ในทางคณิตศาสตร์รูปแบบฟิสเตอร์ (Pfister form) เป็น รูปแบบกำลังสองชนิดหนึ่งโดยเฉพาะ ซึ่งอัลเบรช ต์ ฟิสเตอร์ (Albrecht Pfister)ได้นำเสนอไว้ในปี 1965 ต่อไปนี้จะพิจารณารูปแบบกำลังสองบนฟิลด์Fที่มีลักษณะเฉพาะไม่ใช่ 2 สำหรับจำนวนธรรมชาติnรูปแบบฟิสเตอร์n เท่า บนFคือรูปแบบกำลังสองที่มีมิติ 2n ^ซึ่งสามารถเขียนได้ในรูปผลคูณเทนเซอร์ของรูปแบบกำลังสอง

${\displaystyle \langle \!\langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a_{1}\rangle \otimes \langle 1,-a_{2}\rangle \otimes \cdots \otimes \langle 1,-a_{n}\rangle ,}$

สำหรับองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์บางส่วนa , ..., a ของF ^{[ 1} ] (ผู้เขียนบางคนละเว้นเครื่องหมายในคำจำกัดความนี้ สัญลักษณ์ที่นี่ทำให้ความสัมพันธ์กับทฤษฎี K ของ Milnor ^ง่าย ขึ้น ซึ่งจะกล่าวถึงต่อไป) รูปแบบ Pfister nเท่าสามารถสร้างขึ้นแบบอุปนัยจากรูปแบบ Pfister ( n −1) เท่า qและองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์aของFได้เช่นกัน${\displaystyle q\oplus (-a)q}$.

ดังนั้นรูปทรงของ Pfister แบบ 1 พับและ 2 พับจึงมีลักษณะดังนี้:

${\displaystyle \langle \!\langle a\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a\rangle =x^{2}-ay^{2}}$.

${\displaystyle \langle \!\langle a,b\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a,-b,ab\rangle =x^{2}-ay^{2}-bz^{2}+abw^{2}.}$

สำหรับn ≤ 3 รูปแบบ Pfister แบบ nเท่าจะเป็นรูปแบบบรรทัดฐานของพีชคณิตการประกอบ [ ^{2 ] ใน} กรณีนั้นรูปแบบ Pfister แบบn เท่าสองรูปแบบจะ สมสัณฐานกันก็ต่อเมื่อพีชคณิตการประกอบที่สอดคล้องกันสมสัณฐานกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้ทำให้เกิดการจำแนกประเภทของพีชคณิตอ็อกโทเนียน

รูป แบบ Pfister nเท่าสร้างกำลังn ของอุดมคติพื้นฐานของวงแหวน Witt ^ของ Fโดยการ บวก ^{[ 2 ]}

รูปแบบกำลังสองqบนฟิลด์Fเป็นแบบทวีคูณถ้าสำหรับเวกเตอร์ของตัวแปรxและyเราสามารถเขียนq ( x ) .q ( y ) = q ( z ) สำหรับเวกเตอร์z บางตัว ของฟังก์ชันตรรกยะในxและyบนF รูปแบบกำลังสองแบบไอโซโทรปิกเป็นแบบทวีคูณ^{[ 3 ]} สำหรับรูปแบบกำลังสองแบบแอนไอโซโทรปิก รูปแบบ ของ Pfister เป็นแบบทวีคูณ และในทางกลับกัน^{[ 4 ]}

สำหรับฟอร์ม Pfister n เท่า โดยที่ n ≤ 3 นั้น เป็นที่ทราบกันมาตั้งแต่ศตวรรษที่ 19 แล้ว ในกรณีนั้นzสามารถถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันทวิเชิงเส้นในxและyโดยอาศัยคุณสมบัติของพีชคณิตการประกอบ การค้นพบที่น่าทึ่งของ Pfister ก็คือฟอร์ม Pfister n เท่า สำหรับ n ทุกค่า มีคุณสมบัติการคูณในความหมายทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรรกยะ ตัวอย่างเช่น เขาได้สรุปว่า สำหรับฟิลด์F ใดๆ และจำนวนธรรมชาติn ใดๆ เซตของผลรวมของกำลังสอง²ⁿในFนั้นปิดภายใต้การคูณ โดยใช้ฟอร์มกำลังสองนั้น ${\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{2^{n}}^{2}}$ เป็น รูปแบบ Pfister nเท่า (กล่าวคือ${\displaystyle \langle \!\langle -1,\ldots ,-1\rangle \!\rangle }$). ^{[ 5 ]}

ลักษณะเด่นอีกประการหนึ่งของรูปแบบ Pfister คือ รูปแบบ Pfister ที่เป็นไอโซโทรปิกทุกรูปแบบนั้นเป็นไฮเปอร์โบลิก กล่าวคือ เป็นไอโซมอร์ฟิกกับผลรวมโดยตรงของสำเนาของระนาบไฮเปอร์โบลิก${\displaystyle \langle 1,-1\rangle }$คุณสมบัตินี้ยังแสดงลักษณะเฉพาะของฟอร์ม Pfister ดังต่อไปนี้: ถ้าqเป็นฟอร์มกำลังสองแบบแอนไอโซโทรปิกเหนือฟิลด์Fและถ้าq กลายเป็นไฮเปอร์โบลิกเหนือฟิลด์ส่วนขยาย Eทุกฟิลด์ที่ทำให้qกลายเป็นไอโซโทรปิกเหนือEแล้วqจะสมสัณฐานกับa φ สำหรับa ที่ไม่ใช่ศูนย์บางตัว ในFและฟอร์ม Pfister φ บางตัว^{เหนือ} F ^{[ 6} ]

ให้k ( F ) เป็นกลุ่มK ของ Milnorที่nมอดูล 2 มีโฮโมมอร์ฟิซึมจากk ( F ) ไปยังผลหารI ⁿ / I ^{n +1}ในวงแหวน Witt ของFซึ่งกำหนดโดย

${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}\mapsto \langle \!\langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\rangle \!\rangle ,}$

โดยที่ภาพเป็น รูปแบบ Pfister nเท่า^{[ 7 ]} โฮโมมอร์ฟิซึมเป็นแบบทั่วถึงเนื่องจากรูปแบบ Pfister สร้างI ⁿ ขึ้นมาแบบบวก ส่วนหนึ่งของสมมติฐาน Milnorซึ่งพิสูจน์โดย Orlov, Vishik และVoevodskyระบุว่าโฮโมมอร์ฟิซึมนี้เป็นไอโซมอร์ฟิซึมk ( F ) ≅ I ⁿ / I ^{n +1 [ 8} ] ซึ่งให้คำอธิบายที่ชัดเจนของกลุ่มอาเบเลียนI ⁿ / I ^{n +1}โดยใช้ตัวสร้างและความสัมพันธ์อีกส่วนหนึ่งของสมมติฐาน Milnor ซึ่งพิสูจน์โดย Voevodsky กล่าวว่า^k n F ) (และด้วยเหตุนี้I ⁿ / I ^{n +1} ) แมปแบบไอโซมอร์ฟิกไปยังกลุ่มโคฮอโมโลยี Galois H ⁿ ( F , F )

เพื่อนบ้านของ Pfisterคือฟอร์มแอนิโซโทรปิก σ ซึ่งสมมาตรกับฟอร์มย่อยของa φ สำหรับa ที่ไม่ใช่ศูนย์บางตัว ในFและฟอร์ม Pfister φ บางตัวที่มี dim φ < 2 dim σ ^{[ 9 ]} ฟอร์ม Pfister φ ที่เกี่ยวข้องจะถูกกำหนดจนถึงสมมาตรโดย σ ทุกฟอร์มแอนิโซโทรปิกที่มีมิติ 3 เป็นเพื่อนบ้านของ Pfister; ฟอร์มแอนิโซโทรปิกที่มีมิติ 4 เป็นเพื่อนบ้านของ Pfister ก็ต่อเมื่อดิสคริมิแนนต์ ของมัน ในF ^* /( F ^* ) ²เป็นศูนย์^{[ 10 ]}ฟิลด์Fมีคุณสมบัติว่าทุกฟอร์มแอนิโซโทรปิก 5 มิติเหนือFเป็นเพื่อนบ้านของ Pfister ก็ต่อเมื่อมันเป็นฟิลด์ที่เชื่อมโยง^{[ 11 ]}