ในทางคณิตศาสตร์รูปหลายเหลี่ยมมูฟาง เป็นการวางนัยทั่วไปของระนาบมูฟางที่ศึกษาโดยรูธ มูฟาง โดยฌาคส์ ทิตส์ และเป็นอาคาร ที่ไม่สามารถลดทอนได้ ของอันดับสองที่ยอมรับการกระทำของกลุ่มรากในหนังสือเกี่ยวกับหัวข้อนี้ ทิตส์และริชาร์ด ไวส์^{[ 1 ]}ได้จำแนกพวกมันทั้งหมด ทฤษฎีบทก่อนหน้านี้ซึ่งพิสูจน์โดยอิสระโดยทิตส์และไวส์^{[ 2 ] [ 3 ]}แสดงให้เห็นว่ารูปหลายเหลี่ยมมูฟางต้องเป็นรูปหลายเหลี่ยม 3 เหลี่ยม 4 เหลี่ยม 6 เหลี่ยม หรือ 8 เหลี่ยมแบบทั่วไป ดังนั้นจุดประสงค์ของหนังสือที่กล่าวถึงข้างต้นคือการวิเคราะห์กรณีทั้งสี่นี้

• รูปหลายเหลี่ยมnด้านทั่วไปคือกราฟสองส่วนที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางnและเส้นรอบวง2n
• กราฟจะเรียกว่ากราฟหนา ถ้าทุกจุดยอดมีวาเลนซ์อย่างน้อย 3
• รากของรูปหลายเหลี่ยม n ด้านทั่วไปคือเส้นทางที่มีความยาวn
• อพาร์ตเมนต์ของ รูปหลายเหลี่ยม n ด้านทั่วไป คือ วงจรที่มีความยาว2n
• กลุ่มย่อยรากของรากคือกลุ่มย่อยของออโตมอร์ฟิซึมของกราฟที่ตรึงจุดยอดทั้งหมดที่อยู่ติดกับจุดยอดภายในจุดใดจุดหนึ่งของราก
• รูปหลายเหลี่ยม n ด้านแบบมูฟาง (Moufang n -gon) คือรูป หลายเหลี่ยม n ด้านแบบทั่วไปที่มีความหนา (โดยที่n > 2) ซึ่งกลุ่มย่อยรากของรากใดๆ จะกระทำการถ่ายทอดต่ออพาร์ตเมนต์ที่บรรจุรากนั้น

รูปสามเหลี่ยมมูฟางสามารถระบุได้ด้วยกราฟเหตุการณ์ของระนาบเชิงฉาย มูฟาง ในการระบุนี้ จุดและเส้นของระนาบจะสอดคล้องกับจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมนั้น รูปแบบจริงของกลุ่มลีให้ตัวอย่างซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมมูฟางหลักสามประเภท มีพีชคณิตการหาร จริงสี่แบบ ได้แก่ จำนวนจริงจำนวนเชิงซ้อนควอเทอร์เนียนและอ็อกโทเนียนซึ่งมีมิติ 1, 2, 4 และ 8 ตามลำดับ ระนาบเชิงฉายเหนือพีชคณิตการหารดังกล่าวจึงให้รูปสามเหลี่ยมมูฟาง

ระนาบเชิงฉายเหล่านี้สอดคล้องกับอาคารที่ติดอยู่กับ SL ( R ), SL ( C ), รูปแบบจริงของ A และรูปแบบจริงของ E ตามลำดับ

ในแผนภาพแรกจุดที่วงกลมไว้แสดงถึงปริภูมิ 1 มิติและปริภูมิ 2 มิติในปริภูมิเวกเตอร์สามมิติ ในแผนภาพที่สองจุดที่วงกลมไว้แสดงถึงปริภูมิ 1 มิติและปริภูมิ 2 มิติในปริภูมิเวกเตอร์สามมิติเหนือควอเทอร์เนียนซึ่งในทางกลับกันแสดงถึงปริภูมิ 2 มิติและปริภูมิ 4 มิติบางส่วนในปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อน 6 มิติ ดังที่แสดงโดยจุดที่วงกลมไว้ในแผนภาพ A กรณีที่สี่ — รูปแบบหนึ่งของ E — เป็นข้อยกเว้น และอนาล็อกของมันสำหรับรูปสี่เหลี่ยมมูฟางเป็นคุณลักษณะสำคัญของหนังสือของไวส์

เมื่อเปลี่ยนจากจำนวนจริงไปเป็นฟิลด์ใดๆ รูป 3 เหลี่ยมของ Moufang สามารถแบ่งออกได้เป็นสามกรณีดังที่กล่าวมาข้างต้น กรณีแยกในแผนภาพแรกมีอยู่เหนือฟิลด์ใดๆ กรณีที่สองขยายไปถึงพีชคณิตการหารแบบเชื่อมโยงที่ไม่สลับที่ทั้งหมด เหนือจำนวนจริง พีชคณิตเหล่านี้จำกัดอยู่ที่พีชคณิตของควอเทอร์เนียน ซึ่งมีดีกรี 2 (และมิติ 4) แต่บางฟิลด์ยอมรับพีชคณิตการหารแบบศูนย์กลางที่มีดีกรีอื่นๆ กรณีที่สามเกี่ยวข้องกับพีชคณิตการหารแบบ "ทางเลือก" (ซึ่งเป็นไปตามกฎการเชื่อมโยงในรูปแบบที่อ่อนลง) และทฤษฎีบทของRichard Bruckและ Erwin Kleinfeld ^{[ 4 ]}แสดงให้เห็นว่าสิ่งเหล่านี้คือพีชคณิต Cayley-Dickson ^{[ 5 ]}นี่เป็นการสรุปการอภิปรายเกี่ยวกับรูป 3 เหลี่ยมของ Moufang

รูปสี่เหลี่ยมมูฟาง (Moufang 4-gons) เรียกอีกอย่างว่า รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมูฟาง (Moufang quadrangles) การจำแนกประเภทของรูปสี่เหลี่ยมมูฟางนั้นยากที่สุด และเมื่อทิตส์และไวส์เริ่มเขียนขึ้น ก็ได้ค้นพบประเภทใหม่ที่ไม่เคยมีใครสังเกตมาก่อน ซึ่งเกิดขึ้นจากกลุ่มของประเภท F4 โดยสามารถแบ่งออกได้เป็นสามชั้น:

• (i) กลุ่มที่เกิดขึ้นจากกลุ่มคลาสสิก
• (ii) ที่เกิดขึ้นจาก "กลุ่มผสม" (ซึ่งมีฟิลด์ไม่สมบูรณ์ 2 ฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะ 2, K และ L โดยที่ K2 ⊂ L ⊂ K)
• (iii) ที่เกิดขึ้นจากพีชคณิตรูปสี่เหลี่ยม

มีความทับซ้อนกันอยู่บ้าง ในแง่ที่ว่ากลุ่มคลาสสิกบางกลุ่มที่เกิดขึ้นจากปริภูมิแบบซูโด-ควาดราติก สามารถได้มาจากพีชคณิตแบบสี่เหลี่ยม (ซึ่งไวส์เรียกว่ากลุ่มพิเศษ) แต่ก็มีกลุ่มอื่นๆ ที่ไม่ใช่กลุ่มพิเศษด้วย กลุ่มที่สำคัญที่สุดเหล่านี้เกิดขึ้นจากกลุ่มพีชคณิตประเภท E6, E7 และ E8 พวกมันเป็น k-ฟอร์มของกลุ่มพีชคณิตที่อยู่ในไดอะแกรมต่อไปนี้: E6 E7 E8 กลุ่ม E6 มีอยู่บนจำนวนจริง แต่กลุ่ม E7 และ E8 ไม่มี ไวส์เรียกพีชคณิตแบบสี่เหลี่ยมในทุกกรณีเหล่านี้ว่า ไวส์แบบปกติ แต่ไม่ใช่กลุ่มพิเศษ นอกจากนี้ยังมีอีกประเภทหนึ่งที่เขาเรียกว่าแบบบกพร่อง ซึ่งเกิดขึ้นจากกลุ่มประเภท F4 กลุ่มเหล่านี้เป็นกลุ่มที่แปลกประหลาดที่สุด พวกมันเกี่ยวข้องกับการขยายฟิลด์ที่ไม่สามารถแยกออกจากกันได้ในลักษณะเฉพาะ 2 และไวส์ค้นพบพวกมันในระหว่างการทำงานร่วมกันกับทิตส์เกี่ยวกับการจำแนกประเภทของรูป 4 เหลี่ยมของมูฟาง โดยการตรวจสอบช่องว่างแปลกๆ ที่ไม่ควรมีอยู่แต่ก็มีอยู่

การจำแนกรูปสี่เหลี่ยมมูฟางโดยทิตส์และไวส์มีความเกี่ยวข้องกับงานวิจัยที่น่าสนใจของพวกเขาในสองด้าน ด้านแรกคือ การใช้พีชคณิตสี่เหลี่ยมช่วยลดขั้นตอนบางอย่างที่เคยมีมาก่อน ด้านที่สองคือ แนวคิดนี้เป็นแบบอย่างของพีชคณิตอ็อกโทเนียนและพีชคณิตการหารจอร์แดนกำลังสองดีกรี 3 ซึ่งก่อให้เกิดรูปสามเหลี่ยมและหกเหลี่ยมมูฟาง

อันที่จริงแล้ว ระนาบ สี่เหลี่ยม และหกเหลี่ยมมูฟางพิเศษทั้งหมดที่ไม่เกิดจาก "กลุ่มผสม" (ที่มีลักษณะเฉพาะ 2 สำหรับสี่เหลี่ยม หรือลักษณะเฉพาะ 3 สำหรับหกเหลี่ยม) ล้วนมาจากอ็อกโทเนียน พีชคณิตสี่เหลี่ยม หรือพีชคณิตจอร์แดน

รูปหกเหลี่ยมมูฟางยังเรียกว่ารูปหกเหลี่ยมมูฟาง การจำแนกประเภทของรูปหกเหลี่ยมมูฟางได้รับการระบุโดย Tits ^{[ 6 ]}แม้ว่ารายละเอียดจะยังไม่ได้รับการพิสูจน์จนกระทั่งมีการทำงานร่วมกับ Weiss เกี่ยวกับรูปหลายเหลี่ยมมูฟาง

รูปแปดเหลี่ยมมูฟางยังเรียกว่ารูปแปดเหลี่ยมมูฟางอีกด้วย พวกมันถูกจำแนกโดยทิตส์^{[ 7 ]}ซึ่งเขาแสดงให้เห็นว่าพวกมันทั้งหมดเกิดขึ้นจากกลุ่มรีประเภท² F

การใช้งานที่เป็นไปได้สำหรับพีชคณิตสี่เหลี่ยมคือการวิเคราะห์คำถามเปิดสองข้อ ข้อหนึ่งคือสมมติฐาน Kneser-Tits ^{[ 8 ]}ที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มการแปลงเชิงเส้น ทั้งหมด ของอาคาร (เช่น GL ) ที่แยกตัวประกอบโดยกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นโดยกลุ่มราก (เช่น SL )

ข้อสันนิษฐานนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับอาคารมูฟางทั้งหมด ยกเว้นรูปหกเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมด้านเท่าแบบ E8 ซึ่งในกรณีนี้ กลุ่มของการแปลงเชิงเส้นนั้นคาดว่าจะเท่ากับกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นโดยกลุ่มราก สำหรับรูปหกเหลี่ยมแบบ E8 สามารถเขียนใหม่ได้เป็นคำถามเกี่ยวกับพีชคณิตจอร์แดนกำลังสอง และสำหรับรูปสี่เหลี่ยมแบบ E8 สามารถเขียนใหม่ได้ในแง่ของพีชคณิตรูปสี่เหลี่ยม

คำถามเปิดอีกข้อเกี่ยวกับรูปสี่เหลี่ยม E8 เกี่ยวข้องกับฟิลด์ที่สมบูรณ์โดยสัมพันธ์กับการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่อง : ในกรณีเช่นนี้ มีการสร้างเชิงเส้นตรงแบบใดที่ให้รูปสี่เหลี่ยมเป็นโครงสร้างที่อนันต์หรือไม่?

• มูฟางลูป
• เครื่องบินมูฟาง
• พีชคณิตมูฟาง-ลี
• n-gon ทั่วไป