ในทางคณิตศาสตร์ข้อสันนิษฐานของเมอร์เซนน์เกี่ยวข้อง กับการจำแนกลักษณะของ จำนวนเฉพาะชนิดหนึ่งที่เรียกว่าจำนวนเฉพาะเมอร์เซนน์ซึ่งหมายถึงจำนวนเฉพาะที่เป็นกำลังของสองลบหนึ่ง

เดิมทีเรียกว่าสมมติฐานของเมอร์เซนน์ซึ่งเป็นข้อความของมาริน เมอร์เซนน์ในหนังสือCogitata Physico-Mathematica (ค.ศ. 1644; ดูเช่น Dickson 1919) ที่ระบุว่าจำนวนn = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 และ 257 เป็นจำนวนเฉพาะ (ลำดับ A109461ในOEIS ) และเป็นจำนวนประกอบ สำหรับ จำนวนเต็มบวกอื่นๆn ≤ 257 รายการเจ็ดรายการแรกในรายการของเขา ( สำหรับn = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19) ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นจำนวนเฉพาะโดยการหารแบบทดลองก่อนยุคของเมอร์เซนน์^{[ 1 ]}มีเพียงรายการสี่รายการสุดท้ายเท่านั้นที่เป็นข้ออ้างใหม่ของเมอร์เซนน์ เนื่องจากขนาดของตัวเลขสุดท้ายเหล่านั้น เมอร์เซนน์จึงไม่สามารถทดสอบตัวเลขทั้งหมดได้ และเพื่อนร่วมงานของเขาในศตวรรษที่ 17 ก็ไม่สามารถทำได้เช่นกัน ในที่สุด หลังจากผ่านไปสามศตวรรษและเมื่อมีเทคนิคใหม่ๆ เช่น การทดสอบลูคัส-เลห์เมอร์ก็ได้มีการสรุปว่าข้อสันนิษฐานของเมอร์เซนน์มีข้อผิดพลาดห้าประการ กล่าวคือ ตัวเลขสองตัวเป็นจำนวนประกอบ (ตัวเลขที่สอดคล้องกับจำนวนเฉพาะn = 67, 257) และตัวเลขจำนวนเฉพาะสามตัวหายไป (ตัวเลขที่สอดคล้องกับจำนวนเฉพาะn = 61, 89, 107) รายการที่ถูกต้องสำหรับn ≤ 257 คือ: n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 และ 127 ${\displaystyle 2^{n}-1}$${\displaystyle 2^{n}-1}$

แม้ว่าสมมติฐาน ดั้งเดิมของเมอร์เซนน์ จะไม่ถูกต้อง แต่ก็อาจนำไปสู่สมมติฐานเมอร์เซนน์ใหม่ได้

สมมติฐานเมอร์เซนใหม่หรือสมมติฐานเบทแมน เซลฟริดจ์ และแวกสตาฟ (Bateman et al. 1989) กล่าวว่า สำหรับจำนวนธรรมชาติคี่p ใดๆ ถ้าเงื่อนไขสองข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง เงื่อนไขข้อที่สามก็จะเป็นจริงด้วยเช่นกัน:

1. p = 2k ^± 1 หรือp = ^4k ± 3 สำหรับจำนวนธรรมชาติk บางจำนวน ((ลำดับA122834ในOEIS ))
2. 2p − ¹เป็นจำนวนเฉพาะ ( จำนวนเฉพาะเมอร์เซนน์ ) ((ลำดับA000043ในOEIS ))
3. (2 ^p  + 1)/3 เป็นจำนวนเฉพาะ ( จำนวนเฉพาะของ Wagstaff ) ((ลำดับA000978ในOEIS ))

ถ้าpเป็นจำนวนประกอบคี่ แล้ว 2p − 1 และ (2p + 1)/3 ต่าง^ก็  เป็น^{จำนวน}  ประกอบ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องตรวจสอบเฉพาะจำนวนเฉพาะเพื่อยืนยันความจริงของข้อสันนิษฐานนี้

ปัจจุบัน มีจำนวนที่ทราบแล้วเก้าจำนวนที่ตรงตามเงื่อนไขทั้งสามข้อ ได้แก่ 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 127 (ลำดับA107360ในOEIS ) Bateman และคณะคาดการณ์ว่าไม่มีจำนวนใดที่มากกว่า 127 ที่ตรงตามเงื่อนไขทั้งสามข้อ และแสดงให้เห็นว่าโดยวิธีการเชิงอนุมานแล้ว ไม่มีจำนวนใดที่มากกว่านั้นที่จะตรงตามเงื่อนไขสองข้อ ซึ่งจะทำให้สมมติฐานเมอร์เซนใหม่เป็นจริงโดยปริยาย

ถ้าอย่างน้อยหนึ่งในจำนวนเมอร์เซนคู่ MM61 และ MM127 เป็นจำนวนเฉพาะ สมมติฐานเมอร์เซนใหม่จะเป็นเท็จ เนื่องจากทั้ง M61 และ M127 ตรงตามเงื่อนไขแรก (เพราะเป็นจำนวนเฉพาะเมอร์เซนเอง) แต่ (2^M61+1)/3 และ (2^M127+1)/3 เป็นจำนวนประกอบทั้งคู่ และหารลงตัวด้วย 1328165573307087715777 และ 886407410000361345663448535540258622490179142922169401 ตามลำดับ

ณ ปี 2025 จำนวนเฉพาะเมอร์เซนทั้งหมดจนถึง 2 ^57885161 − 1 เป็นที่รู้จักแล้ว และไม่มีจำนวนเฉพาะใดที่เงื่อนไขแรกหรือเงื่อนไขที่สามเป็นจริง ยกเว้นจำนวนเฉพาะที่กล่าวถึงข้างต้น^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} จำนวนเฉพาะที่ตรงตามเงื่อนไขอย่างน้อยหนึ่งข้อคือ

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 67, 79, 89, 101, 107, 127, 167, 191, 199, 257, 313, 347, 521, 607, 701, 1021, 1279, 1709, 2203, 2281, 2617, 3217, 3539, 4093, 4099, 4253, 4423, 5807, 8191, 9689, 9941, ... (ลำดับA120334ในOEIS )

โปรดสังเกตว่าจำนวนเฉพาะสองจำนวนที่สมมติฐานเดิมของเมอร์เซนน์เป็นเท็จ (67 และ 257) นั้นตรงตามเงื่อนไขแรกของสมมติฐานใหม่ (67 = 4³ ⁺ 3, 257 = 2⁸ ⁺ 1) แต่จำนวนเฉพาะอีกสองจำนวนไม่ตรงตามเงื่อนไขดังกล่าว ส่วนจำนวนเฉพาะ 89 และ 107 ซึ่งเมอร์เซนน์มองข้ามไปนั้น ตรงตามเงื่อนไขที่สอง แต่จำนวนเฉพาะอีกสองจำนวนไม่ตรงตามเงื่อนไขดังกล่าว เมอร์เซนน์อาจคิดว่า 2p ⁻ 1 เป็นจำนวนเฉพาะก็ต่อเมื่อp = 2k ^± 1 หรือp = 4k ^± 3 สำหรับจำนวนธรรมชาติk บางจำนวน แต่ถ้าเขาคิดว่าเป็น " ก็ต่อเมื่อ " เขาคงจะรวม 61 เข้าไปด้วย

อาจมองได้ว่าข้อสันนิษฐานเมอร์เซนใหม่เป็นการพยายามกอบกู้ข้อสันนิษฐานเมอร์เซนที่มีมานานหลายศตวรรษ ซึ่งเป็นเท็จ อย่างไรก็ตาม ตามที่โรเบิร์ต ดี. ซิลเวอร์แมนกล่าว ไว้ จอห์น เซลฟริดจ์เห็นด้วยว่าข้อสันนิษฐานเมอร์เซนใหม่นั้น "เป็นจริงอย่างเห็นได้ชัด" เนื่องจากถูกเลือกให้สอดคล้องกับข้อมูลที่ทราบ และตัวอย่างค้าน นอกเหนือจากกรณีเหล่านั้นมีโอกาสน้อยมาก อาจมองได้ว่าเป็นเพียงข้อสังเกตที่น่าสนใจมากกว่าเป็นคำถาม เปิด ที่ต้องพิสูจน์

Prime Pagesแสดงให้เห็นว่าข้อสันนิษฐานเมอร์เซนใหม่เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 10000000 ^{[ 2 ]}โดยการแสดงรายการจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ทราบอยู่แล้วว่าเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งเป็นจริง ในความเป็นจริง ปัจจุบันเป็นที่ทราบกันดีว่าข้อสันนิษฐานเมอร์เซนใหม่เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับขีดจำกัดการค้นหาจำนวนเฉพาะเมอร์เซนในปัจจุบัน (ดูหน้านี้สำหรับขีดจำกัดการค้นหาจำนวนเฉพาะเมอร์เซนในปัจจุบัน) นอกจากนี้ ปัจจุบันยังเป็นที่ทราบกันดีว่าข้อสันนิษฐานเมอร์เซนใหม่เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มทั้งหมดที่น้อยกว่า 1073741827 ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขข้อแรก และปัจจุบันยังเป็นที่ทราบกันดีว่าข้อสันนิษฐานเมอร์เซนใหม่เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มที่ทราบทั้งหมดซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขข้อที่สองหรือข้อที่สาม^{[ 3 ] [ 4 ]}

Lenstra , PomeranceและWagstaffได้ตั้งข้อสันนิษฐานว่ามีจำนวนเฉพาะเมอร์เซนน์อยู่ เป็นอนันต์ และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนของจำนวนเฉพาะเมอร์เซนน์ที่น้อยกว่าx นั้น สามารถ ประมาณค่า ได้ในเชิงอะซิม โทติก โดย

${\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{2}\log _{2}(x),}$^{[ 7 ]}

โดยที่ γ คือค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเชโรนีกล่าวอีกนัยหนึ่ง จำนวนของจำนวนเฉพาะเมอร์เซนน์ที่มีเลขชี้กำลังpน้อยกว่าyนั้นมีนัยสำคัญเชิงอะซิมโทติก

${\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{2}(y).}$^{[ 7 ]}

หมายความว่าโดยเฉลี่ยแล้วควรจะมี จำนวนเฉพาะ p ประมาณ ≈ 5.92 ตัวที่มีจำนวนหลักทศนิยมที่กำหนดซึ่ง p เป็นจำนวนเฉพาะ การคาดการณ์ค่อนข้างแม่นยำสำหรับจำนวนเฉพาะเมอร์เซนน์ 40 ตัวแรก (จนถึง 2 ^20,996,011 ) แต่ระหว่าง 2 ^20,000,000และ 2 ^85,000,000มีอย่างน้อย 12 ตัว^{[ 8 ]}แทนที่จะเป็นจำนวนที่คาดไว้ซึ่งอยู่ที่ประมาณ 3.7 ${\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{2}(10)}$${\displaystyle M_{p}}$

โดยทั่วไปแล้ว จำนวนของจำนวนเฉพาะp ≤ yที่ทำให้ เป็นจำนวนเฉพาะ (โดยที่aและbเป็น จำนวนเต็มที่ไม่มีตัวหาร ร่วมกัน , a > 1, −a < b < a , a และ b ไม่ใช่กำลังr สมบูรณ์ทั้งคู่ สำหรับจำนวนธรรมชาติr  > 1 ใดๆ และ −4ab ไม่ใช่กำลังสี่สมบูรณ์) มีค่าโดยประมาณเท่ากับ ${\displaystyle {\frac {a^{p}-b^{p}}{ab}}}$

${\displaystyle (e^{\gamma }+m\cdot \log _{e}(2))\cdot \log _{a}(y).}$

โดยที่mคือจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบที่มากที่สุดซึ่งaและ −b ต่างก็เป็นกำลัง 2m ที่สมบูรณ์แบบ^กรณีของจำนวนเฉพาะเมอร์เซนน์เป็นกรณีหนึ่งของ ( a ,  b ) = (2, 1)

• ข้อสันนิษฐานของกิลลีส์เกี่ยวกับการกระจายตัวของจำนวนตัวประกอบเฉพาะของจำนวนเมอร์เซนน์
• การทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะของลูคัส-เลห์เมอร์
• การทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะของลูคัส
• การคาดเดาของเมอร์เซนน์ของคาตาลัน
• กฎของเมอร์เซนน์

• อภิธานศัพท์เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะเมอร์เซนใหม่