ในทฤษฎีความน่าจะเป็น ทฤษฎีบทของแม็กซ์เวลล์ ( หรือที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทของเฮอร์เชล-แม็กซ์เวลล์และการพิสูจน์ของเฮอร์เชล-แม็กซ์เวลล์ ) กล่าวว่า ถ้าการแจกแจงความน่าจะเป็นของเวกเตอร์สุ่มไม่เปลี่ยนแปลงไปจากการหมุน และถ้าส่วนประกอบต่างๆ เป็นอิสระต่อกัน ส่วนประกอบเหล่านั้นจะมีการแจกแจงเหมือนกันและเป็นการแจกแจงแบบปกติ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ถ้าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มเวกเตอร์X = ( X , ..., X ) ^TเหมือนกับการแจกแจงของGXสำหรับทุกเมทริกซ์เชิงตั้งฉากn × n Gและส่วนประกอบเป็นอิสระต่อกันแล้วส่วนประกอบX , ..., X จะมีการแจกแจงแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเป็น 0 และมีความแปรปรวน เท่ากันทั้งหมด ทฤษฎีบทนี้เป็นหนึ่งในลักษณะเฉพาะ หลายประการ ของการแจกแจงแบบปกติ

การแจกแจงความน่าจะเป็นที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุนบน R ⁿที่มีส่วนประกอบที่เป็นอิสระมีเพียงการแจกแจงปกติแบบหลายตัวแปรที่มีค่าเฉลี่ย0และความแปรปรวนσ ² I (โดยที่I = เมทริกซ์เอกลักษณ์ n × n ) สำหรับจำนวนบวกσ ² บาง ค่า

จอห์น เฮอร์เชลพิสูจน์ทฤษฎีบทในปี พ.ศ. 2393 ^{[ 1 ] [ 2 ]}สิบปีต่อมาเจมส์ คลาร์ก แม็กซ์เวลล์พิสูจน์ทฤษฎีบทในข้อเสนอที่ 4 ของบทความของเขาในปี พ.ศ. 2303 ^{[ 3 ] [ 4 ]}

เราจำเป็นต้องพิสูจน์ทฤษฎีบทเฉพาะกรณี 2 มิติเท่านั้น เนื่องจากเราสามารถขยายทฤษฎีบทไปยัง n มิติได้โดยการนำทฤษฎีบทสำหรับ 2 มิติไปใช้กับพิกัดแต่ละคู่ตามลำดับ

เนื่องจากการหมุน 90 องศาช่วยรักษาการแจกแจงร่วมไว้และมีมาตรวัดความน่าจะเป็น เดียวกัน ดังนั้นให้เป็นถ้าเป็นการแจกแจงเดลต้าของ Diracที่ศูนย์ แล้วโดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันคือการกระจายแบบเกาส์เซียนที่เสื่อมสภาพ ตอนนี้เรามาสมมติว่าไม่ใช่การแจกแจงเดลต้าของ Dirac ที่ศูนย์ ${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$

โดยทฤษฎีบทการแยกส่วนของเลเบสเราสามารถแยกส่วน ออกเป็นผลรวมของการวัดปกติและการวัดอะตอมได้ . เราจำเป็นต้องแสดงว่า; เราจะดำเนินการโดยวิธีขัดแย้ง สมมติว่าประกอบด้วยส่วนอะตอม ดังนั้นจะมีบางค่าเช่นนั้นโดยความเป็นอิสระของตัวแปรเงื่อนไขมีการกระจายแบบเดียวกับสมมติว่า แล้วเนื่องจากเราสมมติว่าไม่กระจุกตัวอยู่ที่ศูนย์ ดังนั้นและดังนั้นรังสีคู่จึงมีความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์ ตอนนี้โดยสมมาตรการหมุนของการหมุนใดๆ ของรังสีคู่ก็มีความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์เช่นกัน และเนื่องจากการหมุนสองครั้งใดๆ ไม่ทับซ้อนกัน การรวมกันของการหมุนทั้งสองจึงมีความน่าจะเป็นอนันต์ ซึ่งเป็นข้อขัดแย้ง ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu =\mu _{r}+\mu _{s}}$${\displaystyle \mu _{s}=0}$${\displaystyle \mu _{s}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \mu _{s}(\{x\})>0}$${\displaystyle X_{1},X_{2}}$${\displaystyle X_{2}|\{X_{1}=x\}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle Pr(X_{2}\neq 0)>0}$${\displaystyle \{(x_{1},x_{2}):x_{1}=0,x_{2}\neq 0\}}$${\displaystyle \mu \times \mu }$

ให้มีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น; ปัญหาจะลดลงเหลือเพียงการแก้สมการเชิงฟังก์ชัน ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle \rho (x)\rho (y)=\rho (x\cos \theta +y\sin \theta )\rho (x\sin \theta -y\cos \theta )}$$

• Bryc, Wlodzimierz (1995). การแจกแจงแบบปกติ: ลักษณะเฉพาะและการประยุกต์ใช้ . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97990-8.
• เฟลเลอร์, วิลเลียม (1966). บทนำสู่ทฤษฎีความน่าจะเป็นและการประยุกต์ใช้เล่มที่ 2 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1). ไวลีย์. หน้า 187.
• Maxwell, James Clerk (1860). "ภาพประกอบทฤษฎีพลศาสตร์ของก๊าซ". วารสารปรัชญา . ชุดที่ 4. 19 : 390– 393.

• ทฤษฎีบทของแม็กซ์เวลล์ในวิดีโอโดย 3blue1brown