ในทางคณิตศาสตร์โพลีโทปของแมทรอยด์หรือที่เรียกว่าโพลีโทปฐานของแมทรอยด์ (หรือโพลีโทปฐาน ของ แมทรอยด์ ) เพื่อแยกแยะจากโพลีโทปอื่นๆ ที่ได้มาจากแมทรอยด์ คือโพลีโทปที่สร้างขึ้นโดยใช้ฐานของ แมทรอยด์ เมื่อกำหนดแมทรอยด์โพลีโทปของแมทรอยด์คือส่วนนูนของเวกเตอร์ตัวบ่งชี้ของฐานของแม ทรอยด์นั้น${\displaystyle M}$${\displaystyle P_{M}}$${\displaystyle M}$

ให้เป็นเมทริกซ์ที่มีสมาชิก โดยกำหนดฐานของเวก เตอร์บ่งชี้ของคือ ${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle B\subseteq \{1,\dots ,n\}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{B}:=\sum _{i\in B}\mathbf {e} _{i},}$

เวกเตอร์หน่วย มาตรฐานลำดับ ที่th ในคือโพลีโทปเมทริกซ์คือส่วนนูนของเซต ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle P_{M}}$

${\displaystyle \{\mathbf {e} _{B}\mid B{\text{ เป็นฐานของ }}M\}\subseteq \mathbb {R} ^{n}.}$

• ให้เป็นเมทริกซ์อันดับ 2 บนสมาชิก 4 ตัว โดยมีฐานเป็น${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}(M)=\{\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\}\}.}$

นั่นคือ เซตย่อย 2 องค์ประกอบทั้งหมดของ ยกเว้นเวกเตอร์ตัวบ่งชี้ที่สอดคล้องกันของคือ ${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$${\displaystyle \{3,4\}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(M)}$

${\displaystyle \{\{1,1,0,0\},\{1,0,1,0\},\{1,0,0,1\},\{0,1,1,0\},\{0,1,0,1\}\}.}$

โพลีโทปเมทริกซ์ของคือ${\displaystyle M}$

${\displaystyle P_{M}={\text{conv}}\{\{1,1,0,0\},\{1,0,1,0\},\{1,0,0,1\},\{0,1,1,0\},\{0,1,0,1\}\}.}$

จุดเหล่านี้ก่อให้เกิดรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า สี่รูป ที่จุด ดังนั้น ตามนิยามแล้วรูปทรงนูนของจุดนี้คือพีระมิดฐานสี่เหลี่ยม${\displaystyle \{1,1,0,0\}}$

• ให้เป็นเมทริกซ์อันดับ 2 บนสมาชิก 4 ตัว โดยมีฐานเป็นเซตย่อย2 สมาชิกของทั้งหมดโพลีโทปเมทริกซ์ที่สอดคล้องกันคือทรงแปดเหลี่ยมสังเกตว่าโพลีโทปจากตัวอย่างก่อนหน้านี้บรรจุอยู่ใน${\displaystyle N}$${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$${\displaystyle P_{N}}$${\displaystyle P_{M}}$${\displaystyle P_{N}}$
• ถ้าเป็นเมทริกซ์เอกรูปที่มีอันดับบนองค์ประกอบ เมทริกซ์โพลีโทปจะเป็นไฮเปอร์ซิมเพล็กซ์^{[ 1 ]}${\displaystyle M}$${\displaystyle r}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P_{M}}$${\displaystyle \Delta _{n}^{r}}$

• โพลีโทปของแมทรอยด์บรรจุอยู่ในไฮเปอร์ซิมเพล็กซ์ โดยที่คืออันดับของแมทรอยด์ที่เกี่ยวข้อง และคือขนาดของเซตพื้นฐานของแมทรอยด์ที่เกี่ยวข้อง^{[ 2 ]} ยิ่งไปกว่านั้น จุดยอดของเป็นเซตย่อยของจุดยอดของ${\displaystyle \Delta _{n}^{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P_{M}}$${\displaystyle \Delta _{n}^{r}}$
• ขอบทุกด้านของโพลีโทปแมทรอยด์เป็นการเลื่อนขนานของสำหรับบางเซตพื้นฐานของแมทรอยด์ที่เกี่ยวข้อง กล่าวอีกนัยหนึ่ง ขอบของสอดคล้องกับคู่ของฐานที่ตรงตามคุณสมบัติการแลกเปลี่ยนฐาน อย่างแม่นยำ : สำหรับบาง^{[ 2 ]}เนื่องจากคุณสมบัตินี้ ความยาวของขอบทุกด้านจึงเป็นรากที่สองของสองโดยทั่วไปแล้ว ตระกูลของเซตที่ส่วนนูนของเวกเตอร์ตัวบ่งชี้มีความยาวขอบหนึ่งหรือรากที่สองของสองคือเดลต้าแมทรอยด์${\displaystyle P_{M}}$${\displaystyle e_{i}-e_{j}}$${\displaystyle i,j\in E}$${\displaystyle P_{M}}$${\displaystyle B,B'}$${\displaystyle B'=B\setminus {i\cup j}}$${\displaystyle i,j\in E.}$
• โพลีโทป Matroid เป็น สมาชิกของตระกูลเพอร์มูโทเฮดราทั่วไป^{[ 3 ]}
• ให้ เป็นฟังก์ชันอันดับของ matroid โพลีโทป matroid สามารถเขียนได้อย่างไม่ซ้ำกันในรูปผลรวม Minkowski ที่มีเครื่องหมาย ของซิมเพล็กซ์ : ^{[ 3 ]}${\displaystyle r:2^{E}\rightarrow \mathbb {Z} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle P_{M}}$

${\displaystyle P_{M}=\sum _{A\subseteq E}{\tilde {\beta }}(M/A)\Delta _{EA}}$

โดยที่เป็นเซตพื้นฐานของแมทรอยด์และเป็นค่าคงที่เบตาแบบมีเครื่องหมายของ: ${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \beta (M)}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\tilde {\beta }}(M)=(-1)^{r(M)+1}\beta (M),}$

${\displaystyle \beta (M)=(-1)^{r(M)}\sum _{X\subseteq E}(-1)^{|X|}r(X).}$

${\displaystyle P_{M}:=\left\{{\textbf {x}}\in \mathbb {R} _{+}^{E}~|~\sum _{e\in U}{\textbf {x}}(e)\leq r(U),~\forall U\subseteq E,~\sum _{e\in E}{\textbf {x}}(e)=r\right\}}$

โพลีโทปอิสระของเมทริกซ์หรือโพลีโทปอิสระของเมทริกซ์คือส่วนนูนของเซต

${\displaystyle \{\,\mathbf {e} _{I}\mid I{\text{ เป็นเซตอิสระของ }}M\,\}\subseteq \mathbb {R} ^{n}.}$

โพลีโทปของเมทริกซ์ฐานเป็นหน้าหนึ่งของโพลีโทปเมทริกซ์อิสระ เมื่อกำหนดอันดับ ของเมทริกซ์แล้วโพ ลีโทปเมทริกซ์อิสระจะเท่ากับโพลีเมทริกซ์ที่กำหนดโดย${\displaystyle \psi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \psi }$

โพลีโทปแฟลกแมทรอยด์เป็นโพลีโทปอีกรูปแบบหนึ่งที่สร้างขึ้นจากฐานของแมทรอยด์แฟลก คือลำดับที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle F^{1}\subset F^{2}\subset \cdots \subset F^{m}\,}$

ของเซตจำกัด^{[ 4 ]}ให้เป็นจำนวนสมาชิกของเซตเมทริกซ์สองตัวและกล่าวได้ว่าสอดคล้องกันหากฟังก์ชันอันดับของเมทริกซ์ทั้งสองเป็นไปตามเงื่อนไข ${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle r_{M}(Y)-r_{M}(X)\leq r_{N}(Y)-r_{N}(X){\text{ for all }}X\subset Y\subseteq E.\,}$

กำหนดให้แมทรอยด์ที่สอดคล้องกันเป็นคู่ๆบนเซตพื้นฐานที่มีอันดับพิจารณาชุดของแฟล็กโดยที่เป็นฐานของแมทรอยด์และ ชุดของแฟล็กดังกล่าวเรียกว่าแมทรอยด์แฟล็กแมทรอยด์เหล่านี้ เรียกว่า ส่วนประกอบของสำหรับแต่ละแฟล็กในแมทรอยด์แฟล็กให้เป็นผลรวมของเวกเตอร์ตัวบ่งชี้ของแต่ละฐานใน${\displaystyle M_{1},\dots ,M_{m}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle r_{1}<\cdots <r_{m}}$${\displaystyle (B_{1},\dots ,B_{m})}$${\displaystyle B_{i}}$${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle B_{1}\subset \cdots \subset B_{m}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle M_{1},\dots ,M_{m}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle B=(B_{1},\dots ,B_{m})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle v_{B}}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle v_{B}=v_{B_{1}}+\cdots +v_{B_{m}}.\,}$

เมื่อกำหนดเมทริกซ์ธงแล้วโพลีโทปของเมทริกซ์ธงจะเป็นส่วนนูนของเซต ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle P_{\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \{v_{B}\mid B{\text{ is a flag in }}{\mathcal {F}}\}.}$

โพลีโทปของเมทริกซ์ธงสามารถเขียนเป็นผลรวมมินคอฟสกี้ของโพลีโทปเมทริกซ์ (ฐาน) ของเมทริกซ์องค์ประกอบได้: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle P_{\mathcal {F}}=P_{M_{1}}+\cdots +P_{M_{k}}.\,}$