ในทฤษฎีความน่าจะเป็น อสมการเชบิเชฟแบบหลายมิติ [ ^{1 ] เป็นการ}วางนัยทั่วไปของอสมการเชบิเชฟซึ่งกำหนดขอบเขตของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ตัวแปรสุ่มแตกต่างจากค่าที่คาดหวังมากกว่าจำนวนที่กำหนด

อนุญาต${\displaystyle X}$เป็น${\displaystyle N}$เวกเตอร์สุ่มมิติที่มีค่าคาดหวัง${\displaystyle \mu =\operatorname {E} [X]}$และเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม

${\displaystyle V=\operatorname {E} [(X-\mu )(X-\mu )^{T}].\,}$

ถ้า${\displaystyle V}$เป็นเมทริกซ์บวกกำหนดสำหรับจำนวนจริง ใดๆ${\displaystyle t>0}$:

${\displaystyle \Pr \left({\sqrt {(X-\mu )^{T}V^{-1}(X-\mu )}}>t\right)\leq {\frac {N}{t^{2}}}}$

เนื่องจาก${\displaystyle V}$เป็นเมทริกซ์บวกแน่นอน ดังนั้น ก็เป็นเช่นกัน${\displaystyle V^{-1}}$กำหนดตัวแปรสุ่ม

${\displaystyle y=(X-\mu )^{T}V^{-1}(X-\mu ).}$

เนื่องจาก${\displaystyle y}$ถ้าค่าเป็น บวก อสมการของมาร์คอฟ ก็จะเป็น จริง:

${\displaystyle \Pr \left({\sqrt {(X-\mu )^{T}V^{-1}(X-\mu )}}>t\right)=\Pr({\sqrt {y}}>t)=\Pr(y>t^{2})\leq {\frac {\operatorname {E} [y]}{t^{2}}}.}$

ในที่สุด,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [y]&=\operatorname {E} [(X-\mu )^{T}V^{-1}(X-\mu )]\\[6pt]&=\operatorname {E} [\operatorname {trace} (V^{-1}(X-\mu )(X-\mu )^{T})]\\[6pt]&=\operatorname {trace} (V^{-1}V)=N\end{aligned}}.}$^{[ 1 ] [ 2 ]}

มีการขยายอสมการของเชบีเชฟในรูปแบบเวกเตอร์ไปสู่การตั้งค่ามิติอนันต์โดยตรง^{[ต้องการเอกสารอ้างอิงเพิ่มเติม]} [ ^{3 ] ให้} X เป็นตัวแปรสุ่มซึ่งมีค่าอยู่ในปริภูมิ Fréchet${\displaystyle {\mathcal {X}}}$(พร้อมด้วยเซมินอร์ม|| ⋅ || ) ซึ่งรวมถึงการตั้งค่าทั่วไปส่วนใหญ่ของตัวแปรสุ่มแบบเวกเตอร์ เช่น เมื่อ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$เป็นปริภูมิบานาค (ที่มีบรรทัดฐานเดียว) ปริภูมิฮิลเบิร์ตหรือการตั้งค่ามิติจำกัดดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น

สมมติว่าXเป็น " อันดับสองที่แข็งแกร่ง " ซึ่งหมายความว่า

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\|X\|_{\alpha }^{2}\right)<\infty }$

สำหรับเซมินอร์มทุกตัว|| ⋅ || นี่เป็นการวางนัยทั่วไปของข้อกำหนดที่ว่าX มีความแปรปรวนจำกัด และจำเป็นสำหรับรูป ^แบบที่แข็งแกร่งของอสมการเชบิเชฟในมิติอนันต์ คำศัพท์ "ลำดับที่แข็งแกร่งสอง" มาจากVakhania [ ^{4 ]}

อนุญาต${\displaystyle \mu \in {\mathcal {X}}}$ให้ เป็นปริพันธ์เพ็ตติสของX (กล่าวคือ การวางนัยทั่วไปของค่าเฉลี่ยในรูปแบบเวกเตอร์) และให้

${\displaystyle \sigma _{a}:={\sqrt {\operatorname {E} \|X-\mu \|_{\alpha }^{2}}}}$

ให้ เป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยสัมพันธ์กับเซมินอร์ม|| ⋅ || ในบริบทนี้ เราสามารถกล่าวได้ดังต่อไปนี้:

รูปแบบทั่วไปของอสมการเชบิเชฟ${\displaystyle \forall k>0:\quad \Pr \left(\|X-\mu \|_{\alpha }\geq k\sigma _{\alpha }\right)\leq {\frac {1}{k^{2}}}.}$

บทพิสูจน์บทพิสูจน์นั้นตรงไปตรงมาและโดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับเวอร์ชันจำกัด^{[ต้องการแหล่งที่มา]}ถ้าσ = 0แล้วXจะคงที่ (และเท่ากับμ ) เกือบแน่นอนดังนั้นอสมการจึงเป็นเรื่องง่าย

ถ้า

${\displaystyle \|X-\mu \|_{\alpha }\geq k\sigma _{\alpha }}$

ดังนั้น|| X − μ || > 0เราจึงสามารถหารด้วย|| X − μ || ได้อย่างปลอดภัย เคล็ดลับสำคัญในอสมการของเชบิเชฟคือการตระหนักว่า${\displaystyle 1={\tfrac {\|X-\mu \|_{\alpha }^{2}}{\|X-\mu \|_{\alpha }^{2}}}}$.

การคำนวณต่อไปนี้เป็นการพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr \left(\|X-\mu \|_{\alpha }\geq k\sigma _{\alpha }\right)&=\int _{\Omega }\mathbf {1} _{\|X-\mu \|_{\alpha }\geq k\sigma _{\alpha }}\,\mathrm {d} \Pr \\&=\int _{\Omega }\left({\frac {\|X-\mu \|_{\alpha }^{2}}{\|X-\mu \|_{\alpha }^{2}}}\right)\cdot \mathbf {1} _{\|X-\mu \|_{\alpha }\geq k\sigma _{\alpha }}\,\mathrm {d} \Pr \\[6pt]&\leq \int _{\Omega }\left({\frac {\|X-\mu \|_{\alpha }^{2}}{(k\sigma _{\alpha })^{2}}}\right)\cdot \mathbf {1} _{\|X-\mu \|_{\alpha }\geq k\sigma _{\alpha }}\,\mathrm {d} \Pr \\[6pt]&\leq {\frac {1}{k^{2}\sigma _{\alpha }^{2}}}\int _{\Omega }\|X-\mu \|_{\alpha }^{2}\,\mathrm {d} \Pr &&\mathbf {1} _{\|X-\mu \|_{\alpha }\geq k\sigma _{\alpha }}\leq 1\\[6pt]&={\frac {1}{k^{2}\sigma _{\alpha }^{2}}}\left(\operatorname {E} \|X-\mu \|_{\alpha }^{2}\right)\\[6pt]&={\frac {1}{k^{2}\sigma _{\alpha }^{2}}}\left(\sigma _{\alpha }^{2}\right)\\[6pt]&={\frac {1}{k^{2}}}\end{aligned}}}$