ในทางคณิตศาสตร์เซตก่อกำเนิด Γ ของโมดูลMเหนือริงRคือเซตย่อยของMโดยที่โมดูลย่อย ที่เล็กที่สุด ของMที่บรรจุ Γ คือMเอง (โมดูลย่อยที่เล็กที่สุดที่บรรจุเซตย่อยคือจุดตัดของโมดูลย่อยทั้งหมดที่บรรจุเซตนั้น) เซต Γ จึงเรียกว่าเซตก่อกำเนิดMตัวอย่างเช่น ริงRก่อกำเนิดโดยสมาชิกเอกลักษณ์ 1 ในฐานะโมดูลซ้ายของRเหนือตัวมันเอง ถ้ามี เซตก่อกำเนิด จำกัดโมดูลนั้นจะเรียกว่าโมดูล ที่ก่อกำเนิดโดย เซต จำกัด

หลักการ นี้ใช้ได้กับไอเดียลซึ่งเป็นโมดูลย่อยของริงเอง โดยเฉพาะอย่างยิ่งไอเดียลหลักคือไอเดียลที่มีเซตก่อกำเนิดประกอบด้วยสมาชิกเพียงตัวเดียว

กล่าวอย่างชัดเจน ถ้า Γ เป็นเซตก่อกำเนิดของโมดูลMแล้ว สมาชิกทุกตัวของMจะเป็น ผลรวมเชิงเส้น R (จำกัด) ของสมาชิกบางตัวของ Γ กล่าวคือ สำหรับแต่ละxในMจะมีr , ..., r ในRและg , ..., g ใน Γ เช่นนั้น

${\displaystyle x=r_{1}g_{1}+\cdots +r_{m}g_{m}.}$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีการส่งแบบทั่วถึง (surjection)

${\displaystyle \bigoplus _{g\in \Gamma }R\to M,\,r_{g}\mapsto r_{g}g,}$

โดยที่เราเขียนr แทนองค์ประกอบใน ส่วนประกอบที่ gของผลรวมโดยตรง (โดยบังเอิญ เนื่องจากเซตตัวสร้างมีอยู่เสมอ เช่นMเอง สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าโมดูลเป็นผลหารของโมดูลอิสระซึ่งเป็นข้อเท็จจริงที่มีประโยชน์)

เซตตัวสร้างของโมดูลจะเรียกว่าเป็นเซตขั้นต่ำหากไม่มีเซตย่อยที่แท้จริงของเซตนั้นสร้างโมดูลได้ ถ้าRเป็นฟิลด์เซตตัวสร้างขั้นต่ำก็คือสิ่งเดียวกันกับฐานเว้นแต่ว่าโมดูลจะถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดอาจไม่มีเซตตัวสร้างขั้นต่ำ^{[ 1 ]}

จำนวนสมาชิกของเซตตัวสร้างขั้นต่ำไม่จำเป็นต้องเป็นค่าคงที่ของโมดูลเสมอไปZถูกสร้างขึ้นเป็นไอเดียลหลักโดย 1 แต่ก็ถูกสร้างขึ้นโดยเซตตัวสร้างขั้นต่ำ เช่น{2, 3 } ด้วยเช่นกัน สิ่งที่ถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงโดยโมดูลคือค่าต่ำสุดของจำนวนตัวสร้างของโมดูลนั้น

ให้Rเป็นริงเฉพาะที่ที่มีไอเดียลสูงสุดmและฟิลด์เศษเหลือkและMเป็นโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดทฤษฎีบทของนาคายามะกล่าวว่าMมีเซตตัวสร้างขั้นต่ำที่มีขนาดเท่ากับถ้าMเป็นริงแบนราบ เซตตัวสร้างขั้นต่ำนี้จะเป็นอิสระเชิงเส้น (ดังนั้นMเป็นริงอิสระ) ดูเพิ่มเติมที่: การแก้ ปัญหา ขั้นต่ำ${\displaystyle \dim _{k}M/mM=\dim _{k}M\otimes _{R}k}$

หากพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างตัวสร้างต่างๆ จะได้ข้อมูลที่ละเอียดกว่า โปรดดูที่ การนำเสนอโมดูลแบบอิสระ

• โมดูลที่สร้างขึ้นนับได้
• โมดูลแบน
• หมายเลขฐานคงที่