ตัวอย่างค้านคือตัวอย่างเฉพาะที่ขัดแย้งกับข้ออ้างสมมติฐานหรือการสรุปทั่วไปในตรรกศาสตร์ตัวอย่างค้านจะหักล้างข้ออ้างที่กล่าวไว้โดยทั่วไป และทำเช่นนั้นอย่างเข้มงวดในสาขาคณิตศาสตร์และปรัชญา^{[ 1 ]} ตัวอย่างเช่น ข้อความที่ว่า "นักเรียนจอห์น สมิธ ไม่ขี้เกียจ" เป็นตัวอย่างค้านต่อการสรุปทั่วไปที่ว่า "นักเรียนขี้เกียจ" และ เป็นทั้งตัวอย่างค้านและการหักล้างต่อข้อสรุปโดยทั่วไป ที่ว่า "นักเรียนทุกคนขี้เกียจ" ^{[ 2 ]}

ในทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างค้านมักถูกใช้เพื่อพิสูจน์ขอบเขตของทฤษฎีบทที่เป็นไปได้ โดยการใช้ตัวอย่างค้านเพื่อแสดงว่าสมมติฐานบางอย่างเป็นเท็จ นักวิจัยทางคณิตศาสตร์จึงสามารถหลีกเลี่ยงการเดินไปในทางตันและเรียนรู้ที่จะปรับเปลี่ยนสมมติฐานเพื่อสร้างทฤษฎีบทที่พิสูจน์ได้ บางครั้งมีการกล่าวว่าการพัฒนาทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วยการค้นหา (และพิสูจน์) ทฤษฎีบทและตัวอย่างค้านเป็นหลัก^{[ 3 ]}

ในทางปรัชญาตัวอย่างค้านมักถูกใช้เพื่อโต้แย้งว่าจุดยืนทางปรัชญาบางอย่างผิด โดยแสดงให้เห็นว่าจุดยืนนั้นใช้ไม่ได้ในบางกรณี หรืออีกทางหนึ่ง นักปรัชญาคนแรกอาจปรับเปลี่ยนข้ออ้างของตนเพื่อให้ตัวอย่างค้านใช้ไม่ได้อีกต่อไป ซึ่งคล้ายคลึงกับกรณีที่นักคณิตศาสตร์ปรับเปลี่ยนข้อสันนิษฐานของตนเนื่องจากตัวอย่างค้าน

ตัวอย่างเช่น ในGorgiasของเพลโต คัลลิเคิลส์โต้แย้งว่าผู้ที่มีร่างกายแข็งแรงกว่าหรือมีความสามารถมากกว่าย่อมมีสิทธิ์ปกครองเหนือผู้ที่อ่อนแอกว่า โซคราตีสตอบโต้โดยเสนอว่าจำนวนคนธรรมดาทั่วไปจำนวนมาก ด้วยความแข็งแกร่งที่รวมกัน อาจถือได้ว่า "แข็งแกร่งกว่า" ชนชั้นสูงเพียงไม่กี่คน แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วมวลชนจะมีลักษณะนิสัยที่แย่กว่าก็ตาม นี่เป็นตัวอย่างค้านข้ออ้างของคัลลิเคิลส์ โดยเปลี่ยนแนวคิดเรื่องความแข็งแกร่งจากความเหนือกว่าของแต่ละบุคคลไปสู่พลังอำนาจโดยรวม ดังนั้น ข้อโต้แย้งของคัลลิเคิลส์จึงล้มเหลวภายใต้การตีความทางเลือกนี้ เว้นแต่เขาจะแก้ไขข้ออ้างของเขา^{[ 6 ]}

คาลลิเคิลส์อาจโต้แย้งตัวอย่างค้านของโสกราตีส โดยอาจกล่าวว่าสามัญชนนั้นดีกว่าขุนนาง หรือแม้จะมีจำนวนมาก แต่ก็ไม่ได้แข็งแกร่งกว่า แต่ถ้าคาลลิเคิลส์ยอมรับตัวอย่างค้านนั้น เขาก็ต้องถอนคำกล่าวอ้างของตน หรือแก้ไขคำกล่าวอ้างนั้นเพื่อให้ตัวอย่างค้านนั้นใช้ไม่ได้อีกต่อไป เช่น เขาอาจแก้ไขคำกล่าวอ้างให้หมายถึงเฉพาะบุคคล ซึ่งทำให้เขาต้องคิดถึงสามัญชนในฐานะกลุ่มของบุคคลแต่ละคน ไม่ใช่ในฐานะฝูงชน แต่ในความเป็นจริง เขาแก้ไขคำกล่าวอ้างโดยใช้คำว่า "ฉลาดกว่า" แทน "แข็งแกร่งกว่า" โดยโต้แย้งว่าจำนวนที่มากกว่าไม่สามารถทำให้คนฉลาดขึ้นได้

• ความขัดแย้ง
• ข้อยกเว้นที่พิสูจน์กฎ
• ตัวอย่างค้านขั้นต่ำ

• อิมเร ลากาตอส , บทพิสูจน์และการหักล้าง (1976) สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ISBN 0521290384
• เจมส์ แฟรงคลินและ อัลเบิร์ต ดาวูด (2011) การพิสูจน์ในคณิตศาสตร์: บทนำคิว ซิดนีย์ISBN 978-0-646-54509-7บทที่ 6
• Lynn Arthur SteenและJ. Arthur Seebach, Jr. (1978) ตัวอย่างค้านในโทโพโลยี Springer, นิวยอร์กISBN 0-486-68735-X.
• Joseph P. Romano และ Andrew F. Siegel (1986) ตัวอย่างค้านในความน่าจะเป็นและสถิติ Chapman & Hall, นิวยอร์ก, ลอนดอนISBN 0-412-98901-8.
• Gary L. Wise และ Eric B. Hall (1993) ตัวอย่างค้านในความน่าจะเป็นและการวิเคราะห์เชิงจริงสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด นิวยอร์กISBN 0-19-507068-2.
• Bernard R. Gelbaum , John MH Olmsted (2003) ตัวอย่างค้านในการวิเคราะห์พิมพ์ซ้ำแก้ไขจากฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง (1965) สำนักพิมพ์ Dover Publications, Mineola, NY ISBN 0-486-42875-3.
• Jordan M. Stoyanov (1997) ตัวอย่างค้านในความน่าจะเป็นฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง Wiley, Chichester ISBN 0-471-96538-3.
• Michael Copobianco & John Mulluzzo (1978) ตัวอย่างและตัวอย่างค้านในทฤษฎีกราฟ สำนักพิมพ์ Elsevier North-Holland ISBN 0-444-00255-3.

• คำคมที่เกี่ยวข้องกับตัวอย่างค้านใน Wikiquote