จุดศูนย์กลางการหมุนชั่วขณะ (หรือเรียกอีกอย่างว่า^{จุดศูนย์กลาง}ความเร็วชั่วขณะ [ ^{1 ]}จุดศูนย์กลางชั่วขณะหรือขั้วของการกระจัดในระนาบ ) ของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ในระนาบคือจุดที่มีความเร็วเป็นศูนย์ ณ ช่วงเวลาหนึ่ง ณ ขณะนั้น เวกเตอร์ความเร็วของจุดอื่นๆ ในวัตถุจะสร้างสนามการกระจัด เป็นวงกลม รอบจุดศูนย์กลางการหมุน นี้ ซึ่งเหมือนกับที่เกิดจากการหมุนบริสุทธิ์

การเคลื่อนที่ในระนาบของวัตถุมักอธิบายโดยใช้รูปทรงระนาบที่เคลื่อนที่ในระนาบ สองมิติ จุดศูนย์กลางขณะนั้นคือจุดในระนาบที่เคลื่อนที่ ซึ่งจุดอื่นๆ ทั้งหมดหมุนรอบจุดนั้น ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง

การเคลื่อนที่อย่างต่อเนื่องของระนาบจะมีจุดศูนย์กลางชั่วขณะสำหรับทุกค่าของพารามิเตอร์เวลา ซึ่งจะสร้างเส้นโค้งที่เรียกว่าจุดศูนย์กลาง เคลื่อนที่ จุดในระนาบคงที่ที่สอดคล้องกับจุดศูนย์กลางชั่วขณะเหล่านี้จะประกอบกันเป็นจุดศูนย์กลางคงที่

การขยายแนวคิดนี้ไปยังพื้นที่ 3 มิติ คือการหมุนรอบแกนสกรู สกรูมีแกนซึ่งเป็นเส้นตรงในพื้นที่ 3 มิติ (ไม่จำเป็นต้องผ่านจุดกำเนิด) ซึ่งก็คือแกนการหมุนและสกรูยังมีระยะพิทช์ที่จำกัด (การเลื่อนคงที่ตามแกนของมันซึ่งสอดคล้องกับการหมุนรอบแกนสกรู )

จุดศูนย์กลางชั่วขณะสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นกรณีจำกัดของขั้วของการกระจัดในระนาบ

การกระจัดในระนาบของวัตถุจากตำแหน่งที่ 1 ไปยังตำแหน่งที่ 2 ถูกกำหนดโดยการรวมกันของการหมุน ในระนาบ และการเลื่อนใน ระนาบ สำหรับการกระจัดในระนาบใดๆ จะมีจุดหนึ่งในวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ซึ่งอยู่ในตำแหน่งเดิมทั้งก่อนและหลังการกระจัด การกระจัดสามารถมองได้ว่าเป็นการหมุนรอบจุดศูนย์กลางนี้

การก่อสร้างสำหรับขั้วของการกระจัดเชิงระนาบ

ขั้นแรก เลือกจุดสองจุด A และ B ในวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ และระบุตำแหน่งของจุดที่สอดคล้องกันในสองตำแหน่งนั้น ดูภาพประกอบ จากนั้นลากเส้นแบ่ง ครึ่งตั้งฉาก กับส่วนของเส้นตรงสองส่วน A ¹ A ²และ B ¹ B ²จุดตัด P ของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากทั้งสองนี้คือขั้วของการกระจัดในระนาบ สังเกตว่า A ¹และ A ²อยู่บนวงกลมรอบจุด P ซึ่งเป็นจริงสำหรับตำแหน่งที่สอดคล้องกันของทุกจุดในวัตถุด้วย

ถ้าตำแหน่งสองตำแหน่งของวัตถุอยู่ห่างกันเพียงเสี้ยววินาทีในการเคลื่อนที่ในระนาบ จุดขั้วของการกระจัดจะกลายเป็นจุดศูนย์กลางชั่วขณะ ในกรณีนี้ ส่วนของเส้นตรงที่ลากระหว่างตำแหน่งชั่วขณะของจุด A และ B จะกลายเป็นเวกเตอร์ความเร็ว V และ V เส้นตรงที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ความเร็วเหล่านี้จะตัดกันที่จุดศูนย์กลางชั่วขณะ

การสร้างพิกัดคาร์ทีเซียน โดยใช้พีชคณิต${\displaystyle \left(P_{x},P_{y}\right)}$สามารถจัดเรียงได้ดังนี้: จุดกึ่งกลางระหว่าง${\displaystyle A^{1}}$และ${\displaystyle A^{2}}$ มีพิกัดคาร์ทีเซียน

${\displaystyle A_{x}^{m}={\frac {1}{2}}\left(A_{x}^{1}+A_{x}^{2}\right);\quad A_{y}^{m}={\frac {1}{2}}\left(A_{y}^{1}+A_{y}^{2}\right),}$

และจุดกึ่งกลางระหว่าง${\displaystyle B^{1}}$และ${\displaystyle B^{2}}$มีพิกัดคาร์ทีเซียน

${\displaystyle B_{x}^{m}={\frac {1}{2}}\left(B_{x}^{1}+B_{x}^{2}\right);\quad B_{y}^{m}={\frac {1}{2}}\left(B_{y}^{1}+B_{y}^{2}\right).}$

มุมทั้งสองจาก${\displaystyle A^{1}}$ถึง${\displaystyle A^{2}}$และจาก${\displaystyle B^{1}}$ถึง${\displaystyle B^{2}}$วัดทวนเข็มนาฬิกาเทียบกับแนวนอนโดยกำหนดจาก

${\displaystyle \tan \tau _{A}={\frac {A_{y}^{2}-A_{y}^{1}}{A_{x}^{2}-A_{x}^{1}}},\quad \tan \tau _{B}={\frac {B_{y}^{2}-B_{y}^{1}}{B_{x}^{2}-B_{x}^{1}}}}$

ค้นหาตำแหน่งของ ${\displaystyle P\left(P_{x},P_{y}\right)}$

วิธีที่ 1:

เลือกสาขาที่ถูกต้องของเส้นสัมผัสให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดนั้น${\displaystyle \left(P_{x},P_{y}\right)}$การหมุนมีระยะทาง${\displaystyle d_{A}}$และ${\displaystyle d_{B}}$ไปยังจุดกึ่งกลางทั้งสองจุด โดยสมมติว่าเป็นการหมุนตามเข็มนาฬิกา (มิฉะนั้นให้สลับเครื่องหมายของ)${\displaystyle \pi /2}$):

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{x}&=A_{x}^{m}+d_{A}\cos \left(\tau _{A}-{\frac {\pi }{2}}\right)\\&=B_{x}^{m}+d_{B}\cos \left(\tau _{B}-{\frac {\pi }{2}}\right);\\P_{y}&=A_{y}^{m}+d_{A}\sin \left(\tau _{A}-{\frac {\pi }{2}}\right)\\&=B_{y}^{m}+d_{B}\sin \left(\tau _{B}-{\frac {\pi }{2}}\right).\end{aligned}}}$

เขียนใหม่ให้เป็นระบบสมการเชิงเส้น ไม่เอกพันธุ์ขนาด 4 × 4 ที่มีตัวแปรที่ไม่ทราบค่า 4 ตัว (ระยะทางสองค่า)${\displaystyle d}$และพิกัดทั้งสอง${\displaystyle P}$ของศูนย์กลาง):

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&-\sin \tau _{A}&0\\1&0&0&-\sin \tau _{B}\\0&1&\cos \tau _{A}&0\\0&1&0&\cos \tau _{B}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}P_{x}\\P_{y}\\d_{A}\\d_{B}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{x}^{m}\\B_{x}^{m}\\A_{y}^{m}\\B_{y}^{m}\end{pmatrix}}.}$

พิกัดของจุดศูนย์กลางการหมุนคือส่วนประกอบสองส่วนแรกของเวกเตอร์คำตอบ

${\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{x}\\P_{y}\\d_{A}\\d_{B}\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sin \left(\tau _{A}-\tau _{B}\right)}}{\begin{pmatrix}\left(B_{y}^{m}-A_{y}^{m}\right)\sin \tau _{A}\sin \tau _{B}+B_{x}^{m}\sin \tau _{A}\cos \tau _{B}-A_{x}^{m}\cos \tau _{A}\sin \tau _{B}\\\left(A_{x}^{m}-B_{x}^{m}\right)\cos \tau _{A}\cos \tau _{B}+A_{y}^{m}\sin \tau _{A}\cos \tau _{B}-B_{y}^{m}\cos \tau _{A}\sin \tau _{B}\\\left(B_{x}^{m}-A_{x}^{m}\right)\cos \tau _{B}+\left(B_{y}^{m}-A_{y}^{m}\right)\sin \tau _{B}\\\left(B_{x}^{m}-A_{x}^{m}\right)\cos \tau _{A}+\left(B_{y}^{m}-A_{y}^{m}\right)\sin \tau _{A}\\\end{pmatrix}}.}$

วิธีที่ 2:

จงหาสมการของเส้นแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงสองเส้น A ¹ A ²และ B ¹ B ² ดังต่อไปนี้

สมการของเส้นตรงในรูปแบบจุด-ความชัน คือ: ${\displaystyle y-y_{0}=m(x-x_{0})}$ที่ไหน ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$นั่นคือประเด็นและ${\displaystyle m}$คือความชัน

สมการของเส้นแบ่งครึ่งมุม A ¹ A ²คือ${\displaystyle y-A_{y}^{m}=\tan \tau _{A}\left(x-A_{x}^{m}\right)}$

สมการของเส้นแบ่งครึ่งมุม B ¹ B ²คือ${\displaystyle y-B_{y}^{m}=\tan \tau _{B}\left(x-B_{x}^{m}\right)}$

เส้นแบ่งครึ่งทั้งสองนี้ตัดกันที่ ${\displaystyle P\left(P_{x},P_{y}\right)}$ดังนั้นจึง สามารถเขียนระบบ สมการ 2สมการที่มีตัวแปรที่ไม่ทราบค่า2 ตัว และสัมประสิทธิ์ 2 ตัวได้

${\displaystyle {\begin{cases}P_{y}-A_{y}^{m}=\tan \tau _{A}\left(P_{x}-A_{x}^{m}\right)\\P_{y}-B_{y}^{m}=\tan \tau _{B}\left(P_{x}-B_{x}^{m}\right)\end{cases}}}$

วิธีแก้ปัญหาของระบบนี้คือ

${\displaystyle P_{x}={\frac {B_{y}^{m}-A_{y}^{m}+A_{x}^{m}\tan \tau _{A}-B_{x}^{m}\tan \tau _{B}}{\tan \tau _{A}-\tan \tau _{B}}},\qquad P_{y}={\frac {B_{y}^{m}-A_{y}^{m}+\tan \tau _{A}\left(A_{x}^{m}-B_{x}^{m}\right)}{\tan \tau _{A}-\tan \tau _{B}}}+B_{y}^{m}}$

การแปลแบบบริสุทธิ์

ถ้าการกระจัดระหว่างสองตำแหน่งเป็นการเลื่อนแบบบริสุทธิ์ เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของส่วนของเส้นตรง A ¹ B ¹และ A ² B ²จะเป็นเส้นขนาน เส้นเหล่านี้ถือว่าตัดกันที่จุดหนึ่งบนเส้นตรงที่อนันต์ดังนั้น ขั้วของการกระจัดในระนาบนี้จึงกล่าวได้ว่า "อยู่ที่อนันต์" ในทิศทางของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก

ในขีดจำกัด การเคลื่อนที่แบบแปลบริสุทธิ์จะกลายเป็นการเคลื่อนที่ในระนาบที่มีเวกเตอร์ความเร็วของจุดขนานกัน ในกรณีนี้ จุดศูนย์กลางชั่วขณะจะอยู่ ณ อนันต์ในทิศทางตั้งฉากกับเวกเตอร์ความเร็ว

พิจารณาการเคลื่อนที่ในระนาบของล้อกลมที่กลิ้งโดยไม่ลื่นไถลบนถนนเส้นตรง ดังแสดงในภาพที่ 3 ล้อหมุนรอบแกน M ซึ่งเคลื่อนที่ในทิศทางขนานกับถนน จุดสัมผัส P ของล้อกับถนนไม่ลื่นไถล ซึ่งหมายความว่าจุด P มีความเร็วเป็นศูนย์เมื่อเทียบกับถนน ดังนั้น ณ ขณะที่จุด P บนล้อสัมผัสกับถนน จุดนั้นจะกลายเป็นจุดศูนย์กลางชั่วขณะ

เซตของจุดบนล้อที่กำลังเคลื่อนที่ซึ่งกลายเป็นจุดศูนย์กลางชั่วขณะนั้นคือวงกลมเอง ซึ่งเป็นตัวกำหนดจุดศูนย์กลางการเคลื่อนที่ ส่วนจุดบนระนาบคงที่ที่สอดคล้องกับจุดศูนย์กลางชั่วขณะเหล่านั้นคือเส้นทางของถนน ซึ่งเป็นตัวกำหนดจุดศูนย์กลางคงที่

เวกเตอร์ความเร็วของจุด A ในวงล้อจะตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรง AP และเป็นสัดส่วนกับความยาวของส่วนของเส้นตรงนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความเร็วของจุดต่างๆ ในวงล้อจะถูกกำหนดโดยความเร็วเชิงมุมของวงล้อที่หมุนรอบจุด P เวกเตอร์ความเร็วของจุดต่างๆ จำนวนหนึ่งแสดงไว้ในภาพร่างที่ 3 และสามารถคำนวณได้โดยใช้สมการต่อไปนี้:

${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{A}}$

ที่ไหน${\displaystyle {\vec {v}}}$คือความเร็วของจุด A${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ความเร็วเชิงมุมของล้อและ${\displaystyle {\vec {r}}_{A}}$เวกเตอร์จากจุด P ไปยังจุด A

ยิ่งจุดใดบนวงล้ออยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางชั่วขณะ P มากเท่าใด ความเร็วของจุดนั้นก็จะยิ่งมากขึ้นตามสัดส่วนเท่านั้น ดังนั้น จุดที่อยู่ด้านบนสุดของวงล้อจะเคลื่อนที่ไปในทิศทางเดียวกับจุดศูนย์กลาง M ของวงล้อ แต่เร็วกว่าสองเท่า เนื่องจากอยู่ห่างจาก P เป็นสองเท่า จุดทุกจุดที่อยู่ห่างจากจุด P เป็นระยะทางเท่ากับรัศมีของวงล้อ 'r' จะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่ากับจุด M แต่ในทิศทางที่แตกต่างกัน ดังแสดงในภาพสำหรับจุดบนวงล้อที่มีความเร็วเท่ากับ M แต่เคลื่อนที่ไปในทิศทางสัมผัสกับวงกลมรอบจุด P

ถ้าวัตถุแข็งระนาบสองชิ้นสัมผัสกัน และแต่ละชิ้นมีจุดศูนย์กลางการหมุนของตัวเอง จุดศูนย์กลางการหมุนสัมพัทธ์ระหว่างวัตถุจะต้องอยู่บนเส้นที่เชื่อมจุดศูนย์กลางทั้งสองเข้าด้วยกัน นี่เป็นผลมาจากทฤษฎีบทของ Aronhold-Kennedy ^{[ 2 ]}

นอกจากนี้ การกลิ้งอย่างราบรื่นจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อจุดศูนย์กลางการหมุนชั่วขณะตรงกับจุดสัมผัสระหว่างวัตถุทั้งสอง เนื่องจากจุดสัมผัสนี้จะต้องมีความเร็วเป็นศูนย์ (ดังที่เห็นได้จากล้อบนถนนข้างต้น) ดังนั้น การกลิ้งอย่างราบรื่นจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อจุดสัมผัสผ่านเส้นที่เชื่อมต่อจุดศูนย์กลางการหมุนเฉื่อยทั้งสองเท่านั้น จุดนี้ใน งานออกแบบ เฟืองอินโวลูตเรียกว่าจุดพิทช์ ซึ่งไม่มีการเลื่อนสัมพัทธ์ระหว่างเฟือง ในความเป็นจริง อัตราทดเกียร์ระหว่างชิ้นส่วนหมุนทั้งสองหาได้จากอัตราส่วนของระยะทางทั้งสองไปยังจุดศูนย์กลางสัมพัทธ์ ในตัวอย่างในภาพร่างที่ 4 อัตราทดเกียร์คือ${\displaystyle \gamma ={\frac {AD}{BD}}}$

ภาพร่างที่ 1 ด้านบนแสดงกลไกสี่ข้อต่อโดยมีจุดศูนย์กลางการหมุนชั่วขณะหลายจุดแสดงอยู่ วัตถุแข็งเกร็งที่ระบุด้วยตัวอักษร BAC เชื่อมต่อกับฐานหรือโครง ด้วยข้อต่อ P -A และ P

ชิ้นส่วนที่เคลื่อนที่ได้สามชิ้นของกลไกนี้ (ฐานไม่เคลื่อนที่) ได้แก่: ข้อต่อ P -A, ข้อต่อ P -B และตัวเรือน BAC สำหรับแต่ละชิ้นส่วนทั้งสามนี้ สามารถกำหนดจุดศูนย์กลางการหมุนชั่วขณะได้

พิจารณาส่วนเชื่อมต่อแรก P -A: จุดทั้งหมดบนส่วนเชื่อมต่อนี้ รวมทั้งจุด A จะหมุนรอบจุด P เนื่องจาก P เป็นจุดเดียวที่ไม่เคลื่อนที่ในระนาบที่กำหนด จึงอาจเรียกได้ว่าเป็นจุดศูนย์กลางการหมุนชั่วขณะสำหรับส่วนเชื่อมต่อนี้ จุด A ซึ่งอยู่ห่าง จาก P -A จะเคลื่อนที่แบบวงกลมในทิศทางตั้งฉากกับส่วนเชื่อมต่อ P -A ดังแสดงโดยเวกเตอร์V

หลักการเดียวกันนี้ใช้ได้กับข้อต่อ P -B เช่นกัน โดยจุด P เป็นศูนย์กลางการหมุนชั่วขณะสำหรับข้อต่อนี้ และจุด B เคลื่อนที่ไปในทิศทางที่ระบุโดยเวกเตอร์V

ในการกำหนดจุดศูนย์กลางการหมุนชั่วขณะขององค์ประกอบที่สามของกลไก คือ ตัว BAC นั้น จะใช้จุด A และ B เนื่องจากทราบลักษณะการเคลื่อนที่ของมันแล้ว ซึ่งได้มาจากข้อมูลเกี่ยวกับข้อต่อ P -A และ P -B

ทิศทางความเร็วของจุด A แสดงโดยเวกเตอร์ V จุดศูนย์กลางการหมุนชั่วขณะของจุด A ต้องตั้งฉากกับเวกเตอร์นี้ (เนื่องจาก V อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมในแนวสัมผัส) เส้นเดียวที่ตรงตามข้อกำหนดนี้คือเส้นที่อยู่บนแนวเดียวกับจุดเชื่อมต่อ P -A บนเส้นนี้จะมีจุด P ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางการหมุนชั่วขณะของวัตถุ BAC

สิ่งที่ใช้ได้กับจุด A ก็ใช้ได้กับจุด B ด้วย ดังนั้นจุดศูนย์กลางการหมุนชั่วขณะ P นี้จึงอยู่บนเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ V ซึ่งเป็นเส้นตรงเดียวกันกับจุดเชื่อมต่อ P -B ดังนั้นจุดศูนย์กลางการหมุนชั่วขณะ P ของวัตถุ BAC คือจุดที่เส้นตรงที่ลากผ่าน P -A และ P -B ตัดกัน

เนื่องจากจุดศูนย์กลางการหมุนชั่วขณะ P นี้เป็นศูนย์กลางของทุกจุดบนตัววัตถุ BAC ดังนั้นสำหรับจุดใดๆ ก็ตาม เช่น จุด C เราสามารถกำหนดความเร็วและทิศทางการเคลื่อนที่ได้โดยลากเส้นเชื่อม P กับ C ทิศทางการเคลื่อนที่ของจุด C จะตั้งฉากกับเส้นเชื่อมนี้ และความเร็วจะเป็นสัดส่วนกับระยะห่างจากจุด P

โดยใช้วิธีการนี้ต่อไป โดยให้จุดเชื่อมต่อสองจุด P -A และ P -B หมุนรอบจุดศูนย์กลางการหมุนชั่วขณะของตัวเอง เราสามารถกำหนดจุดศูนย์กลางการหมุนชั่วขณะ P ได้ จากนั้นเราสามารถกำหนดเส้นทางการเคลื่อนที่ของ C หรือจุดอื่นใดบนตัววัตถุ BAC ได้

ในการวิจัยทางชีวกลศาสตร์ ศูนย์กลางการหมุนชั่วขณะจะถูกสังเกตเพื่อการทำงานของข้อต่อในแขนขาบนและล่าง^{[ 3 ]} ตัวอย่างเช่น ในการวิเคราะห์ข้อเข่า [ ^{4 ] [ 5 ] [ 6 ]}ข้อเท้า [ ^{7 ] หรือ}ข้อไหล่[ ^{8 ] [ 9 ] ความ} รู้ดังกล่าวช่วยในการพัฒนา^ข้อต่อเทียมและอวัยวะ เทียม เช่น ข้อศอก^{[ 10 ]}หรือข้อต่อนิ้ว^{[ 11 ]}

การศึกษาข้อต่อของม้า: "...เวกเตอร์ความเร็วที่กำหนดจากจุดศูนย์กลางการหมุนชั่วขณะบ่งชี้ว่าพื้นผิวข้อต่อเลื่อนไปมาบนกันและกัน" ^{[ 12 ]}

การศึกษาเกี่ยวกับการหมุนเรือที่เคลื่อนที่ผ่านน้ำ^{[ 13 ]}

ลักษณะการเบรกของรถยนต์อาจได้รับการปรับปรุงโดยการปรับเปลี่ยนการออกแบบกลไกแป้นเบรก^{[ 14 ]}

การออกแบบระบบกันสะเทือนของจักรยาน^{[ 15 ]}หรือของรถยนต์^{[ 16 ]}

ในกรณีของข้อต่อในระบบกันสะเทือนแบบสี่ข้อต่อเช่นระบบกันสะเทือนแบบปีกนกคู่เมื่อมองจากด้านหน้า เส้นตั้งฉากกับความเร็วจะอยู่ตามแนวข้อต่อที่เชื่อมต่อข้อต่อที่ยึดกับพื้นกับข้อต่อตัวเชื่อม โครงสร้างนี้ใช้เพื่อกำหนดจุดศูนย์กลางการหมุนเชิงจ ลน์ ของระบบกันสะเทือน