ปัญหาของนโปเลียนเป็น ปัญหาเกี่ยว กับการสร้างวงกลมโดยใช้เข็มทิศในปัญหานี้วงกลมและจุดศูนย์กลาง ของวงกลมนั้น ถูกกำหนดมาให้ ความท้าทายคือการแบ่งวงกลมออกเป็นสี่ส่วน เท่าๆ กัน โดยใช้เพียงเข็มทิศ เท่านั้น ^{[ 1 ] [ 2 ]}นโปเลียน เป็นที่รู้จักกันว่าเป็นนักคณิตศาสตร์สมัครเล่น แต่ไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่าเขาเป็น ผู้สร้างหรือแก้ปัญหานี้ขึ้นมาเองหรือ ไม่ ลอเรนโซ มาสเชโรนีนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี เพื่อนของนโปเลียน ได้นำข้อจำกัดของการใช้เพียงเข็มทิศ (ไม่มีไม้บรรทัด) มาใช้ในการสร้างรูปทรงเรขาคณิตแต่ในความเป็นจริง ความท้าทายข้างต้นนั้นง่ายกว่าปัญหาของนโปเลียนที่แท้จริงซึ่งประกอบด้วยการหาจุดศูนย์กลางของวงกลมที่กำหนดโดยใช้เพียงเข็มทิศเท่านั้น ส่วนต่อไปนี้จะอธิบายวิธีแก้ปัญหาทั้งสามข้อและพิสูจน์ว่าวิธีเหล่านั้นใช้ได้ผล

หนังสือ " Euclides Danicus " ของGeorg Mohr ที่ตีพิมพ์ในปี 1672 ได้คาดการณ์ถึงแนวคิดของ Mascheroni ไว้ล่วงหน้าแล้ว แม้ว่าหนังสือเล่มนี้จะถูกค้นพบอีกครั้งในปี 1928 ก็ตาม

ลากเส้น โค้งโดยให้จุด X ใดๆ บนวงกลมC เป็นจุดศูนย์กลาง แล้วลากผ่านจุด O (จุดศูนย์กลางของวงกลมC ) ให้เส้นโค้งนี้ตัดกับวงกลมC ที่จุด V และ Y จากนั้นทำเช่นเดียวกันโดยให้จุด Y เป็นจุดศูนย์กลาง แล้วลากผ่านจุด O ให้เส้นโค้ง นี้ตัดกับวงกลมCที่จุด X และ Z โปรดสังเกตว่าส่วนของเส้นตรง OV, OX, OY, OZ, VX, XY, YZ มีความยาวเท่ากัน โดยระยะทางทั้งหมดเท่ากับรัศมีของวงกลมC

ต่อไปให้ลากส่วนโค้งที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ V และผ่านจุด Y และลากส่วนโค้งที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ Z และผ่านจุด X เรียกจุดตัดของ ส่วนโค้งทั้งสองว่า T โปรดสังเกตว่าระยะทาง VY และ XZ คือ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$คูณด้วยรัศมีของวงกลมC

ตั้งรัศมีของเข็มทิศให้เท่ากับระยะทาง OT (${\displaystyle {\sqrt {2}}}$คูณรัศมีของวงกลมCด้วยค่าหนึ่ง แล้วลากส่วนโค้งที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ Z ซึ่งตัดกับวงกลมCที่จุด U และ W UVWZ เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและส่วนโค้งของC UV, VW, WZ และ ZU แต่ละ ส่วนมีความยาวเท่ากับหนึ่งในสี่ของ เส้นรอบวง ของวงกลมC

ให้ (C) เป็นวงกลมซึ่งต้องการหาจุดศูนย์กลาง^{[ 3 ]}

ให้ A เป็นจุดบน (C)

วงกลม (C1) ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ A ตัดกับ (C) ที่จุด B และ B'

วงกลมสองวง (C2) ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ B และ B' โดยมีรัศมี AB ตัดกันอีกครั้งที่จุด C

วงกลม (C3) ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ C และรัศมี AC ตัดกับวงกลม (C1) ที่จุด D และ D'

วงกลมสองวง (C4) ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ D และ D' โดยมีรัศมี AD มาบรรจบกันที่ A และที่ O ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางที่ต้องการของ (C)

หมายเหตุ: เพื่อให้การคำนวณนี้ได้ผล รัศมีของวงกลม (C1) ต้องไม่เล็กหรือใหญ่เกินไป กล่าวคือ รัศมีนี้ต้องอยู่ระหว่างครึ่งหนึ่งและสองเท่าของรัศมีของ (C): หากรัศมีมากกว่าเส้นผ่านศูนย์กลางของ (C) วงกลม (C1) จะไม่ตัดกับ (C); หากรัศมีสั้นกว่าครึ่งหนึ่งของรัศมีของ (C) จุด C จะอยู่ระหว่าง A และ O และวงกลม (C3) จะไม่ตัดกับ (C1)

การพิสูจน์

แนวคิดเบื้องหลังการพิสูจน์คือการสร้างความยาว b²/a โดยใช้เพียงวงเวียน เมื่อทราบ ความยาว aและb และ a/2 ≤ b ≤ 2a

ในรูปทางด้านขวา วงกลมรัศมีaถูกวาดขึ้นโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ O บนวงกลมนั้น เราเลือกจุด A จากนั้นเราสามารถกำหนดจุด B และ B' จากจุด A' ได้ โดยที่ AB และ AB' มีความยาวเท่ากับbจุด A' อยู่ตรงข้ามกับจุด A แต่ไม่จำเป็นต้องสร้างขึ้น (เพราะต้องใช้ไม้บรรทัด ) ในทำนองเดียวกัน จุด H คือจุดตัด (เสมือน) ของ AA' และ BB' จุด C สามารถหาได้จาก B และ B ' โดยใช้วงกลมรัศมีb

สามเหลี่ยม ABA' มีมุมฉากที่จุด B และ BH ตั้งฉากกับ AA' ดังนั้น :

${\displaystyle {\frac {AH}{AB}}={\frac {AB}{AA'}}}$

ดังนั้น,${\displaystyle AH={\frac {b^{2}}{2a}}}$และ AC = b²/a

ในโครงสร้างของศูนย์กลางข้างต้น รูปแบบดังกล่าวปรากฏขึ้นสองครั้ง :

• จุด A, B และ B' อยู่บนวงกลม (C) ที่มีรัศมี a = r ; AB, AB', BC และ B'C เท่ากับ b = R ดังนั้น${\displaystyle AC={\frac {R^{2}}{r}}}$;
• จุด A, D และ D' อยู่บนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง C และรัศมี C${\displaystyle a_{2}={\frac {R^{2}}{r}}}$ DA, D'A, DO และ D'O มีค่าเท่ากับ b = R ดังนั้น${\displaystyle AO={\frac {R^{2}}{R^{2}/r}}=r}$.

ดังนั้น O จึงเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม (C)

ให้ |AD| เป็นระยะทางซึ่งต้องค้นหาจุดศูนย์กลาง^{[ 4 ]}

Two circles (C) centered at A and (C) centered at D with radius |AD| meet at B and B'.

A circle (C) centered at B' with radius |B'B| meets the circle (C) at A'.

A circle (C) centered at A' with radius |A'A| meets the circle (C) at E and E'.

Two circles (C) centered at E and (C) centered at E' with radius |EA| meet at A and O. O is the sought center of |AD|.

• The design principle can also be applied to a line segmentAD.
• The proof described above is also applicable for this design.

Note: Point A in design is equivalent to A in proof.

Therefore radius: (C) ≙ (C) and points: O ≙ H, B ≙ B, D ≙ O and A' ≙ A'.

• Mohr–Mascheroni theorem
• Napoleon's theorem
• Napoleon points