ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มรี (Ree group)คือกลุ่มประเภทลี (Lie type)บนฟิลด์จำกัด ชื่อของกลุ่มนี้ตั้งตามชื่อของริมฮัก รี (Rimhak Ree) ผู้สร้างกลุ่มนี้จาก ออโตมอร์ฟิซึมพิเศษของ ไดอะแกรมไดน์ กิน (Dynkin diagram)ที่กลับทิศทางของพันธะหลายตัว ซึ่งเป็นการขยายกลุ่มซูซูกิ (Suzuki group)ที่ซูซูกิค้นพบโดยใช้วิธีการที่แตกต่างออกไป^{[ 1 ] [ 2 ]}กลุ่มรีเป็นกลุ่มสุดท้ายในตระกูลอนันต์ของกลุ่มง่ายจำกัด(finite simple groups)ที่ถูกค้นพบ

แตกต่างจากกลุ่มสไตน์เบิร์กกลุ่มรีไม่ได้กำหนดโดยจุดของกลุ่มพีชคณิตลดรูป ที่เชื่อมต่อกัน ซึ่งนิยามไว้บนฟิลด์จำกัด กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ไม่มี "กลุ่มพีชคณิตรี" ที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มรีในลักษณะเดียวกับที่ (เช่น) กลุ่มเอกภาพเกี่ยวข้องกับกลุ่มสไตน์เบิร์ก อย่างไรก็ตาม มีกลุ่มพีชคณิตลดรูปเทียมที่แปลก ใหม่บางกลุ่ม บนฟิลด์ที่ไม่สมบูรณ์ ซึ่งการสร้างนั้นเกี่ยวข้องกับการสร้างกลุ่มรี เนื่องจากพวกมันใช้การแปลงอัตโนมัติที่แปลกใหม่แบบเดียวกันของแผนภาพไดน์กินที่เปลี่ยนความยาวราก

Titsได้กำหนดกลุ่ม Ree เหนือฟิลด์อนันต์ที่มีลักษณะ เฉพาะ 2 และ 3 ^{[ 3 ]} Tits ^{[ 4 ]}และ Hée ^{[ 5 ]} ได้แนะนำกลุ่ม Ree ของ พีชคณิต Kac–Moodyมิติอนันต์

ถ้าXเป็น ไดอะแกรม ไดน์กินเชวาลลีย์ได้สร้างกลุ่มพีชคณิตแบบแยกส่วนที่สอดคล้องกับXโดยเฉพาะอย่างยิ่งกลุ่มX ( F )ที่มีค่าอยู่ในฟิลด์Fกลุ่มเหล่านี้มีออโตมอร์ฟิซึมดังต่อไปนี้:

• เอนโดมอร์ฟิซึมσใดๆของฟิลด์Fจะเหนี่ยวนำให้เกิดเอนโดมอร์ฟิซึมα ของกลุ่มX ( F )
• ออโตมอร์ฟิซึม πใดๆของไดอะแกรมไดน์กินจะเหนี่ยวนำให้เกิดออโตมอร์ฟิซึมα π กลุ่มX ( F )

กลุ่ม Steinberg และ Chevalley สามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้จุดตรึงของเอนโดมอร์ฟิซึมของX ( F ) สำหรับFซึ่งเป็นการปิดเชิงพีชคณิตของฟิลด์ สำหรับกลุ่ม Chevalley ออโตมอร์ฟิซึมคือเอนโดมอร์ฟิซึม FrobeniusของFในขณะที่สำหรับกลุ่ม Steinberg ออโตมอร์ฟิซึมคือเอนโดมอร์ฟิซึม Frobenius คูณกับออโตมอร์ฟิซึมของไดอะแกรม Dynkin

บนฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะ 2 กลุ่มB ( F )และF ( F )และบนฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะ 3 กลุ่มG ( F )มีเอนโดมอร์ฟิซึมซึ่งกำลังสองของมันคือเอนโดมอร์ฟิซึมα ที่เกี่ยวข้องกับเอนโดมอร์ฟิซึม Frobenius φของฟิลด์F กล่าวโดยคร่าวๆ เอนโดมอร์ฟิซึม α นี้มาจากออโตมอร์ฟิซึมอันดับ 2 ของไดอะแกรม Dynkin โดยไม่คำนึงถึงความยาวของราก

สมมติว่าฟิลด์Fมีเอนโดมอร์ฟิซึมσซึ่งกำลังสองของมันคือเอนโดมอร์ฟิซึมของโฟรเบนิอุส: σ² = φ แล้วกลุ่มรีถูกนิยามให้เป็นกลุ่มของสมาชิก g ของ X(F) โดยที่ απ( ^g ) = ασ ( g ) ถ้าฟิลด์Fเป็นฟิลด์สมบูรณ์ απ ​​และαφจะเป็นออโตมอร์ซึมและกลุ่มรีของจุดตรึงของการ αφ / ของX ( F )

ในกรณีที่Fเป็นฟิลด์จำกัดที่มีอันดับp ^k (โดยที่p = 2 หรือ 3) จะมีเอนโดมอร์ฟิซึมที่มีกำลังสองของฟรอเบนิอุสพอดีเมื่อk = 2 n + 1 เป็นจำนวนคี่ ซึ่งในกรณีนี้จะมีเพียงหนึ่งเดียว ดังนั้นจึงทำให้กลุ่มรีจำกัดเป็นกลุ่มย่อยของ B (2 ^{2 n +1} ), F (2 ^{2 n +1} ) และ G (3 ^{2 n +1} ) ที่ถูกตรึงไว้ด้วยอินโวลูชัน

ความสัมพันธ์ระหว่างกลุ่ม Chevalley กลุ่ม Steinberg และกลุ่ม Ree โดยคร่าวๆ เป็นดังนี้ เมื่อกำหนดแผนภาพ Dynkin X Chevalley ได้สร้างโครงร่างกลุ่มบนจำนวนเต็ม${\displaystyle \mathbb {Z} }$ซึ่งค่าของฟิลด์จำกัดคือกลุ่มเชอวาเลย์ โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถเลือกจุดตรึงของเอนโดมอร์ฟิซึมαของX ( F )โดยที่Fคือการปิดเชิงพีชคณิตของฟิลด์จำกัด ซึ่งกำลังบางอย่างของαคือกำลังบางอย่างของเอนโดมอร์ฟิซึมโฟรเบนิอุส φ กรณีทั้งสามมีดังต่อไปนี้:

• สำหรับกลุ่มเชอวาเลย์ (Chevalley groups) นั้นα = φ ⁿ สำหรับจำนวนเต็มบวก nบางค่าในกรณีนี้ กลุ่มของจุดตรึงก็คือกลุ่มของจุดในXที่กำหนดบนฟิลด์จำกัด ด้วยเช่นกัน
• สำหรับกลุ่มสไตน์เบิร์กα ^m = φ ⁿ สำหรับจำนวนเต็มบวก m , nบางตัวโดยที่mหารn ลงตัว และm > 1 ในกรณีนี้ กลุ่มของจุดตรึงก็คือกลุ่มของจุดในรูปแบบบิดเบี้ยว (quasispllit) ของXที่กำหนดบนฟิลด์จำกัดด้วย
• สำหรับกลุ่มรี (Ree groups) นั้นα ^m = φ ⁿ สำหรับจำนวนเต็มบวก m , nบางตัวโดยที่mไม่หารn ลงตัว ในทางปฏิบัติm = 2 และnเป็นจำนวนคี่ กลุ่มรีไม่ได้ถูกกำหนดให้เป็นจุดของกลุ่มพีชคณิตที่เชื่อมต่อกันซึ่งมีค่าอยู่ในฟิลด์ แต่เป็นจุดตรึงของออโตมอร์ฟิซึมอันดับm = 2 ของกลุ่มที่นิยามไว้เหนือฟิลด์อันดับp ⁿโดยที่nเป็นจำนวนคี่ และไม่มีฟิลด์อันดับp ^{n / 2} ที่สอดคล้องกัน (ถึงแม้ว่าผู้เขียนบางคนจะแสร้งทำเป็นว่ามีในสัญลักษณ์ของพวกเขาสำหรับกลุ่มเหล่านี้ก็ตาม)

กลุ่ม Ree ประเภท² B ถูกค้นพบครั้งแรกโดยSuzukiโดยใช้วิธีการที่แตกต่างกัน และมักเรียกว่ากลุ่ม Suzuki [ ^{6 ] Ree}สังเกตเห็นว่าสามารถสร้างกลุ่มเหล่านี้ได้จากกลุ่มประเภท B โดยใช้การสร้างแบบSteinberg ที่ แตก ต่างกัน ^{[ 7 ]} Ree ตระหนักว่าการสร้างที่คล้ายกันนี้สามารถนำไปใช้กับไดอะแกรม Dynkin F และ G ได้ ซึ่งนำไปสู่กลุ่มง่ายจำกัดสองตระกูลใหม่

กลุ่ม Ree ประเภท² G (3 ^{2 n +1} ) ได้รับการแนะนำโดย Ree ^{[ 1 ]}ซึ่งแสดงให้เห็นว่ากลุ่มเหล่านี้ทั้งหมดเป็นกลุ่มที่เรียบง่าย ยกเว้นกลุ่มแรก² G (3) ซึ่งมีลักษณะสมมาตรกับกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของSL (8) Wilson ได้นำเสนอการสร้างกลุ่ม Ree ที่เรียบง่าย^{[ 8 ]}ให้เป็นออโตมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์ 7 มิติเหนือฟิลด์ที่มีองค์ประกอบ 3 ^{2 n +1}ซึ่งรักษารูปแบบทวิเชิงเส้น รูปแบบไตรเชิงเส้น และผลคูณที่สอดคล้องกับกฎความเป็นเส้นตรงแบบบิดเบี้ยว

กลุ่ม Ree มีอันดับq ³ ( q ³ + 1)( q − 1)โดยที่q = 3 ^{2 n +1}

ตัวคูณ Schurเป็นแบบไม่สำคัญสำหรับn  ≥  1 และสำหรับ² G (3)′

กลุ่มออ โตมอร์ฟิซึมภายนอกเป็นกลุ่มวัฏจักรอันดับ 2n + 1  

กลุ่มรี (Ree group) บางครั้งอาจถูกแทนด้วย Ree( q ), R( q ) หรือ E ^* ( q )

กลุ่ม Ree ² G ( q ) มีการแสดงแทนการเรียงสับเปลี่ยนแบบถ่ายทอดสองเท่าบน จุด q ³ + 1และโดยเฉพาะอย่างยิ่งทำหน้าที่เป็นออโตมอร์ฟิซึมของระบบ Steiner S(2, q +1, q ³ +1) นอกจากนี้ยังกระทำบนปริภูมิเวกเตอร์ 7 มิติเหนือฟิลด์ที่มี สมาชิก qตัว เนื่องจากเป็นกลุ่มย่อยของ G ( q )

กลุ่มย่อย 2-sylow ของกลุ่ม Ree เป็นกลุ่มอาเบเลียนพื้นฐานอันดับ 8 ทฤษฎีบทของ Walterแสดงให้เห็นว่ากลุ่มง่ายจำกัดที่ไม่ใช่อาเบเลียนอื่น ๆ ที่มีกลุ่มย่อย Sylow 2-อาเบเลียนมีเพียงกลุ่มเชิงเส้นพิเศษเชิงโปรเจกทีฟในมิติ 2 และกลุ่ม Janko J1 เท่านั้น กลุ่มเหล่านี้ยังมีบทบาทในการค้นพบกลุ่มสปอราดิกสมัยใหม่กลุ่มแรก พวกมันมีตัวกลางการผกผันในรูปแบบZ /2 Z × PSL ( q )และโดยการตรวจสอบกลุ่มที่มีตัวกลางการผกผันในรูปแบบที่คล้ายกันZ /2 Z × PSL (5) Janko พบกลุ่มสปอราดิกJ Kleidman กำหนดกลุ่มย่อยสูงสุดของพวกเขา^{[ 9 ]} 

กลุ่ม Ree ประเภท² G นั้นยากที่จะระบุลักษณะเฉพาะอย่างยิ่งThompsonได้ศึกษาปัญหานี้^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}และสามารถแสดงให้เห็นว่าโครงสร้างของกลุ่มดังกล่าวถูกกำหนดโดยออโตมอร์ฟิซึมσ บางอย่าง ของฟิลด์จำกัดที่มีลักษณะเฉพาะ 3 และถ้ากำลังสองของออโตมอร์ฟิซึมนี้คือออโตมอร์ฟิซึม Frobenius แล้วกลุ่มนั้นจะเป็นกลุ่ม Ree เขายังให้เงื่อนไขที่ซับซ้อนบางอย่างที่ออโตมอร์ฟิซึมσ เป็นไปตามนั้น ด้วย ในที่สุดBombieriใช้ทฤษฎีการกำจัดเพื่อแสดงให้เห็นว่าเงื่อนไขของ Thompson บ่งชี้ว่าσ ² = 3ในทุกกรณี ยกเว้น 178 กรณีเล็กๆ^{[ 13 ]}ซึ่งถูกกำจัดโดยใช้คอมพิวเตอร์โดยOdlyzkoและ Hunt Bombieri ค้นพบปัญหานี้หลังจากอ่านบทความเกี่ยวกับการจำแนกประเภทโดยGorenstein [ ^{14 ] ซึ่งแนะนำว่าอาจมีคนจากภายนอกทฤษฎีกลุ่มที่สามารถช่วยแก้ปัญหานี้ ได้} Enguehard ได้ให้คำอธิบายที่เป็นเอกภาพของวิธีแก้ปัญหานี้โดย Thompson และ Bombieri ^{[ 15 ]}

กลุ่ม Ree ประเภท² F (2 ^{2 n +1} )ได้รับการแนะนำโดย Ree ^{[ 2 ]}กลุ่มเหล่านี้เรียบง่าย ยกเว้นกลุ่มแรก² F (2)ซึ่ง Tits แสดงให้เห็นว่ามีกลุ่มย่อยที่เรียบง่ายที่มีดัชนี 2 ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อกลุ่มTits ^{[ 16 ]} Wilson ได้นำเสนอการสร้างกลุ่ม Ree แบบง่ายๆ โดยใช้สมมาตรของปริภูมิ 26 มิติเหนือฟิลด์อันดับ 2 ^{2 n +1}ซึ่งรักษาฟอร์มกำลังสอง ฟอร์มกำลังสาม และการคูณบางส่วน^{[ 17 ]}

กลุ่ม Ree ² F (2 ^{2 n +1} )มีอันดับ q ¹² ( q ⁶  +  1) ( q ⁴  −  1) ( q ³  +  1) ( q  −  1) โดยที่ q = 2 ^{2 n +1} ตัวคูณ Schurเป็นแบบไม่สำคัญกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอกเป็นกลุ่มวัฏจักรที่มีอันดับ 2 n  +  1

กลุ่ม Ree เหล่านี้มีคุณสมบัติที่ผิดปกติคือกลุ่ม Coxeterของคู่ BNไม่ใช่กลุ่มผลึก: มันเป็นกลุ่มไดเฮดรัลลำดับที่ 16 Tits แสดงให้เห็นว่ารูปแปดเหลี่ยม Moufang ทั้งหมด^มาจากกลุ่ม Ree ประเภท² F ^{[ 18} ]

• รายชื่อกลุ่มง่ายจำกัด

• ATLAS: กลุ่มรี R(27)