ในทฤษฎีขนาดระยะทางเทียมตามธรรมชาติระหว่างคู่ขนาด สอง คู่คือค่าโดยที่แปรผันไปตามเซตของ โฮ มีโอเมอร์ฟิซึม ทั้งหมด จากแมนิโฟลด์ไปยังแมนิโฟลด์และคือค่าสูงสุดของนอร์มถ้าและไม่ใช่โฮมีโอเมอร์ฟิกกัน ระยะทางเทียมตามธรรมชาติจะถูกกำหนดให้เป็นโดยทั่วไปจะถือว่าและเป็นแมนิโฟลด์ปิดและฟังก์ชันการวัดคือกล่าวอีกนัยหนึ่ง ระยะทางเทียมตามธรรมชาติจะวัดค่าต่ำสุดของการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันการวัดที่เกิดจากโฮมีโอเมอร์ฟิซึมจากไปยัง ${\displaystyle (M,\varphi :M\to \mathbb {R} )\ }$${\displaystyle (N,\psi :N\to \mathbb {R} )\ }$${\displaystyle \inf _{h}\|\varphi -\psi \circ h\|_{\infty }\ }$${\displaystyle h\ }$${\displaystyle M\ }$${\displaystyle N\ }$${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }\ }$${\displaystyle M\ }$${\displaystyle N\ }$${\displaystyle \infty \ }$${\displaystyle M\ }$${\displaystyle N\ }$${\displaystyle C^{1}\ }$${\displaystyle \varphi ,\psi \ }$${\displaystyle C^{1}\ }$${\displaystyle M\ }$${\displaystyle N\ }$

แนวคิดของระยะทางเทียมธรรมชาติสามารถขยายไปยังคู่ขนาดที่ฟังก์ชันการวัดมีค่าใน ได้ อย่าง ง่ายดาย ^{[ 1 ]}เมื่อกลุ่มของโฮมีโอเมอร์ฟิซึมทั้งหมดของสามารถแทนที่ในคำจำกัดความของระยะทางเทียมธรรมชาติด้วยกลุ่มย่อยของดังนั้นจึงได้แนวคิดของระยะทางเทียมธรรมชาติโดยสัมพันธ์กับกลุ่ม^{[ 2 ] [ 3 ]} ขอบล่างและ การประมาณค่าของระยะทางเทียมธรรมชาติโดยสัมพันธ์กับกลุ่มสามารถหาได้ทั้งโดยวิธีโฮโมโลยีถาวรที่ไม่เปลี่ยนแปลง^{[ 4 ]}และโดยการรวมโฮโมโลยีถาวร แบบคลาสสิก เข้ากับการใช้ตัวดำเนินการที่ไม่ขยายตัวแบบ G-equivariant ^{[ 2 ] [ 3 ]}${\displaystyle \varphi \ }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\ }$${\displaystyle M=N\ }$${\displaystyle H\ }$${\displaystyle M\ }$${\displaystyle G\ }$${\displaystyle H\ }$${\displaystyle G\ }$${\displaystyle G\ }$${\displaystyle G}$

สามารถพิสูจน์ได้^{[ 5 ]} ว่าระยะทางเทียมตามธรรมชาติจะเท่ากับระยะทางยุคลิดระหว่างค่าวิกฤตสองค่าของฟังก์ชันการวัด (อาจเป็น ฟังก์ชันการวัด เดียวกัน ) หารด้วยจำนวนเต็มบวกที่เหมาะสมเสมอหากและเป็นพื้นผิว สามารถถือว่าจำนวนนั้นเป็นหรือ^{[ 6 ]}หากและเป็นเส้นโค้ง สามารถถือว่าจำนวนนั้นเป็นหรือ^{[ 7 ]} หากมีโฮมี โอ เมอ ร์ ฟิซึมที่เหมาะสมที่สุด(เช่น) ก็สามารถถือว่า เป็น[ ^{5 ] การ}วิจัยเกี่ยวกับโฮมีโอเมอร์ฟิซึมที่เหมาะสมที่สุดยังอยู่ในช่วงเริ่มต้น^{[ 8 ] [ 9 ]}${\displaystyle k\ }$${\displaystyle M\ }$${\displaystyle N\ }$${\displaystyle k\ }$${\displaystyle 1\ }$${\displaystyle 2\ }$${\displaystyle 3\ }$${\displaystyle M\ }$${\displaystyle N\ }$${\displaystyle k\ }$${\displaystyle 1\ }$${\displaystyle 2\ }$${\displaystyle {\bar {h}}\ }$${\displaystyle \|\varphi -\psi \circ {\bar {h}}\|_{\infty }=\inf _{h}\|\varphi -\psi \circ h\|_{\infty }\ }$${\displaystyle k\ }$${\displaystyle 1\ }$

• ระยะทางเฟรเชต์
• ฟังก์ชันขนาด
• ฟังก์ชันขนาด
• กลุ่มโฮโมโทปีขนาด