เครื่องบินมูฟาง
ในทางเรขาคณิตระนาบมูฟาง (Moufang plane ) ซึ่งตั้งชื่อตามรูธ มูฟาง (Ruth Moufang ) เป็น ระนาบเชิงโปรเจกทีฟชนิดหนึ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็น ระนาบการเลื่อนชนิดพิเศษระนาบการเลื่อนคือระนาบเชิงโปรเจกทีฟที่มีเส้นเลื่อนนั่นคือเส้นที่มีคุณสมบัติว่ากลุ่มออโตมอร์ฟิซึมที่ตรึงทุกจุดบนเส้นนั้นกระทำการทรานซิทีฟกับจุดบนระนาบที่ไม่ได้อยู่บนเส้นนั้น[ 1 ]ระนาบการเลื่อนเป็นระนาบมูฟาง ถ้าทุกเส้นบนระนาบเป็นเส้นเลื่อน[ 2 ]
ลักษณะเฉพาะ
ระนาบมูฟางยังสามารถอธิบายได้ว่าเป็นระนาบเชิงฉายซึ่งทฤษฎีบทเดซาร์กส์เล็ก ๆเป็นจริง[ 3 ]ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่ารูปแบบที่จำกัดของทฤษฎีบทเดซาร์กส์เป็นจริงสำหรับทุกเส้นในระนาบ[ 4 ] ตัวอย่างเช่นระนาบเดซาร์กส์ทุกระนาบเป็นระนาบมูฟาง[ 5 ]
ในแง่ของพีชคณิต ระนาบเชิงโปรเจกทีฟเหนือวงแหวนการหารทางเลือก ใดๆ ก็ คือระนาบมูฟาง[ 6 ]และสิ่งนี้ทำให้เกิดการจับคู่แบบ 1:1 ระหว่างชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของวงแหวนการหารทางเลือกและของระนาบมูฟาง
ผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทArtin–Zorn ทางพีชคณิตที่ว่าวงแหวนการหารสลับจำกัดทุกวงเป็นฟิลด์ ระนาบ Moufang จำกัดทุกระนาบจึงเป็น Desarguesian แต่ระนาบ Moufang อนันต์บางระนาบไม่ใช่ระนาบ Desarguesianโดยเฉพาะอย่างยิ่งระนาบ Cayleyซึ่งเป็นระนาบเชิงโปรเจกทีฟ Moufang อนันต์เหนืออ็อกโท เนียน เป็นหนึ่งในนั้นเพราะอ็อกโทเนียนไม่ก่อให้เกิดวงแหวนการหาร[ 7 ]
คุณสมบัติ
เงื่อนไขต่อไปนี้บนระนาบเชิงโปรเจกทีฟPเทียบเท่ากัน: [ 8 ]
- Pคือเครื่องบินมูฟาง (Moufang plane)
- กลุ่มของออโตมอร์ฟิซึมที่ตรึงจุดทั้งหมดบนเส้นตรงใดๆ จะกระทำการถ่ายทอดต่อจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงนั้น
- วงแหวนไตรภาคบางวงของระนาบเป็นวงแหวนหารทางเลือก
- Pมีโครงสร้างสมมาตรกับระนาบเชิงโปรเจกทีฟเหนือวงแหวนแบ่งส่วนทางเลือก
นอกจากนี้ ในเครื่องบินมูฟาง:
- กลุ่มของออโตมอร์ฟิซึมทำหน้าที่ถ่ายทอดบนรูปสี่เหลี่ยม[ 9 ] [ 10 ]
- วงแหวนไตรภาคสองวงใดๆบนระนาบจะสมมาตรกัน
ดูเพิ่มเติม
หมายเหตุ
- ^กล่าวคือ กลุ่มดังกล่าวทำหน้าที่ถ่ายทอดบนระนาบแอฟฟินที่เกิดจากการลบเส้นนี้และจุดทั้งหมดของเส้นนี้ออกจากระนาบเชิงโปรเจกทีฟ
- ^ฮิวส์และไพเปอร์ 1973หน้า 101
- ^ Pickert 1975 , หน้า 186
- ^ข้อความฉบับจำกัดนี้ระบุว่า หากสามเหลี่ยมสองรูปมองจากจุดบนเส้นตรงที่กำหนด และด้านที่สอดคล้องกันสองคู่มาบรรจบกันบนเส้นตรงนี้แล้ว ด้านที่สอดคล้องกันคู่ที่สามก็จะมาบรรจบกันบนเส้นตรงนี้เช่นกัน
- ^ฮิวส์และไพเปอร์ 1973หน้า 153
- ^ฮิวส์และไพเปอร์ 1973หน้า 139
- ^ Weibel, Charles (2007), "การสำรวจระนาบที่ไม่ใช่ Desarguesian" , ประกาศของ AMS , 54 (10): 1294– 1303
- ^ เครื่องบิน H. Klein Moufang
- ^ Stevenson 1972 , หน้า 392 Stevenson กล่าวถึงระนาบ Moufang ว่าเป็นระนาบทางเลือก
- ^ถ้าเปลี่ยนจากกริยาที่ต้องการกรรมเป็นกริยาที่ต้องการกรรมอย่างชัดเจน ระนาบนั้นจะเป็นระนาบแบบปัปเปียน
อ่านเพิ่มเติม
- ทิตส์, ฌาคส์ ; ไวส์, ริชาร์ด เอ็ม. (2002), รูปหลายเหลี่ยมมูฟาง , สปริงเกอร์ โมโนกราฟส์ อิน แมเธมาติกส์, เบอร์ลิน, นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-เวอร์แลก , ISBN 978-3-540-43714-7, MR 1938841