นเนื้อเดียวกันซึ่งเป็นการประมาณในตัวกลางที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันการแสดงเมทริกซ์สำหรับตัวกลางที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันได้ถูกนำเสนอโดยใช้สมการเมทริกซ์สองสมการ^{[ 1 ]}สมการเดียวที่ใช้เมทริกซ์ 4 × 4 นั้นจำเป็นและเพียงพอสำหรับตัวกลางที่เป็นเนื้อเดียวกันใดๆ สำหรับตัวกลางที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันนั้น จำเป็นต้องใช้เมทริกซ์ 8 × 8 ^{[ 2 ]}

สมการของแม็กซ์เวลล์ในรูปแบบแคลคูลัสเวกเตอร์มาตรฐาน ในตัวกลางที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันที่มีแหล่งกำเนิด คือ: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathbf {\nabla } }\cdot {\mathbf {D} }\left({\mathbf {r} },t\right)=\rho \,\\&{\mathbf {\nabla } }\times {\mathbf {H} }\left({\mathbf {r} },t\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}{\mathbf {D} }\left({\mathbf {r} },t\right)={\mathbf {J} }\,\\&{\mathbf {\nabla } }\times {\mathbf {E} }\left({\mathbf {r} },t\right)+{\frac {\บางส่วน }{\บางส่วน t}}{\mathbf {B} }\left({\mathbf {r} },t\right)=0\,\\&{\mathbf {\nabla } }\cdot {\mathbf {B} }\left({\mathbf {r} },t\right)=0\,.\end{aligned}}}$

โดยทั่วไปแล้ว สื่อจะมีลักษณะเป็นเส้นตรงนั่นคือ

${\displaystyle {\mathbf {D} }=\varepsilon \mathbf {E} \,,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} }$,

โดยที่ค่าสเกลาร์${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon (\mathbf {r} ,t)}$คือค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าของตัวกลางและค่าสเกลาร์${\displaystyle \mu =\mu (\mathbf {r} ,t)}$ค่าการซึมผ่านของตัวกลาง (ดูสมการองค์ประกอบ ) สำหรับตัวกลางที่เป็นเนื้อเดียวกัน${\displaystyle \varepsilon }$และ${\displaystyle \mu }$เป็นค่าคงที่ความเร็วแสงในตัวกลางนั้นกำหนดโดย

${\displaystyle v({\mathbf {r} },t)={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon ({\mathbf {r} },t)\,\mu ({\mathbf {r} },t)\,}}}}$.

ในสภาวะสุญญากาศ${\displaystyle \varepsilon _{0}=\,}$8.85 × 10 ⁻¹² C ² ·N ⁻¹ ·m ⁻²และ${\displaystyle \mu _{0}=4\pi \,}$× 10 ⁻⁷ H·m ⁻¹

วิธีหนึ่งที่เป็นไปได้ในการได้มาซึ่งการแสดงเมทริกซ์ที่ต้องการคือการใช้เวกเตอร์ Riemann–Silberstein ^{[ 4 ] [ 5 ]}ที่กำหนดโดย

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {F} }^{+}\left({\mathbf {r} },t\right)&={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}\left[{\sqrt {\varepsilon ({\mathbf {r} },t)\,}}\,{\mathbf {E} }\left({\mathbf {r} },t\right)+{\rm {i}}\,{\frac {1}{\sqrt {\mu ({\mathbf {r} },t)\,}}}{\mathbf {B} }\left({\mathbf {r} },t\right)\right]\\{\mathbf {F} }^{-}\left({\mathbf {r} },t\right)&={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}\left[{\sqrt {\varepsilon ({\mathbf {r} },t)\,}}\,{\mathbf {E} }\left({\mathbf {r} },t\right)-{\rm {i}}\,{\frac {1}{\sqrt {\mu ({\mathbf {r} },t)\,}}}{\mathbf {B} }\left({\mathbf {r} },t\right)\right]\,.\end{aligned}}}$

หากเป็นสื่อประเภทใดประเภทหนึ่ง${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon (\mathbf {r} ,t)}$และ${\displaystyle \mu =\mu (\mathbf {r} ,t)}$ถ้าเวกเตอร์ เหล่านั้นเป็นค่าคงที่สเกลาร์ (หรือสามารถถือได้ว่าเป็นค่าคงที่สเกลาร์เฉพาะที่ภายใต้การประมาณบางอย่าง) เวกเตอร์เหล่านั้นก็จะเป็นค่าคงที่สเกลาร์เฉพาะที่ เช่นกัน${\displaystyle {\mathbf {F} }^{\pm }(\mathbf {r} ,t)}$ทำให้พึงพอใจ

${\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {i}}\,{\frac {\partial }{\partial t}}{\mathbf {F} }^{\pm }\left({\mathbf {r} },t\right)&=\pm v\,{\mathbf {\nabla } }\times {\mathbf {F} }^{\pm }\left({\mathbf {r} },t\right)-{\frac {1}{\sqrt {2\epsilon \,}}}({\rm {i}}\,{\mathbf {J} })\\{\mathbf {\nabla } }\cdot {\mathbf {F} }^{\pm }\left({\mathbf {r} },t\right)&={\frac {1}{\sqrt {2\varepsilon \,}}}(\rho )\,.\end{aligned}}}$

ดังนั้น การใช้เวกเตอร์ Riemann–Silberstein ทำให้สามารถเขียนสมการของ Maxwell สำหรับตัวกลางที่มีค่าคงที่ได้ใหม่${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon (\mathbf {r} ,t)}$และ${\displaystyle \mu =\mu (\mathbf {r} ,t)}$ในรูปของสมการเชิงโครงสร้างคู่หนึ่ง

เพื่อให้ได้สมการเมทริกซ์เดียวแทนที่จะเป็นคู่ ฟังก์ชันใหม่ต่อไปนี้จะถูกสร้างขึ้นโดยใช้ส่วนประกอบของเวกเตอร์ Riemann–Silberstein ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi ^{+}({\mathbf {r} },t)&=\left[{\begin{array}{c}-F_{x}^{+}+{\rm {i}}F_{y}^{+}\\F_{z}^{+}\\F_{z}^{+}\\F_{x}^{+}+{\rm {i}}F_{y}^{+}\end{array}}\right]\,\quad \Psi ^{-}({\mathbf {r} },t)=\left[{\begin{array}{c}-F_{x}^{-}-{\rm {i}}F_{y}^{-}\\F_{z}^{-}\\F_{z}^{-}\\F_{x}^{-}-{\rm {i}}F_{y}^{-}\end{array}}\right]\,.\end{aligned}}}$

เวกเตอร์สำหรับแหล่งกำเนิดคือ

${\displaystyle {\begin{aligned}W^{+}&=\left({\frac {1}{\sqrt {2\epsilon }}}\right)\left[{\begin{array}{c}-J_{x}+{\rm {i}}J_{y}\\J_{z}-v\rho \\J_{z}+v\rho \\J_{x}+{\rm {i}}J_{y}\end{array}}\right]\,\quad W^{-}=\left({\frac {1}{\sqrt {2\epsilon }}}\right)\left[{\begin{array}{c}-J_{x}-{\rm {i}}J_{y}\\J_{z}-v\rho \\J_{z}+v\rho \\J_{x}-{\rm {i}}J_{y}\end{array}}\right]\,.\end{aligned}}}$

แล้ว,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ^{+}&=-v\left\{{\mathbf {M} }\cdot {\mathbf {\nabla } }\right\}\Psi ^{+}-W^{+}\,\\{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ^{-}&=-v\left\{{\mathbf {M} }^{*}\cdot {\mathbf {\nabla } }\right\}\Psi ^{-}-W^{-}\,\end{aligned}}}$

โดยที่ * หมายถึงการสังยุคเชิงซ้อนและสามตัวM = [ M , M , M ]คือเวกเตอร์ที่มีองค์ประกอบเป็นเมทริกซ์นามธรรมขนาด 4×4 ที่กำหนดโดย

${\displaystyle M_{x}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle M_{y}={\rm {i}}{\begin{bmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\+1&0&0&0\\0&+1&0&0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle M_{z}={\begin{bmatrix}+1&0&0&0\\0&+1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\,.}$

สามารถสร้างเมทริกซ์Mส่วนประกอบ ได้โดยใช้:

${\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}{\mathbf {0} }&-{\mathbf {I} _{2}}\\{\mathbf {I} _{2}}&{\mathbf {0} }\end{bmatrix}}\,\qquad \beta ={\begin{bmatrix}{\mathbf {I} _{2}}&{\mathbf {0} }\\{\mathbf {0} }&-{\mathbf {I} _{2}}\end{bmatrix}}\,,}$

ที่ไหน${\displaystyle \mathbf {I} _{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\,,}$

จากนั้นจึงได้รับ:

${\displaystyle M_{x}=-\beta \Omega ,\qquad M_{y}={\rm {i}}\Omega ,\qquad M_{z}=\beta \,.}$

อีกทางเลือกหนึ่งคือการใช้เมทริกซ์${\displaystyle J=-\Omega \,.}$ซึ่งต่างกันเพียงแค่เครื่องหมาย สำหรับจุดประสงค์ของเรา การใช้ Ω หรือJ ก็เหมาะสมดี แต่ทั้งสองมีความหมายต่างกันJเป็นแบบคอนทราแวเรียนต์และ Ω เป็นแบบโคแวเรียนต์ เมทริกซ์ Ω สอดคล้องกับวงเล็บลากรางจ์ในกลศาสตร์คลาสสิกและJสอดคล้องกับวงเล็บปัวซง

โปรดสังเกตความสัมพันธ์ที่สำคัญ${\displaystyle \Omega =J^{-1}\,.}$

สมการของแม็กซ์เวลล์ทั้งสี่สมการได้มาจากการแสดงผลในรูปแบบเมทริกซ์ โดยการหาผลรวมและผลต่างของแถวที่ 1 กับแถวที่ 4 และแถวที่ 2 กับแถวที่ 3 ตามลำดับ สามสมการแรกให้ค่า ส่วนประกอบ y , xและzของเคิร์ลและสมการสุดท้ายให้เงื่อนไขการล divergence

เมทริกซ์Mทั้งหมดเป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานและเป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนนอกจากนี้ เมทริกซ์เหล่านี้ยังสอดคล้องกับพีชคณิตทั่วไป ( คล้าย ควอเทอร์เนียน ) ของเมทริกซ์ดิแรกซึ่งรวมถึง

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{x}M_{z}=-M_{z}M_{x}\,\\M_{y}M_{z}=-M_{z}M_{y}\,\\\\M_{x}^{2}=M_{y}^{2}=M_{z}^{2}=I\,\\\\M_{x}M_{y}=-M_{y}M_{x}={\rm {i}}M_{z}\,\\M_{y}M_{z}=-M_{z}M_{y}={\rm {i}}M_{x}\,\\M_{z}M_{x}=-M_{x}M_{z}={\rm {i}}M_{y}\,.\end{aligned}}}$

(Ψ ^± , M ) ไม่ เป็น เอกลักษณ์ การเลือก Ψ ^± ที่แตกต่างกัน จะทำให้เกิดM ที่แตกต่างกัน โดยที่กลุ่มMยังคงสอดคล้องกับพีชคณิตของเมทริกซ์ Dirac Ψ ^± ผ่านเวกเตอร์ Riemann–Silberstein มีข้อดีบางประการเหนือตัวเลือกอื่นๆ ที่เป็นไปได้^{[ 5 ]}เวกเตอร์ Riemann–Silberstein เป็นที่รู้จักกันดีในอิเล็กโทรไดนามิกส์แบบคลาสสิกและมีคุณสมบัติและการใช้งานที่น่าสนใจบางประการ^{[ 5 ]}

ในการหาเมทริกซ์ 4×4 ที่แสดงสมการของแม็กซ์เวลล์ข้างต้นนั้น อนุพันธ์เชิงพื้นที่และเวลาของ ε( r , t ) และ μ( r , t ) ในสองสมการแรกของแม็กซ์เวลล์ถูกละเลย โดยถือว่า ε และ μ เป็นค่าคงที่เฉพาะที่

ในตัวกลางที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน การเปลี่ยนแปลงเชิงพื้นที่และเวลาของ ε = ε( r , t ) และ μ = μ( r , t ) จะไม่เป็นศูนย์ นั่นคือ ค่าเหล่านี้จะไม่เป็น ค่าคงที่ เฉพาะที่ อีกต่อไป แทนที่จะใช้ ε = ε( r , t ) และ μ = μ( r , t ) การใช้ ฟังก์ชันที่ได้จากการทดลองสอง ฟังก์ชัน ได้แก่ฟังก์ชันความต้านทานและฟังก์ชันความเร็ว จะเป็นประโยชน์มากกว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ Velocity function:}}\,v({\mathbf {r} },t)&={\frac {1}{\sqrt {\epsilon ({\mathbf {r} },t)\mu ({\mathbf {r} },t)}}}\\{\text{Resistance function:}}\,h({\mathbf {r} },t)&={\sqrt {\frac {\mu ({\mathbf {r} },t)}{\epsilon ({\mathbf {r} },t)}}}\,.\end{aligned}}}$

ในแง่ของฟังก์ชันเหล่านี้:

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{vh}}\,,\quad \mu ={\frac {h}{v}}}$.

ฟังก์ชันเหล่านี้ปรากฏในรูปแบบเมทริกซ์ผ่านอนุพันธ์ลอการิทึมของ ฟังก์ชันเหล่านั้น

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {u} }({\mathbf {r} },t)&={\frac {1}{2v({\mathbf {r} },t)}}{\mathbf {\nabla } }v({\mathbf {r} },t)={\frac {1}{2}}{\mathbf {\nabla } }\left\{\ln v({\mathbf {r} },t)\right\}=-{\frac {1}{2}}{\mathbf {\nabla } }\left\{\ln n({\mathbf {r} },t)\right\}\\{\mathbf {w} }({\mathbf {r} },t)&={\frac {1}{2h({\mathbf {r} },t)}}{\mathbf {\nabla } }h({\mathbf {r} },t)={\frac {1}{2}}{\mathbf {\nabla } }\left\{\ln h({\mathbf {r} },t)\right\}\,\end{aligned}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle n({\mathbf {r} },t)={\frac {c}{v({\mathbf {r} },t)}}}$

คือดัชนีหักเหของตัวกลาง

เมทริกซ์ต่อไปนี้เกิดขึ้นตามธรรมชาติในการแสดงเมทริกซ์ที่แม่นยำของสมการของแม็กซ์เวลล์ในตัวกลาง

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {\Sigma } }=\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {\sigma } }&{\mathbf {0} }\\{\mathbf {0} }&{\mathbf {\sigma } }\end{array}}\right]\,\qquad {\mathbf {\alpha } }=\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {0} }&{\mathbf {\sigma } }\\{\mathbf {\sigma } }&{\mathbf {0} }\end{array}}\right]\,\qquad {\mathbf {I} }=\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {1} }&{\mathbf {0} }\\{\mathbf {0} }&{\mathbf {1} }\end{array}}\right]\,\end{aligned}}}$

โดยที่Σคือเมทริกซ์สปินของ Diracและαคือเมทริกซ์ที่ใช้ในสมการ Diracและσคือสามเมทริกซ์ของ Pauli

${\displaystyle {\mathbf {\sigma } }=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})=\left[{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&-{\rm {i}}\\{\rm {i}}&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\right]}$

สุดท้าย การแสดงผลในรูปแบบเมทริกซ์คือ

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {I} }&{\mathbf {0} }\\{\mathbf {0} }&{\mathbf {I} }\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{array}}\right]-{\frac {{\dot {v}}({\mathbf {r} },t)}{2v({\mathbf {r} },t)}}\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {I} }&{\mathbf {0} }\\{\mathbf {0} }&{\mathbf {I} }\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{array}}\right]+{\frac {{\dot {h}}({\mathbf {r} },t)}{2h({\mathbf {r} },t)}}\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {0} }&{\rm {i}}\beta \alpha _{y}\\{\rm {i}}\beta \alpha _{y}&{\mathbf {0} }\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{array}}\right]\\&=-v({\mathbf {r} },t)\left[{\begin{array}{ccc}\left\{{\mathbf {M} }\cdot {\mathbf {\nabla } }+{\mathbf {\Sigma } }\cdot {\mathbf {u} }\right\}&&-{\rm {i}}\beta \left({\mathbf {\Sigma } }\cdot {\mathbf {w} }\right)\alpha _{y}\\-{\rm {i}}\beta \left({\mathbf {\Sigma } }^{*}\cdot {\mathbf {w} }\right)\alpha _{y}&\left\{{\mathbf {M} }^{*}\cdot {\mathbf {\nabla } }+{\mathbf {\Sigma } }^{*}\cdot {\mathbf {u} }\right\}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{array}}\right]-\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {I} }&{\mathbf {0} }\\{\mathbf {0} }&{\mathbf {I} }\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}W^{+}\\W^{-}\end{array}}\right]\,\end{aligned}}}$

แผนภาพข้างต้นประกอบด้วยเมทริกซ์ขนาด 8 × 8 จำนวนสิบสามเมทริกซ์ โดยสิบเมทริกซ์เป็น เมทริกซ์เฮอ ร์มิเชียนส่วนเมทริกซ์ที่เหลือเป็นเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยส่วนประกอบทั้งสามของw ( r , t ) ซึ่งเป็นค่าความชันเชิงลอการิทึมของฟังก์ชันความต้านทาน เมทริกซ์ทั้งสามนี้สำหรับฟังก์ชันความต้านทานเป็นเมทริกซ์แอนติเฮอร์มิเชียน

สมการของแม็กซ์เวลล์ได้รับการแสดงในรูปแบบเมทริกซ์สำหรับตัวกลางที่มีค่าสภาพยอมทางไฟฟ้า ε = ε( r , t ) และค่าสภาพซึมผ่านทางแม่เหล็ก μ = μ( r , t ) ที่แปรผันได้ โดยมีแหล่งกำเนิดอยู่ด้วย การแสดงผลนี้ใช้สมการเมทริกซ์เพียงสมการเดียว แทนที่จะ ใช้สมการเมทริกซ์ สองสมการ ในการแสดงผลนี้ โดยใช้เมทริกซ์ขนาด 8 × 8 ทำให้สามารถแยกความสัมพันธ์ของการเชื่อมต่อระหว่างส่วนประกอบบน (Ψ ⁺ ) และส่วนประกอบล่าง (Ψ ⁻ ) ผ่านฟังก์ชันห้องปฏิบัติการสองฟังก์ชันได้ ยิ่งไปกว่านั้น การแสดงผลเมทริกซ์ที่แม่นยำยังมีโครงสร้างพีชคณิตที่คล้ายกับสมการของดิแรกมาก^{[ 2 ]}สมการของแม็กซ์เวลล์สามารถได้มาจากการหลักการของแฟร์มาต์ เกี่ยว กับทัศนศาสตร์เชิง เรขาคณิต โดยกระบวนการ "การสร้างคลื่น" ที่คล้ายกับการหาปริมาณของกลศาสตร์คลาสสิก^{[ 7 ]}

หนึ่งในประโยชน์แรกๆ ของการใช้รูปแบบเมทริกซ์ของสมการของแม็กซ์เวลล์คือการศึกษาความสมมาตรบางประการ และความคล้ายคลึงกับสมการของดิแรก

รูปแบบเมทริกซ์ของสมการของแม็กซ์เวลล์ถูกใช้เป็นตัวเลือกสำหรับฟังก์ชันคลื่นโฟตอน^{[ 8 ]}

ในเชิงประวัติศาสตร์ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตนั้นอิงตามหลักการของแฟร์มาต์เรื่องเวลาที่น้อยที่สุดทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตสามารถได้มาอย่างสมบูรณ์จากสมการของแม็กซ์เวลล์ ซึ่งโดยทั่วไปจะทำโดยใช้สมการของเฮล์มโฮลทซ์ การ ได้มา ซึ่งสมการของเฮล์มโฮลทซ์จากสมการของแม็กซ์เวลล์เป็นการประมาณค่า เนื่องจากละเลยอนุพันธ์เชิงพื้นที่และเวลาของค่าสภาพยอมและสภาพซึมผ่านของตัวกลาง รูปแบบใหม่ของทัศนศาสตร์ลำแสงได้รับการพัฒนาขึ้น โดยเริ่มต้นจากสมการของแม็กซ์เวลล์ในรูปแบบเมทริกซ์: หน่วยเดียวที่ประกอบด้วยสมการของแม็กซ์เวลล์ทั้งสี่สมการ วิธีการดังกล่าวจะช่วยให้เข้าใจทัศนศาสตร์ลำแสงและโพลาไรเซชัน ได้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น ในลักษณะที่เป็นหนึ่งเดียว^{[ 9 ]} แฮมิลโทเนียนของทัศนศาสตร์ลำแสงที่ได้มาจากเมทริกซ์นี้มีโครงสร้างทางพีชคณิตที่คล้ายกับสมการของดิแรก มาก ทำให้สามารถใช้เทคนิค Foldy-Wouthuysenได้^{[ 10 ]}แนวทางนี้คล้ายคลึงกับแนวทางที่พัฒนาขึ้นสำหรับทฤษฎีควอนตัมของเลนส์ลำแสงอนุภาคประจุ^{[ 11 ]}