ในทฤษฎีระบบ ทางคณิตศาสตร์ ระบบหลายมิติหรือระบบ mDคือระบบที่ไม่เพียงแต่ มี ตัวแปรอิสระ เพียงตัวเดียว (เช่น เวลา) แต่ยังมีตัวแปรอิสระหลายตัว

ปัญหาสำคัญ เช่นการแยกตัวประกอบและความเสถียรของ ระบบ mมิติ ( m  > 1) ได้รับความสนใจจากนักวิจัยและผู้ปฏิบัติงานจำนวนมากในช่วงไม่นานมานี้ เหตุผลก็คือ การแยกตัวประกอบและความเสถียรนั้นไม่ใช่การขยายโดยตรงจากการแยกตัวประกอบและความเสถียรของระบบ 1 มิติ เพราะตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตไม่มีอยู่ในวงแหวนของพหุนาม mมิติ ( m  > 1)

ระบบหลายมิติหรือ ระบบ m -D เป็นพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นสำหรับการประมวลผลภาพดิจิทัล สมัยใหม่ ที่มีการใช้งานมากมายในด้านชีวการแพทย์เทคโนโลยีเอ็กซ์เรย์และ การ สื่อสารผ่านดาวเทียม^{[ 1 ] [ 2 ]} นอกจากนี้ยังมีงานวิจัยบางชิ้นที่รวมระบบm -D เข้ากับ สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDEs)

แบบจำลองปริภูมิสถานะคือการแสดงระบบที่ผลกระทบของค่าอินพุต "ก่อนหน้า" ทั้งหมดถูกบรรจุอยู่ในเวกเตอร์สถานะ ในกรณีของ ระบบ mมิติ แต่ละมิติจะมีเวกเตอร์สถานะที่บรรจุผลกระทบของอินพุตก่อนหน้าสัมพันธ์กับมิตินั้น การรวบรวมเวกเตอร์สถานะมิติทั้งหมด ณ จุดใดจุดหนึ่งจะประกอบเป็นเวกเตอร์สถานะรวม ณ จุดนั้น

พิจารณา ระบบเชิงเส้นสองมิติ (2d) แบบ ไม่ต่อเนื่องในอวกาศที่เป็นเอกรูปซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงตามพื้นที่และมีเหตุผล สามารถแสดงในรูปแบบเมทริกซ์เวกเตอร์ได้ดังนี้: ^{[ 3 ] [ 4 ]}

แทนเวกเตอร์อินพุตที่แต่ละจุดด้วยแทนเวกเตอร์เอาต์พุตด้วยแทนเวกเตอร์สถานะแนวนอนด้วยและแทนเวกเตอร์สถานะแนวตั้งด้วย จากนั้น การดำเนินการที่แต่ละจุดจะถูกกำหนดโดย: ${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle u(i,j)}$${\displaystyle y(i,j)}$${\displaystyle R(i,j)}$${\displaystyle S(i,j)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R(i+1,j)&=A_{1}R(i,j)+A_{2}S(i,j)+B_{1}u(i,j)\\S(i,j+1)&=A_{3}R(i,j)+A_{4}S(i,j)+B_{2}u(i,j)\\y(i,j)&=C_{1}R(i,j)+C_{2}S(i,j)+Du(i,j)\end{aligned}}}$

โดยที่และเป็นเมทริกซ์ที่มีมิติเหมาะสม ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},B_{1},B_{2},C_{1},C_{2}}$${\displaystyle D}$

สมการเหล่านี้สามารถเขียนให้กระชับยิ่งขึ้นได้โดยการรวมเมทริกซ์เข้าด้วยกัน:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}R(i+1,j)\\S(i,j+1)\\y(i,j)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&B_{1}\\A_{3}&A_{4}&B_{2}\\C_{1}&C_{2}&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R(i,j)\\S(i,j)\\u(i,j)\end{bmatrix}}}$

เมื่อกำหนดเวกเตอร์อินพุตที่แต่ละจุดและค่าสถานะเริ่มต้นแล้ว ค่าของเวกเตอร์เอาต์พุตแต่ละตัวสามารถคำนวณได้โดยการดำเนินการข้างต้นซ้ำๆ กัน ${\displaystyle u(i,j)}$

ระบบเชิงเส้นสองมิติแบบไม่ต่อเนื่อง มักถูกอธิบายด้วยสมการผลต่างย่อยในรูปแบบ: ${\displaystyle \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}y(ip,jq)=\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}x(ip,jq)}$

โดยที่คือค่าอินพุต และคือค่าเอาต์พุตที่จุดและและเป็นค่าสัมประสิทธิ์คงที่ ${\displaystyle x(i,j)}$${\displaystyle y(i,j)}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle a_{p,q}}$${\displaystyle b_{p,q}}$

ในการหาฟังก์ชันถ่ายโอนสำหรับระบบ จะใช้การแปลง Z แบบ 2 มิติกับทั้งสองข้างของสมการข้างต้น

${\displaystyle \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}Y(z_{1},z_{2})=\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}X(z_{1},z_{2})}$

เมื่อสลับตำแหน่งจะได้ฟังก์ชันถ่ายโอนดังนี้: ${\displaystyle T(z_{1},z_{2})}$

${\displaystyle T(z_{1},z_{2})={Y(z_{1},z_{2}) \over X(z_{1},z_{2})}={\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q} \over \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}}}$

ดังนั้น เมื่อกำหนดรูปแบบค่าอินพุตใดๆ แล้ว จะคำนวณ Z -transform 2 มิติของรูปแบบนั้น จากนั้นคูณด้วยฟังก์ชันถ่ายโอนเพื่อสร้างZ -transform ของเอาต์พุตของระบบ ${\displaystyle T(z_{1},z_{2})}$

โดยทั่วไปแล้ว การประมวลผลภาพหรือภารกิจการคำนวณ MD อื่นๆ จะถูกอธิบายด้วยฟังก์ชันถ่ายโอนที่มีคุณสมบัติการกรองบางอย่าง แต่เป็นที่ต้องการแปลงให้อยู่ในรูปแบบปริภูมิสถานะเพื่อการคำนวณที่ตรงไปตรงมามากขึ้น การแปลงดังกล่าวเรียกว่า การทำให้ฟังก์ชันถ่ายโอนเป็นรูปธรรม (realization of the transfer function)

พิจารณาระบบเชิงสาเหตุ เชิงเส้น 2 มิติที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามพื้นที่ ซึ่งมีความสัมพันธ์ระหว่างอินพุตและเอาต์พุตดังที่อธิบายไว้ดังนี้:

${\displaystyle Y(z_{1},z_{2})={\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q} \over \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}}X(z_{1},z_{2})}$

มีการพิจารณาสองกรณีแยกกัน 1) ผลรวมด้านล่างเป็นค่าคงที่1 2) ผลรวมด้านบนเป็นค่าคงที่กรณีที่ 1 มักเรียกว่ากรณี "ค่าเป็นศูนย์ทั้งหมด" หรือ "การตอบสนองต่อแรงกระตุ้นแบบจำกัด" ในขณะที่กรณีที่ 2 เรียกว่ากรณี "ค่าเป็นขั้วทั้งหมด" หรือ " การตอบสนองต่อแรงกระตุ้นแบบอนันต์ " สถานการณ์ทั่วไปสามารถนำไปใช้ได้โดยการเรียงลำดับของทั้งสองกรณีแยกกัน วิธีแก้ปัญหาสำหรับกรณีที่ 1 นั้นง่ายกว่ากรณีที่ 2 อย่างมาก และแสดงไว้ด้านล่าง ${\displaystyle k}$

${\displaystyle Y(z_{1},z_{2})=\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}X(z_{1},z_{2})}$

เวกเตอร์ปริภูมิสถานะจะมีมิติดังต่อไปนี้:

${\displaystyle R(1\times m),\quad S(1\times n),\quad x(1\times 1)}$และ${\displaystyle y(1\times 1)}$

แต่ละพจน์ในการบวกเกี่ยวข้องกับกำลังลบ (หรือศูนย์) ของและซึ่งสอดคล้องกับการหน่วงเวลา (หรือการเลื่อน) ตามมิติที่เกี่ยวข้องของอินพุต การหน่วงเวลานี้สามารถทำได้โดยการวางค่า ตามแนวทแยงมุมในเมท ริกซ์ และและวางสัมประสิทธิ์การคูณในตำแหน่งที่เหมาะสมในเมทริกซ์ ค่าจะถูกวางไว้ในตำแหน่งบนสุดของเมทริกซ์ ซึ่งจะคูณอินพุตและเพิ่มเข้ากับส่วนประกอบแรกของเวกเตอร์ นอกจากนี้ ค่าจะถูกวางไว้ในเมทริกซ์ ซึ่งจะคูณอินพุตและเพิ่มเข้ากับเอาต์พุตเมทริกซ์จึงปรากฏดังนี้: ${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle z_{2}}$${\displaystyle x(i,j)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{4}}$${\displaystyle b_{i,j}}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle b_{0,0}}$${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle x(i,j)}$${\displaystyle R_{i,j}}$${\displaystyle b_{0,0}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x(i,j)}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle A_{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&0\\1&0&0&\cdots &0&0\\0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A_{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A_{3}={\begin{bmatrix}b_{1,n}&b_{2,n}&b_{3,n}&\cdots &b_{m-1,n}&b_{m,n}\\b_{1,n-1}&b_{2,n-1}&b_{3,n-1}&\cdots &b_{m-1,n-1}&b_{m,n-1}\\b_{1,n-2}&b_{2,n-2}&b_{3,n-2}&\cdots &b_{m-1,n-2}&b_{m,n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\b_{1,2}&b_{2,2}&b_{3,2}&\cdots &b_{m-1,2}&b_{m,2}\\b_{1,1}&b_{2,1}&b_{3,1}&\cdots &b_{m-1,1}&b_{m,1}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A_{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&0\\1&0&0&\cdots &0&0\\0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle B_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\\\vdots \\0\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle B_{2}={\begin{bmatrix}b_{0,n}\\b_{0,n-1}\\b_{0,n-2}\\\vdots \\b_{0,2}\\b_{0,1}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle C_{1}={\begin{bmatrix}b_{1,0}&b_{2,0}&b_{3,0}&\cdots &b_{m-1,0}&b_{m,0}\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle C_{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&1\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle D={\begin{bmatrix}b_{0,0}\end{bmatrix}}}$

^{[ 3 ] [ 4 ]}