ในทางคณิตศาสตร์พีชคณิตอ็อกโทเนียนหรือพีชคณิตเคย์ลีย์เหนือฟิลด์Fคือพีชคณิตการประกอบเอกลักษณ์เหนือ F ที่มีมิติ 8 เหนือF กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็น พีชคณิตไม่เชื่อมโยงเอกลักษณ์มิติ8 A เหนือ F ที่มีรูปแบบกำลังสองที่ไม่เสื่อมสภาพN (เรียกว่ารูปแบบบรรทัดฐาน ) เช่นนั้น

${\displaystyle N(xy)=N(x)N(y)}$

สำหรับ ทุกxและyในA

ตัวอย่างที่รู้จักกันดีที่สุดของพีชคณิตอ็อกโทเนียนคืออ็อกโทเนียน แบบคลาสสิก ซึ่งเป็นพีชคณิตอ็อกโทเนียนเหนือRซึ่งเป็นฟิลด์ของจำนวนจริงอ็อกโทเนียนแบบแยกส่วนก็เป็นพีชคณิตอ็อกโทเนียนเหนือR เช่นกัน โดยพิจารณา จากความเหมือนกัน ของพีชคณิต Rแล้ว พีชคณิต อ็อกโทเนียน เหล่านี้เป็นเพียงพีชคณิตอ็อกโทเนียนเหนือจำนวนจริงเท่านั้น ส่วน พีชคณิตของไบอ็อกโทเนียนคือพีชคณิตอ็อกโทเนียนเหนือจำนวนเชิงซ้อนC

พีชคณิตอ็อกโทเนียนสำหรับNเป็นพีชคณิตการหารก็ต่อเมื่อรูปแบบNเป็นแบบแอนไอโซโทรปิกพีชคณิตอ็อกโทเนียนแบบแยกส่วนคือพีชคณิตที่รูปแบบกำลังสองNเป็นแบบไอโซโทรปิก (กล่าวคือ มีเวกเตอร์x ที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งN ( x ) = 0) เมื่อพิจารณาถึง ความเหมือนกันของพีชคณิต F แล้ว จะมีพีชคณิตอ็อกโทเนียนแบบแยกส่วนที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียวเหนือฟิลด์ F ใดๆ[ 1 ^{]เมื่อF} เป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตหรือฟิลด์จำกัดพีชคณิตอ็อกโทเนียนเหล่านี้เป็นเพียงพีชคณิตอ็อกโทเนียนเดียวเหนือFตัวอย่างเช่น เมื่อFเป็นฟิลด์ของจำนวนจริง พีชคณิตจะเป็นอ็อกโทเนียนแบบแยกส่วน

พีชคณิตอ็อกโทเนียนนั้นไม่มีสมบัติการสลับที่เสมอ อย่างไรก็ตาม มันเป็นพีชคณิตทางเลือกซึ่งสมบัติทางเลือกเป็นรูปแบบที่อ่อนกว่าของสมบัติการสลับที่ ยิ่งไปกว่านั้นเอกลักษณ์ของมูฟาง นั้น ใช้ได้กับพีชคณิตอ็อกโทเนียนทุกตัว ดังนั้น องค์ประกอบที่ผกผันได้ในพีชคณิตอ็อกโทเนียนใดๆ จึงก่อให้เกิดวงมูฟางเช่นเดียวกับองค์ประกอบที่มีขนาดเท่ากับหนึ่ง

การสร้างพีชคณิตอ็อกโทเนียนทั่วไปเหนือฟิลด์k ใดๆ ได้รับการอธิบายโดยLeonard DicksonในหนังสือAlgebren und ihre Zahlentheorie (1927) (หน้า 264) และได้รับการกล่าวซ้ำโดยMax Zorn [ ^{2 ] ผล}คูณขึ้นอยู่กับการเลือก γ จากkเมื่อกำหนดqและQจากพีชคณิตควอเทอร์เนียนเหนือkอ็อกโทเนียนจะเขียนเป็นq + Q e อ็อกโทเนียนอีกตัวหนึ่งอาจเขียนเป็นr + R e จากนั้นโดยที่ * แทนการผันในพีชคณิตควอเทอร์เนียน ผลคูณของพวกมันคือ

${\displaystyle (q+Qe)(r+Re)=(qr+\gamma R^{*}Q)+(Rq+Qr^{*})e.}$

คำอธิบาย ภาษาเยอรมันของ Zorn เกี่ยวกับ โครงสร้าง Cayley–Dicksonนี้มีส่วนทำให้มีการใช้ชื่อ นี้อย่างต่อเนื่อง ในการอธิบายโครงสร้างของ พีชคณิต เชิง องค์ประกอบ

Cohl Fureyได้เสนอว่าพีชคณิตอ็อกโทเนียนสามารถนำมาใช้เพื่อพยายามประสานส่วนประกอบของ^แบบจำลองมาตรฐาน^{[ 3} ]

โปรดทราบว่าพีชคณิตอ็อกโทเนียนเป็นพีชคณิตการประกอบแบบเอกลักษณ์โดยเฉพาะ อย่างไรก็ตาม พีชคณิตการประกอบมิติ 8 ที่ไม่มีเอกลักษณ์ก็มีอยู่เช่นกัน เช่นพีชคณิตโอคุโบะ

เป็นทฤษฎีบทของAdolf Hurwitzที่คลาสไอโซมอร์ฟิซึมFของรูปแบบบรรทัดฐานมีความสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับคลาสไอโซมอร์ฟิซึมของพีชคณิตFอ็อกโทเนียน ยิ่งไปกว่านั้น รูปแบบบรรทัดฐานที่เป็นไปได้คือฟอร์ม 3 ของ PfisterเหนือF อย่าง แน่นอน ^{[ 4 ]}

เนื่องจากพีชคณิตF -octonion สองตัวใดๆ จะกลายเป็นไอโซมอร์ฟิกกันเหนือการปิดพีชคณิตของFจึงสามารถใช้แนวคิดของโคฮอโมโลยี Galois แบบ ไม่ เชิงอะเบเลียนได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง โดยการใช้ข้อเท็จจริงที่ว่ากลุ่มออโตมอร์ ฟิซึม ของอ็อกโทเนียนแบบแยกส่วนคือกลุ่มพีชคณิต แบบแยกส่วน G จะเห็นความสอดคล้องกันของชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของพีชคณิตF - octonion กับชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของ G -torsorเหนือF ชั้นไอโซมอร์ฟิซึมเหล่านี้ก่อตัวเป็นเซตโคฮอ โมโลยี Galois แบบไม่เชิงอะเบเลียน^{[ 5 ]}${\displaystyle H^{1}(F,G_{2})}$

• "พีชคณิต Cayley–Dickson" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]