ในทางเรขาคณิตจุดเอกฐานบนเส้นโค้งคือจุดที่เส้นโค้งนั้นไม่สามารถหาได้จาก การฝังตัว แบบเรียบของพารามิเตอร์นิยามที่แน่นอนของจุดเอกฐานนั้นขึ้นอยู่กับประเภทของเส้นโค้งที่กำลังศึกษา

เส้นโค้งพีชคณิตในระนาบสามารถนิยามได้ว่าเป็นเซตของจุด( x , y )ที่สอดคล้องกับสมการในรูปแบบ${\displaystyle f(x,y)=0,}$โดยที่fเป็นฟังก์ชันพหุนาม${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} .}$ถ้า f ถูก ขยายเป็น $${\displaystyle f=a_{0}+b_{0}x+b_{1}y+c_{0}x^{2}+2c_{1}xy+c_{2}y^{2}+\cdots }$$ ถ้าจุดกำเนิด(0, 0)อยู่บนเส้นโค้งแล้วa = 0ถ้าb ≠ 0ทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยายจะรับประกันว่ามีฟังก์ชันเรียบhที่ทำให้เส้นโค้งมีรูปแบบy = h ( x )ใกล้จุดกำเนิด ในทำนองเดียวกัน ถ้าb ≠ 0ก็จะมีฟังก์ชันเรียบkที่ทำให้เส้นโค้งมีรูปแบบx = k ( y )ใกล้จุดกำเนิด ไม่ว่าในกรณีใด ก็จะมีแผนที่เรียบจาก⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$ไปยังระนาบที่กำหนดเส้นโค้งในบริเวณใกล้เคียงจุดกำเนิด โปรดสังเกตว่าที่จุดกำเนิด $${\displaystyle b_{0}={\frac {\partial f}{\partial x}},\;b_{1}={\frac {\partial f}{\partial y}},}$$ ดังนั้นเส้นโค้งจะไม่เอกฐานหรือเป็น เส้น โค้งปกติ ที่จุดกำเนิดก็ต่อเมื่อ อนุพันธ์ย่อยอย่างน้อยหนึ่งตัวของfไม่เป็นศูนย์ จุดเอกฐานคือจุดบนเส้นโค้งที่อนุพันธ์ย่อยทั้งสองตัวเป็นศูนย์ $${\displaystyle f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial y}}=0.}$$

คะแนนสองเท่า

ถ้าb และb เป็น0 ทั้งคู่ในการกระจายข้างต้น แต่ c , c , c อย่างน้อยหนึ่งตัวไม่เป็น 0 แล้วจุดกำเนิดจะเรียกว่าจุดคู่ของเส้นโค้ง อีกครั้งหนึ่ง ให้ใส่${\displaystyle y=mx,}$fสามารถเขียนได้ $${\displaystyle f=(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+(d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3})x^{3}+\cdots .}$$ คะแนนสองเท่าสามารถจำแนกได้ตามวิธีการแก้ปัญหาของ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.}$

ครูโนดส์

ถ้า${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$มีคำตอบจริงสองคำตอบสำหรับmนั่นคือ ถ้า${\displaystyle c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}<0,}$ดังนั้นจุดกำเนิดจึงเรียกว่าจุดตัดแกน (crunode ) เส้นโค้งในกรณีนี้ตัดตัวเองที่จุดกำเนิดและมีเส้นสัมผัสสองเส้นที่แตกต่างกัน ซึ่งสอดคล้องกับคำตอบสองข้อของสมการ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.}$ในกรณีนี้ฟังก์ชันfมีจุดอานม้า อยู่ที่จุดกำเนิด

แอกโนด

ถ้า${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$ไม่มีวิธีแก้ปัญหาที่แท้จริงสำหรับmนั่นคือ ถ้า${\displaystyle c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}>0,}$ดังนั้นจุดกำเนิดจึงเรียกว่าจุดแอกโนดในระนาบจริง จุดกำเนิดเป็นจุดโดดเดี่ยวบนเส้นโค้ง อย่างไรก็ตาม เมื่อพิจารณาว่าเป็นเส้นโค้งเชิงซ้อน จุดกำเนิดจะไม่ใช่จุดโดดเดี่ยวและมีเส้นสัมผัสจินตนาการสองเส้นที่สอดคล้องกับคำตอบเชิงซ้อนสองคำตอบของสมการ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.}$ในกรณีนี้ฟังก์ชันfมีค่าสุดขีดเฉพาะ ที่จุดกำเนิด

คัสต์

ถ้า${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$มีคำตอบเดียวที่มีความซ้ำซ้อน 2 สำหรับmนั่นคือ ถ้า${\displaystyle c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}=0,}$ดังนั้นจุดกำเนิดจึงเรียกว่าจุดยอดแหลมเส้นโค้งในกรณีนี้เปลี่ยนทิศทางที่จุดกำเนิด ทำให้เกิดจุดแหลมคม เส้นโค้งมีเส้นสัมผัสเพียงเส้นเดียวที่จุดกำเนิด ซึ่งอาจถือได้ว่าเป็นเส้นสัมผัสสองเส้นที่ทับกัน

การจำแนกประเภทเพิ่มเติม

คำว่า"โหนด"ใช้เพื่อระบุทั้งครูโนดหรือแอกโนด กล่าวคือ จุดคู่ที่ไม่ใช่จุดแหลม จำนวนโหนดและจำนวนจุดแหลมบนเส้นโค้งเป็นสองตัวแปรคงที่ที่ใช้ในสูตรของพลุคเกอร์

หากหนึ่งในวิธีแก้ปัญหาของ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$นอกจากนี้ยังเป็นวิธีแก้ปัญหาของ${\displaystyle d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+m^{3}d_{3}=0,}$ดังนั้น กิ่งที่สอดคล้องกันของเส้นโค้งจะมีจุดเปลี่ยนเว้าที่จุดกำเนิด ในกรณีนี้ จุดกำเนิดเรียกว่า จุดเปลี่ยนเว้า (flecnode ) ถ้าเส้นสัมผัสทั้งสองมีคุณสมบัตินี้ ดังนั้น${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}}$เป็นปัจจัยหนึ่งของ${\displaystyle d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+m^{3}d_{3},}$ดังนั้นจุดกำเนิดจึงเรียกว่าไบฟเลคโนด^{[ 2 ]}

หลายจุด

โดยทั่วไป หากพจน์ทั้งหมดที่มีดีกรีน้อยกว่าkเป็น 0 และอย่างน้อยหนึ่งพจน์ที่มีดีกรีkไม่เป็น 0 ในfแล้ว เส้นโค้งจะเรียกว่ามีจุดหลายจุดลำดับkหรือจุด k-ple เส้นโค้งจะมีเส้นสัมผัส k เส้นที่จุดกำเนิด โดยทั่วไปแม้ว่าเส้นสัมผัสบางเส้นอาจเป็นจำนวนจินตนาการก็ตาม^{[ 3 ]}

เส้น โค้ง พารามิเตอร์ใน⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$⁠นิยามว่าคือภาพของฟังก์ชัน ⁠${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2},}$⁠${\displaystyle g(t)=(g_{1}(t),g_{2}(t)).}$จุดเอกลักษณ์ คือจุดที่ $${\displaystyle {\frac {dg_{1}}{dt}}={\frac {dg_{2}}{dt}}=0.}$$

เส้นโค้งหลายเส้นสามารถกำหนดได้ทั้งสองวิธี แต่คำจำกัดความทั้งสองอาจไม่ตรงกัน ตัวอย่างเช่นจุดยอดแหลมสามารถกำหนดได้บน เส้น โค้งพีชคณิต${\displaystyle x^{3}-y^{2}=0,}$หรือบนเส้นโค้งพาราเมตริก${\displaystyle g(t)=(t^{2},t^{3}).}$ทั้งสองนิยามให้จุดเอกฐานที่จุดกำเนิด อย่างไรก็ตามโหนดเช่นโหนดของ${\displaystyle y^{2}-x^{3}-x^{2}=0}$ณ จุดกำเนิดนั้นมีจุดเอกฐานของเส้นโค้งซึ่งถือว่าเป็นเส้นโค้งพีชคณิต แต่ถ้าเรากำหนดพารามิเตอร์เป็น${\displaystyle g(t)=(t^{2}-1,t(t^{2}-1)),}$จากนั้น${\displaystyle g'(t)}$⁠ไม่เคยหายไป และด้วยเหตุนี้ จุดดังกล่าวจึงไม่ใช่จุดเอกฐานของเส้นโค้งพารามิเตอร์ตามที่นิยามไว้ข้างต้น

ต้องระมัดระวังในการเลือกการกำหนดพารามิเตอร์ ตัวอย่างเช่น เส้นตรงy = 0สามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้โดย${\displaystyle g(t)=(t^{3},0),}$ซึ่งมีจุดเอกฐานอยู่ที่จุดกำเนิด เมื่อกำหนดพารามิเตอร์โดย${\displaystyle g(t)=(t,0),}$มันไม่ใช่เมทริกซ์เอกฐาน ดังนั้น ในทางเทคนิคแล้ว การกล่าวถึงจุดเอกฐานของการแมปแบบเรียบ จึงถูกต้องกว่าการกล่าว ถึงจุดเอกฐานของเส้นโค้ง

คำจำกัดความข้างต้นสามารถขยายไปครอบคลุมเส้นโค้งโดยปริยายซึ่งกำหนดเป็นเซตศูนย์ได้${\displaystyle f^{-1}(0)}$ของฟังก์ชันเรียบและไม่จำเป็นต้องพิจารณาเฉพาะวาไรตี้เชิงพีชคณิตเท่านั้น นิยามเหล่านี้สามารถขยายไปครอบคลุมเส้นโค้งในมิติที่สูงกว่าได้

ทฤษฎีบทของHassler Whitney ^{[ 4 ] [ 5 ]}ระบุว่า

เส้นโค้งที่มีพารามิเตอร์ใดๆ ก็สามารถนิยามได้ว่าเป็นเส้นโค้งโดยปริยาย และการจำแนกจุดเอกลักษณ์ของเส้นโค้งสามารถศึกษาได้ในฐานะการจำแนกจุดเอกลักษณ์ของวาไรตี้พีชคณิต

ภาวะเอกฐานที่เป็นไปได้บางส่วน ได้แก่:

• จุดโดดเดี่ยว:${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0,}$แอกโนด
• เส้นสองเส้นตัดกัน:${\displaystyle x^{2}-y^{2}=0,}$กระดูกครูโนด
• จุดเปลี่ยนสำคัญ :${\displaystyle x^{3}-y^{2}=0,}$เรียกอีกอย่างว่าสปิโนด
• แทคโนด :${\displaystyle x^{4}-y^{2}=0}$
• ส่วนปลายรูปสี่เหลี่ยมคางหมู:${\displaystyle x^{5}-y^{2}=0.}$

• จุดเอกลักษณ์ของวาไรตี้พีชคณิต
• ทฤษฎีเอกภาวะ
• ทฤษฎีมอร์ส