เพื่อดูการแยกกองทุนสองกองทุนในบริบทที่ไม่มีสินทรัพย์ปลอดความเสี่ยง โดยใช้พีชคณิตเมทริกซ์ให้กำหนด${\displaystyle \sigma ^{2}}$ให้ เป็นความแปรปรวนของผลตอบแทนของพอร์ตโฟลิโอ${\displaystyle \mu }$ให้ เป็นระดับผลตอบแทนที่คาดหวังของพอร์ตโฟลิโอที่ความแปรปรวนของผลตอบแทนของพอร์ตโฟลิโอจะลดลงเหลือน้อยที่สุด โดยขึ้นอยู่กับ ให้${\displaystyle r}$ให้ เป็นเวกเตอร์ของผลตอบแทนที่คาดหวังจากสินทรัพย์ที่มีอยู่${\displaystyle X}$ให้ เป็นเวกเตอร์ของจำนวนเงินที่จะนำไปลงทุนในสินทรัพย์ที่มีอยู่${\displaystyle W}$ให้เป็นจำนวนทรัพย์สินที่จะจัดสรรในพอร์ตการลงทุน และให้${\displaystyle 1}$ให้เวกเตอร์ที่มีค่าเป็นหนึ่งทั้งหมด จากนั้นปัญหาการลดความแปรปรวนของผลตอบแทนพอร์ตโฟลิโอให้เหลือน้อยที่สุดภายใต้ระดับผลตอบแทนพอร์ตโฟลิโอที่คาดหวังไว้ สามารถระบุได้ดังนี้

ลดขนาด${\displaystyle \sigma ^{2}}$

ขึ้นอยู่กับ

${\displaystyle X^{T}r=\mu }$

และ

${\displaystyle X^{T}1=W}$

โดยที่ตัวยก${\displaystyle ^{T}}$หมายถึง เมทริก ซ์สลับแถวและคอลัมน์ ความแปรปรวนของผลตอบแทนพอร์ตโฟลิโอในฟังก์ชันเป้าหมายสามารถเขียนได้ดังนี้${\displaystyle \sigma ^{2}=X^{T}VX,}$ที่ไหน${\displaystyle V}$คือ เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมบวกแน่นอนของผลตอบแทนของสินทรัพย์แต่ละรายการลากรางจ์สำหรับ ปัญหา การหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบมีข้อจำกัด นี้ (ซึ่งสามารถแสดงให้เห็นว่าเงื่อนไขอันดับสองเป็นไปตามที่กำหนด) คือ

${\displaystyle L=X^{T}VX+2\lambda (\mu -X^{T}r)+2\eta (WX^{T}1),}$

ด้วยตัวคูณลากรางจ์${\displaystyle \lambda }$และ${\displaystyle \eta }$สามารถแก้ปัญหานี้เพื่อหาเวกเตอร์ที่เหมาะสมที่สุดได้${\displaystyle X}$ของปริมาณสินทรัพย์โดยการกำหนดให้ค่าอนุพันธ์เทียบ กับศูนย์${\displaystyle X}$,${\displaystyle \lambda }$, และ${\displaystyle \eta }$โดยแก้เงื่อนไขอันดับแรก เป็นการชั่วคราว สำหรับ${\displaystyle X}$ในแง่ของ${\displaystyle \lambda }$และ${\displaystyle \eta }$โดยการแทนค่าลงในเงื่อนไขอันดับแรกอื่นๆ แล้วแก้หาค่า${\displaystyle \lambda }$และ${\displaystyle \eta }$ในแง่ของพารามิเตอร์ของแบบจำลอง และแทนค่ากลับเข้าไปในคำตอบชั่วคราวสำหรับ${\displaystyle X}$ผลลัพธ์คือ

${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }={\frac {W}{\Delta }}[(r^{T}V^{-1}r)V^{-1}1-(1^{T}V^{-1}r)V^{-1}r]+{\frac {\mu }{\Delta }}[(1^{T}V^{-1}1)V^{-1}r-(r^{T}V^{-1}1)V^{-1}1]}$

ที่ไหน

${\displaystyle \Delta =(r^{T}V^{-1}r)(1^{T}V^{-1}1)-(r^{T}V^{-1}1)^{2}>0.}$

เพื่อให้ง่ายต่อการเขียน สามารถเขียนให้กระชับยิ่งขึ้นได้ดังนี้

${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu }$

ที่ไหน${\displaystyle \alpha }$และ${\displaystyle \beta }$เวกเตอร์พารามิเตอร์เหล่านี้อิงตามพารามิเตอร์ของแบบจำลองพื้นฐาน ทีนี้ลองพิจารณาพอร์ตโฟลิโอที่มีประสิทธิภาพตามมาตรฐานสองพอร์ตโฟลิโอที่สร้างขึ้นโดยอิงจากผลตอบแทนที่คาดหวังตามมาตรฐาน${\displaystyle \mu _{1}}$และ${\displaystyle \mu _{2}}$และด้วยเหตุนี้จึงได้รับโดย

${\displaystyle X_{1}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{1}}$

และ

${\displaystyle X_{2}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{2}.}$

พอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด ณ จุดใดจุดหนึ่ง${\displaystyle \mu _{3}}$จากนั้นสามารถเขียนได้เป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของ${\displaystyle X_{1}^{\คณิตศาสตร์ {opt} }}$และ${\displaystyle X_{2}^{\คณิตศาสตร์ {opt} }}$ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle X_{3}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{3}={\frac {\mu _{3}-\mu _{2}}{\mu _{1}-\mu _{2}}}X_{1}^{\mathrm {opt} }+{\frac {\mu _{1}-\mu _{3}}{\mu _{1}-\mu _{2}}}X_{2}^{\mathrm {opt} }.}$

สมการนี้พิสูจน์ทฤษฎีการแยกกองทุนสองกองสำหรับการวิเคราะห์ค่าเฉลี่ย-ความแปรปรวน สำหรับการตีความเชิงเรขาคณิต โปรดดูที่บทความของ Markowitz

หาก มี สินทรัพย์ที่ปราศจากความเสี่ยงทฤษฎีการแยกกองทุนสองกองทุนก็ยังคงใช้ได้อยู่ แต่ในกรณีนี้ กองทุนหนึ่งสามารถเลือกให้เป็นกองทุนที่เรียบง่ายมาก โดยมีเฉพาะสินทรัพย์ที่ปราศจากความเสี่ยง และอีกกองทุนหนึ่งสามารถเลือกให้เป็นกองทุนที่ไม่มีการถือครองสินทรัพย์ที่ปราศจากความเสี่ยงเลย (โดยที่สินทรัพย์ที่ปราศจากความเสี่ยงเรียกว่า "เงิน" ทฤษฎีในรูปแบบนี้จึงเรียกว่าทฤษฎีการแยกเงิน ) ดังนั้น พอร์ตโฟลิโอที่มีประสิทธิภาพตามค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนสามารถสร้างขึ้นได้ง่ายๆ โดยการรวมกันของการถือครองสินทรัพย์ที่ปราศจากความเสี่ยงและการถือครองกองทุนที่มีประสิทธิภาพเฉพาะเจาะจงซึ่งมีเฉพาะสินทรัพย์ที่มีความเสี่ยง อย่างไรก็ตาม การพิสูจน์ข้างต้นใช้ไม่ได้ เนื่องจากเมื่อมีสินทรัพย์ที่ปราศจากความเสี่ยง เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของผลตอบแทนสินทรัพย์ทั้งหมดข้างต้น...${\displaystyle V}$จะมีแถวหนึ่งและคอลัมน์หนึ่งเป็นศูนย์ ดังนั้นจึงไม่สามารถหาเมทริกซ์ผกผันได้ แทนที่จะเป็นเช่นนั้น ปัญหาสามารถตั้งได้ดังนี้

ลดขนาด${\displaystyle \sigma ^{2}}$

ขึ้นอยู่กับ

${\displaystyle (WX^{T}1)r_{f}+X^{T}r=\mu ,}$

ที่ไหน${\displaystyle r_{f}}$คือผลตอบแทนที่ทราบแล้วของสินทรัพย์ที่ปราศจากความเสี่ยง${\displaystyle X}$ขณะนี้คือเวกเตอร์ของปริมาณที่จะถือครองใน สินทรัพย์ เสี่ยงและ${\displaystyle r}$คือเวกเตอร์ของผลตอบแทนที่คาดหวังจากสินทรัพย์ที่มีความเสี่ยง ด้านซ้ายของสมการสุดท้ายคือผลตอบแทนที่คาดหวังของพอร์ตโฟลิโอ เนื่องจาก${\displaystyle (WX^{T}1)}$คือปริมาณที่ถือครองอยู่ในสินทรัพย์ที่ปราศจากความเสี่ยง ดังนั้นจึงรวมเอาข้อจำกัดการเพิ่มมูลค่าสินทรัพย์เข้าไปด้วย ซึ่งในปัญหาเดิมนั้นจำเป็นต้องรวมข้อจำกัดแบบลากรางจ์แยกต่างหาก ฟังก์ชันเป้าหมายสามารถเขียนได้ดังนี้${\displaystyle \sigma ^{2}=X^{T}VX}$แล้วตอนนี้ล่ะ${\displaystyle V}$คือเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของสินทรัพย์เสี่ยงเท่านั้น ปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดนี้สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์การถือครองสินทรัพย์เสี่ยงที่เหมาะสมที่สุด

${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }={\frac {(\mu -Wr_{f})}{(r-1r_{f})^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}V^{-1}(r-1r_{f}).}$

แน่นอนว่านี่จะเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ถ้า${\displaystyle \mu =Wr_{f}}$ผลตอบแทนของพอร์ตโฟลิโอที่ปราศจากความเสี่ยง ซึ่งในกรณีนี้ความมั่งคั่งทั้งหมดจะถูกถือครองอยู่ในสินทรัพย์ที่ปราศจากความเสี่ยง สามารถแสดงได้ว่าพอร์ตโฟลิโอที่มีการถือครองสินทรัพย์ที่ปราศจากความเสี่ยงเป็นศูนย์เกิดขึ้นที่${\displaystyle \mu ={\tfrac {Wr^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}{1^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}}$และได้รับจาก

${\displaystyle X^{*}={\frac {W}{1^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}V^{-1}(r-1r_{f}).}$

นอกจากนี้ยังสามารถแสดงให้เห็นได้ (ในทำนองเดียวกันกับการสาธิตในกรณีสองกองทุนรวมข้างต้น) ว่าเวกเตอร์สินทรัพย์เสี่ยงของพอร์ตโฟลิโอทุกพอร์ต (นั่นคือ${\displaystyle X^{\คณิตศาสตร์ {opt} }}$สำหรับทุกค่าของ${\displaystyle \mu }$) สามารถสร้างขึ้นได้จากการรวมกันแบบถ่วงน้ำหนักของเวกเตอร์หลังและเวกเตอร์ศูนย์ สำหรับการตีความทางเรขาคณิต โปรดดูเส้นขอบประสิทธิภาพที่ไม่มีสินทรัพย์ปลอดความเสี่ยง