ในฟิสิกส์นิวเคลียร์ฟิสิกส์อะตอมและเคมีนิวเคลียร์แบบจำลองเปลือกนิวเคลียร์ใช้หลักการกีดกันของเปาลีในการจำลองโครงสร้างของนิวเคลียสอะตอมในแง่ของระดับพลังงาน^{[ 1 ]}แบบจำลองเปลือกแรกถูกเสนอโดยดมิทรี อิวาเนนโก (ร่วมกับ อี. กาปอน) ในปี 1932 แบบจำลองนี้ได้รับการพัฒนาในปี 1949 หลังจากการทำงานอิสระของนักฟิสิกส์หลายคน โดยเฉพาะอย่างยิ่งมาเรีย เกิปเปอร์ท มาเยอร์และเจ. ฮันส์ ดี. เจนเซนซึ่งได้รับรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ ในปี 1963 จากการมีส่วนร่วมในแบบจำลองนี้ และยูจีน วิกเนอร์ซึ่งได้รับรางวัลโนเบลร่วมกับพวกเขาจากผลงานพื้นฐานก่อนหน้านี้เกี่ยวกับนิวเคลียสอะตอม^{[ 2 ]}

แบบจำลองเปลือกนิวเคลียสมีความคล้ายคลึงบางส่วนกับแบบจำลองเปลือกอะตอมซึ่งอธิบายการจัดเรียงอิเล็กตรอนในอะตอม โดยที่เปลือกที่เต็มจะทำให้มีเสถียรภาพที่ดีขึ้น เมื่อเพิ่มนิวคลีออน ( โปรตอนและนิวตรอน ) เข้าไปในนิวเคลียส จะมีบางจุดที่พลังงานยึดเหนี่ยวของนิวคลีออนตัวถัดไปน้อยกว่าตัวก่อนหน้าอย่างมีนัยสำคัญ การสังเกตว่ามีเลขควอนตัมวิเศษ เฉพาะ ของนิวคลีออน ( 2, 8, 20, 28, 50, 82 และ 126 ) ที่มีแรงยึดเหนี่ยวแน่นกว่าเลขควอนตัมที่สูงกว่าถัดไป เป็นที่มาของแบบจำลองเปลือกนิวเคลียส

เปลือกของโปรตอนและนิวตรอนเป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นจึงสามารถมี "นิวเคลียสวิเศษ" ซึ่งนิวคลีออนชนิดใดชนิดหนึ่งอยู่ที่เลขวิเศษ และ " นิวเคลียสควอนตัมวิเศษคู่ " ซึ่งทั้งสองชนิดอยู่ที่เลขวิเศษได้ เนื่องจากการแปรผันในการเติมวงโคจร เลขวิเศษสูงสุดคือ 126 และคาดการณ์ว่า 184 สำหรับนิวตรอน แต่มีเพียง 114 สำหรับโปรตอน ซึ่งมีบทบาทในการค้นหาสิ่งที่เรียกว่าเกาะแห่งความเสถียรมีการค้นพบเลขกึ่งวิเศษบางเลข โดยเฉพาะZ  =  40ซึ่งให้การเติมเปลือกนิวเคลียร์สำหรับธาตุต่างๆ 16 อาจเป็นเลขวิเศษได้เช่นกัน^{[ 3 ]}

เพื่อให้ได้ตัวเลขเหล่านี้ แบบจำลองเปลือกนิวเคลียร์เริ่มต้นด้วยศักยภาพเฉลี่ยที่มีรูปร่างอยู่ระหว่างบ่อศักย์สี่เหลี่ยมและออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกจากนั้นจึงเพิ่มเทอมสปิน-ออร์บิตเข้าไปในศักยภาพนี้ ถึงกระนั้น การรบกวนโดยรวมก็ยังไม่ตรงกับการทดลอง และต้องเพิ่มค่าคงที่การเชื่อมต่อสปิน-ออร์บิตเชิงประจักษ์เข้าไปอย่างน้อยสองหรือสามค่าที่แตกต่างกัน ขึ้นอยู่กับนิวเคลียสที่กำลังศึกษา

เลขมหัศจรรย์ของนิวเคลียส รวมถึงคุณสมบัติอื่นๆ สามารถหาได้โดยการประมาณแบบจำลองด้วยตัวสั่นฮาร์มอนิกสามมิติบวกกับอันตรกิริยาแบบสปิน-ออร์บิต ส่วน ศักยภาพที่สมจริงกว่าแต่ซับซ้อนกว่านั้นเรียกว่าศักยภาพของวูดส์-แซกซอน

พิจารณาออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกสามมิติตัวอย่างเช่น ในสามระดับแรก (" ℓ " คือเลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุม ):

นิวเคลียสเกิดจากการรวมตัวของโปรตอนและนิวตรอนอนุภาคเหล่านี้จะเข้าไปเติมเต็มระดับพลังงานที่ต่ำที่สุดเสมอ โดยโปรตอนสองตัวแรกจะเติมเต็มระดับพลังงานศูนย์ โปรตอนหกตัวถัดไปจะเติมเต็มระดับพลังงานหนึ่ง และเป็นเช่นนี้เรื่อยไป เช่นเดียวกับอิเล็กตรอนในตารางธาตุโปรตอนในวงโคจรชั้นนอกสุดจะยึดติดกับนิวเคลียสอย่างหลวมๆ หากมีโปรตอนในวงโคจรนั้นเพียงไม่กี่ตัว เนื่องจากอยู่ห่างจากศูนย์กลางของนิวเคลียสมากที่สุด ดังนั้น นิวเคลียสที่มีโปรตอนเต็มวงโคจรชั้นนอกสุดจะมีพลังงานยึดเหนี่ยว ของนิวเคลียสสูง กว่านิวเคลียสอื่นๆ ที่มีจำนวนโปรตอนรวมใกล้เคียงกัน และเช่นเดียวกันกับนิวตรอน

นี่หมายความว่าเลขมหัศจรรย์ที่คาดหวังไว้คือเลขที่เปลือกที่ถูกครอบครองทั้งหมดเต็ม ตามการทดลอง เราได้ 2 (ระดับ 0 เต็ม) และ 8 (ระดับ 0 และ 1 เต็ม) สำหรับสองเลขแรก อย่างไรก็ตาม ชุดเลขมหัศจรรย์ทั้งหมดกลับไม่ถูกต้อง สามารถคำนวณได้ดังนี้:

• ในระบบสั่นแบบฮาร์มอนิกสามมิติ ความเสื่อม รวมของสถานะที่ระดับnคือ.${\displaystyle {(n+1)(n+2) \over 2}}$
• เนื่องจากการหมุนค่าความเสื่อมจึงเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าและมีค่าเท่ากับ.${\displaystyle (n+1)(n+2)}$
• ดังนั้น เลขมหัศจรรย์จึงจะเป็นสำหรับจำนวนเต็มk ทุกตัว ซึ่งจะได้เลขมหัศจรรย์ดังต่อไปนี้: 2, 8, 20, 40, 70, 112, ... ซึ่งสอดคล้องกับการทดลองเฉพาะในสามรายการแรกเท่านั้น ตัวเลขเหล่านี้เป็นสองเท่าของเลขทรงสี่หน้า (1, 4, 10, 20, 35, 56, ...) จากสามเหลี่ยมปาสคาล$${\displaystyle \sum _{n=0}^{k}(n+1)(n+2)={\frac {(k+1)(k+2)(k+3)}{3}}}$$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เปลือกหอยหกอันแรกมีดังนี้:

• ระดับ 0: 2 สถานะ ( ℓ = 0) = 2
• ระดับ 1: 6 สถานะ ( ℓ = 1) = 6
• ระดับ 2: 2 สถานะ ( ℓ = 0) + 10 สถานะ ( ℓ = 2) = 12
• ระดับ 3: 6 สถานะ ( ℓ = 1) + 14 สถานะ ( ℓ = 3) = 20
• ระดับ 4: 2 สถานะ ( ℓ = 0) + 10 สถานะ ( ℓ = 2) + 18 สถานะ ( ℓ = 4) = 30
• ระดับ 5: 6 สถานะ ( ℓ = 1) + 14 สถานะ ( ℓ = 3) + 22 สถานะ ( ℓ = 5) = 42

โดยที่สำหรับทุกℓจะมีค่าm _l ที่แตกต่างกัน 2 ℓ +1 ค่า และค่าm _s ที่แตกต่างกัน 2 ค่า ทำให้มีสถานะทั้งหมด 4 ℓ +2 สถานะสำหรับแต่ละระดับที่เฉพาะเจาะจง

ตัวเลขเหล่านี้มีค่าเป็นสองเท่าของค่าจำนวนสามเหลี่ยมจากสามเหลี่ยมปาสคาล: 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...

ต่อไปเราจะรวมอันตรกิริยาแบบสปิน-ออร์บิต เข้าไปด้วย ก่อนอื่น เราต้องอธิบายระบบด้วยเลขควอนตัมj , m _jและพาริตีแทนที่จะใช้ℓ , m _lและm _sเหมือนในอะตอมที่คล้ายไฮโดรเจนเนื่องจากระดับคู่ทุกระดับจะมีเฉพาะค่าคู่ของℓเท่านั้น ดังนั้นจึงมีเฉพาะสถานะที่มีพาริตีคู่ (บวก) ในทำนองเดียวกัน ระดับคี่ทุกระดับจะมีเฉพาะสถานะที่มีพาริตีคี่ (ลบ) ดังนั้นเราจึงสามารถละเว้นพาริตีในการนับสถานะได้ เปลือกหกชั้นแรกที่อธิบายด้วยเลขควอนตัมใหม่มีดังนี้

• ระดับ 0 ( n = 0): 2 สถานะ ( j = ⁠1/2) . ความเท่าเทียมกัน.
• ระดับ 1 ( n = 1): 2 สถานะ ( j = ⁠1/2) + 4 สถานะ ( j = ⁠3/2) = 6. เลขคู่คี่
• ระดับ 2 ( n = 2): 2 สถานะ ( j = ⁠1/2) + 4 สถานะ ( j = ⁠3/2) + 6 สถานะ ( j = ⁠5/2) = 12. เลขคู่.
• ระดับ 3 ( n = 3): 2 สถานะ ( j = ⁠1/2) + 4 สถานะ ( j = ⁠3/2) + 6 สถานะ ( j = ⁠5/2) + 8 สถานะ ( j = ⁠7/2) = 20. เลขคู่คี่
• ระดับ 4 ( n = 4): 2 สถานะ ( j = ⁠1/2) + 4 สถานะ ( j = ⁠3/2) + 6 สถานะ ( j = ⁠5/2) + 8 สถานะ ( j = ⁠7/2) + 10 สถานะ ( j = ⁠9/2) = 30. สมมาตรคู่.
• ระดับ 5 ( n = 5): 2 สถานะ ( j = ⁠1/2) + 4 สถานะ ( j = ⁠3/2) + 6 สถานะ ( j = ⁠5/2) + 8 สถานะ ( j = ⁠7/2) + 10 สถานะ ( j = ⁠9/2) + 12 สถานะ ( j = ⁠11/2) = 42. เลขคู่คี่

โดยที่สำหรับทุกjจะมี สถานะที่แตกต่างกัน 2 j + 1สถานะจากค่าm _jที่ แตกต่างกัน

เนื่องจากอันตรกิริยาแบบสปิน-ออร์บิต พลังงานของสถานะที่มีระดับเดียวกันแต่มีค่าj ต่างกัน จะไม่เท่ากันอีกต่อไป เนื่องจากในเลขควอนตัมดั้งเดิม เมื่อขนานกับพลังงานอันตรกิริยาจะเป็นบวก และในกรณีนี้j = ℓ + s = ℓ + ⁠${\displaystyle \scriptstyle {\vec {s}}}$${\displaystyle \scriptstyle {\vec {l}}}$1/2เมื่อขนานกับ(กล่าวคือวางตัวในทิศทางตรงกันข้าม) พลังงานปฏิสัมพันธ์จะเป็นลบ และในกรณีนี้j = ℓ − s = ℓ − ⁠${\displaystyle \scriptstyle {\vec {s}}}$${\displaystyle \scriptstyle {\vec {l}}}$1/2นอกจากนี้ ความแรงของการปฏิสัมพันธ์ยังแปรผันตรงกับℓ โดย

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณารัฐต่างๆ ที่อยู่ในระดับ 4:

• 10 รัฐที่มีj = ⁠9/2มาจากℓ = 4 และsขนานกับℓดังนั้นจึงมีพลังงานอันตรกิริยาสปิน-ออร์บิตเป็นบวก
• 8 รัฐที่มีj = ⁠7/2มาจากℓ = 4 และs ขนานกับ ℓในทิศทางตรงกันข้ามดังนั้นจึงมีพลังงานอันตรกิริยาระหว่างสปินกับวงโคจรเป็นลบ
• สถานะทั้ง 6 ที่มีj = ⁠5/2⁠มาจากℓ = 2 และsขนานกับℓดังนั้นจึงมีพลังงานอันตรกิริยาแบบสปิน-ออร์บิตเป็นบวก อย่างไรก็ตาม ขนาดของมันเป็นครึ่งหนึ่งเมื่อเทียบกับสถานะที่มีj = ⁠9/2⁠ .
• สถานะทั้ง 4 ที่มีj = ⁠3/2⁠มาจากℓ = 2 และs ขนานกับ ℓในทิศทางตรงกันข้ามดังนั้นจึงมีพลังงานอันตรกิริยาสปิน-ออร์บิตเป็นลบ อย่างไรก็ตาม ขนาดของมันเป็นครึ่งหนึ่งเมื่อเทียบกับสถานะที่มีj = ⁠7/2⁠ .
• สถานะ 2 สถานะที่มีj = ⁠1/2มาจากℓ = 0 ดังนั้นจึงมีพลังงานอันตรกิริยาระหว่างสปินกับวงโคจรเป็นศูนย์

ศักย์ของตัวสั่นฮาร์มอนิกจะเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีที่สิ้นสุดเมื่อระยะห่างจากจุดศูนย์กลางrเข้าสู่ค่าอนันต์ ศักย์ที่สมจริงกว่า เช่นศักย์ของวูดส์-แซกซอนจะเข้าใกล้ค่าคงที่ที่ขีดจำกัดนี้ ผลที่ตามมาหลักประการหนึ่งคือ รัศมีเฉลี่ยของวงโคจรของนิวคลีออนจะใหญ่ขึ้นในศักย์ที่สมจริง ซึ่งนำไปสู่การลดพจน์ในตัวดำเนินการลาปลาสของ ตัวดำเนินการ แฮมิล โทเนียน ความ แตกต่างหลักอีกประการหนึ่งคือ วงโคจรที่มีรัศมีเฉลี่ยสูง เช่น วงโคจรที่มีค่าn สูงหรือ ค่า ℓสูง จะมีพลังงานต่ำกว่าในศักย์ของตัวสั่นฮาร์มอนิก ผลกระทบทั้งสองนี้ส่งผลให้ระดับพลังงานของ วงโคจรที่ มีค่า ℓสูงลดลง${\displaystyle V(r)=\mu \omega ^{2}r^{2}/2}$${\displaystyle \scriptstyle \hbar ^{2}l(l+1)/2mr^{2}}$

เมื่อรวมกับอันตรกิริยาสปิน-ออร์บิต และสำหรับขนาดที่เหมาะสมของทั้งสองผลกระทบ จะนำไปสู่ภาพเชิงคุณภาพดังต่อไปนี้: ในทุกระดับ สถานะ j สูงสุด จะมีพลังงานลดลง โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับn สูง (ซึ่ง jสูงสุดมีค่าสูง) นี่เป็นผลมาจากทั้งพลังงานอันตรกิริยาสปิน-ออร์บิตที่เป็นลบ และการลดลงของพลังงานที่เกิดจากการปรับเปลี่ยนศักยภาพให้มีความสมจริงมากขึ้น ในทาง ตรงกันข้าม สถานะ j รองลง มาจะมีพลังงานเพิ่มขึ้นจากผลกระทบแรกและลดลงจากผลกระทบที่สอง ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงโดยรวมเล็กน้อย การเปลี่ยนแปลงพลังงานของ สถานะ j สูงสุด จึงสามารถทำให้พลังงานของสถานะในระดับหนึ่งเข้าใกล้พลังงานของสถานะในระดับที่ต่ำกว่าได้ ดังนั้น "เปลือก" ของแบบจำลองเปลือกจึงไม่เหมือนกับระดับที่กำหนดโดยn อีกต่อไป และเลขมหัศจรรย์ก็จะเปลี่ยนไป

เราอาจสันนิษฐานได้ว่าสถานะ jสูงสุดสำหรับn = 3 มีพลังงานอยู่ระหว่างพลังงานเฉลี่ยของn = 2 และn = 3 และสันนิษฐานได้ว่าสถานะ jสูงสุดสำหรับn ที่มากกว่า (อย่างน้อยจนถึงn = 7) มีพลังงานใกล้เคียงกับพลังงานเฉลี่ยของn − 1จากนั้นเราจะได้เชลล์ดังต่อไปนี้ (ดูรูปประกอบ)

• ชั้นที่ 1: 2 สถานะ ( n = 0, j = ⁠1/2)​
• เปลือกชั้นที่ 2: 6 สถานะ ( n = 1, j = ⁠1/2หรือ​​3/2)​
• ชั้นที่ 3: 12 สถานะ ( n = 2, j = ⁠1/2, ⁠​3/2หรือ​​5/2)​
• ชั้นที่ 4: 8 สถานะ ( n = 3, j = ⁠7/2)​
• ชั้นที่ 5: 22 สถานะ ( n = 3, j = ⁠1/2, ⁠​3/2หรือ​​5/2n = 4 , j = ⁠9/2)​
• ชั้นที่ 6: 32 สถานะ ( n = 4, j = ⁠1/2, ⁠​3/2, ⁠​5/2หรือ​​7/2n = 5 , j = ⁠11/2)​
• ชั้นที่ 7: 44 สถานะ ( n = 5, j = ⁠1/2, ⁠​3/2, ⁠​5/2, ⁠​7/2หรือ​​9/2n = 6 , j = ⁠13/2)​
• ชั้นที่ 8: 58 สถานะ ( n = 6, j = ⁠1/2, ⁠​3/2, ⁠​5/2, ⁠​7/2, ⁠​9/2หรือ​​11/2n = 7 , j = ⁠15/2)​

และอื่นๆ

โปรดสังเกตว่าจำนวนสถานะหลังจากเปลือกที่ 4 นั้นเป็นจำนวนสามเหลี่ยมสองเท่าบวกสองการเชื่อมโยงสปิน-ออร์บิตทำให้สิ่งที่เรียกว่า "ระดับผู้บุกรุก" ตกลงมาจากเปลือกที่สูงกว่าถัดไปเข้าสู่โครงสร้างของเปลือกก่อนหน้า ขนาดของผู้บุกรุกนั้นทำให้ขนาดของเปลือกที่ได้เพิ่มขึ้นเป็นจำนวนสามเหลี่ยมสองเท่าที่สูงกว่าถัดไปจากขนาดของตัวสั่นฮาร์มอนิก ตัวอย่างเช่น 1f2p มีนิวคลีออน 20 ตัว และการเชื่อมโยงสปิน-ออร์บิตจะเพิ่ม 1g9/2 (10 นิวคลีออน) ทำให้เกิดเปลือกใหม่ที่มีนิวคลีออน 30 ตัว 1g2d3s มีนิวคลีออน 30 ตัว และการเพิ่มผู้บุกรุก 1h11/2 (12 นิวคลีออน) ทำให้ได้ขนาดเปลือกใหม่เป็น 42 และอื่นๆ

ตัวเลขมหัศจรรย์เหล่านั้นคือ...

• 2
• 8 = 2 + 6
• 20 = 2 + 6 + 12
• 28 = 2 + 6 + 12 + 8
• 50 = 2 + 6 + 12 + 8 + 22
• 82 = 2 + 6 + 12 + 8 + 22 + 32
• 126 = 2 + 6 + 12 + 8 + 22 + 32 + 44
• 184 = 2 + 6 + 12 + 8 + 22 + 32 + 44 + 58

และอื่นๆ ต่อไปเรื่อยๆ นี่ทำให้ได้เลขมหัศจรรย์ที่สังเกตได้ทั้งหมด และยังทำนายเลขมหัศจรรย์ตัวใหม่ (ที่เรียกว่าเกาะแห่งความเสถียร ) ที่ค่า 184 (สำหรับโปรตอน เลขมหัศจรรย์ 126 ยังไม่เคยถูกสังเกต และการพิจารณาทางทฤษฎีที่ซับซ้อนกว่านั้นทำนายว่าเลขมหัศจรรย์จะเป็น 114 แทน)

อีกวิธีหนึ่งในการทำนายเลขมหัศจรรย์ (และเลขกึ่งมหัศจรรย์) คือการวางลำดับการเติมในอุดมคติ (โดยมีการแยกสปิน-ออร์บิต แต่ระดับพลังงานไม่ทับซ้อนกัน) เพื่อความสอดคล้อง s จะถูกแยกออกเป็นj = ⁠1/2และ j = −​1/2ส่วนประกอบที่มีสมาชิก 2 และ 0 ตามลำดับ การนำจำนวนรวมซ้ายสุดและขวาสุดภายในลำดับที่ล้อมรอบด้วย / มาใช้ จะได้เลขมหัศจรรย์และเลขกึ่งมหัศจรรย์

• s (2,0)/p(4,2) > 2,2/6,8 ดังนั้น (กึ่ง)เลขมหัศจรรย์ 2,2/6,8
• d (6,4): s (2,0)/ f (8,6): p (4,2) > 14,18:20,20/28,34:38,40 ดังนั้น 14,20/28,40
• g (10,8): d (6,4): s (2,0)/ h (12,10): f (8,6): p (4,2) > 50,58,64,68,70,70/82,92,100,106,110,112, ดังนั้น 50,70/82,112
• i (14,12): g (10,8): d (6,4): s (2,0)/ j (16,14): h (12,10): f (8,6): p (4,2) > 126,138,148,156,162,166,168,168/184,198,210,220,228,234,238,240, ดังนั้น 126,168/184,240

ตัวเลขมหัศจรรย์ที่ทำนายได้ทางขวาสุดของแต่ละคู่ภายในควอเต็ตที่ถูกแบ่งครึ่งด้วย / คือตัวเลขทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าคู่จากสามเหลี่ยมปาสคาล: 2, 8, 20, 40, 70, 112, 168, 240 คือ 2x 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, ... และสมาชิกทางซ้ายสุดของคู่จะแตกต่างจากสมาชิกทางขวาสุดด้วยตัวเลขสามเหลี่ยมคู่: 2 − 2 = 0, 8 − 6 = 2, 20 − 14 = 6, 40 − 28 = 12, 70 − 50 = 20, 112 − 82 = 30, 168 − 126 = 42, 240 − 184 = 56 โดยที่ 0, 2, 6, 12, ... 20, 30, 42, 56, ... คือ 2 × 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...

แบบจำลองนี้ยังสามารถทำนายหรืออธิบายคุณสมบัติอื่นๆ ของนิวเคลียสได้ค่อนข้างดี โดยเฉพาะอย่างยิ่งสปินและพาริตีของสถานะพื้นฐาน ของนิวเคลียส และในระดับหนึ่ง รวมถึง สถานะกระตุ้นของนิวเคลียสด้วย ลองพิจารณาดู¹⁷ ₈ยกตัวอย่างเช่นO ( ออกซิเจน-17 ): นิวเคลียสของมันมีโปรตอน 8 ตัวที่บรรจุอยู่ใน "วงโคจร" โปรตอน 3 ชั้นแรก นิวตรอน 8 ตัวที่บรรจุอยู่ใน "วงโคจร" นิวตรอน 3 ชั้นแรก และนิวตรอนพิเศษอีก 1 ตัว โปรตอนทั้งหมดในวงโคจรโปรตอนที่สมบูรณ์จะมี โมเมนตัมเชิงมุม รวมเป็นศูนย์ เนื่องจากโมเมนตัมเชิงมุมของพวกมันหักล้างกันเอง เช่นเดียวกับนิวตรอน โปรตอนทั้งหมดในระดับเดียวกัน ( n ) จะมีพาริตีเดียวกัน (+1 หรือ -1) และเนื่องจากพาริตีของอนุภาคคู่หนึ่งเป็นผลคูณของพาริตีของพวกมัน ดังนั้นโปรตอนจำนวนคู่จากระดับเดียวกัน ( n ) จะมีพาริตี +1 ดังนั้นโมเมนตัมเชิงมุมรวมของโปรตอน 8 ตัวและนิวตรอน 8 ตัวแรกจึงเป็นศูนย์ และพาริตีรวมของพวกมันคือ +1 นี่หมายความว่าสปิน (เช่น โมเมนตัมเชิงมุม) ของนิวเคลียส รวมทั้งพาริตีของมัน ถูกกำหนดโดยสมบูรณ์โดยนิวตรอนตัวที่เก้า นิวตรอนตัวนี้อยู่ในสถานะแรก (เช่น พลังงานต่ำสุด) ของเปลือกที่ 4 ซึ่งเป็นเปลือก d ( ℓ = 2) และเนื่องจากp = (−1) ^ℓจึงทำให้นิวเคลียสมีพาริตีโดยรวมเป็น +1 เปลือก d ที่ 4 นี้มีj = ⁠5/2ดังนั้นแกนกลางของ¹⁷ ₈คาดว่าO จะมีพาริตีเป็นบวกและมีโมเมนตัมเชิงมุมรวมเป็น บวก5/2ซึ่งก็เป็นเช่นนั้นจริงๆ

กฎสำหรับการเรียงลำดับของเปลือกนิวเคลียสนั้นคล้ายคลึงกับกฎของฮุนด์สำหรับเปลือกอะตอม อย่างไรก็ตาม แตกต่างจากการใช้งานในฟิสิกส์อะตอมตรงที่ การเติมเต็มเปลือกหนึ่งๆ ไม่ได้แสดงโดยการไปถึงn ถัดไป ดังนั้นแบบจำลองเปลือกจึงไม่สามารถทำนายลำดับของสถานะนิวเคลียสที่ถูกกระตุ้นได้อย่างแม่นยำ แม้ว่าจะประสบความสำเร็จอย่างมากในการทำนายสถานะพื้นฐานก็ตาม ลำดับของเทอมแรกๆ มีดังนี้: 1s, 1p3/2, 1p ⁠1/2, 1d ⁠5/2, 2s, 1d3/2...หากต้องการคำอธิบายเพิ่มเติมเกี่ยวกับสัญลักษณ์ โปรดดูบทความเรื่องสัญลักษณ์เทอม ของรัสเซลล์-ซอนเดอร์ ส

สำหรับนิวเคลียสที่อยู่ห่างจากเลขควอนตัมวิเศษเราต้องเพิ่มสมมติฐานว่าเนื่องจากความสัมพันธ์ระหว่างแรงนิวเคลียร์แบบเข้มและโมเมนตัมเชิงมุมรวมโปรตอนหรือนิวตรอน ที่มี nเท่ากันมักจะจับคู่กันโดยมีโมเมนตัมเชิงมุมตรงข้ามกัน ดังนั้น นิวเคลียสที่มีจำนวนโปรตอนเป็นเลขคู่และจำนวนนิวตรอนเป็นเลขคู่จะมีสปินเป็น 0 และพาริตีเป็นบวก นิวเคลียสที่มีจำนวนโปรตอนเป็นเลขคู่และจำนวนนิวตรอนเป็นเลขคี่ (หรือในทางกลับกัน) จะมีพาริตีของนิวตรอน (หรือโปรตอน) ตัวสุดท้าย และสปินเท่ากับโมเมนตัมเชิงมุมรวมของนิวตรอน (หรือโปรตอน) ตัวนั้น โดยคำว่า "ตัวสุดท้าย" ในที่นี้หมายถึงคุณสมบัติที่มาจากระดับพลังงานสูงสุด

ในกรณีของนิวเคลียสที่มีจำนวนโปรตอนและนิวตรอนเป็นเลขคี่ เราต้องพิจารณาโมเมนตัมเชิงมุมรวมและพาริตีของทั้งนิวตรอนตัวสุดท้ายและโปรตอนตัวสุดท้าย พาริตีของนิวเคลียสจะเป็นผลคูณของทั้งสอง ในขณะที่สปินของนิวเคลียสจะเป็นหนึ่งในผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของผลรวมของโมเมนตัมเชิงมุมของทั้งสอง (โดยผลลัพธ์อื่นๆ ที่เป็นไปได้จะเป็นสถานะกระตุ้นของนิวเคลียส)

ลำดับของระดับโมเมนตัมเชิงมุมภายในแต่ละชั้นนั้นเป็นไปตามหลักการที่อธิบายไว้ข้างต้น – เนื่องมาจากอันตรกิริยาแบบสปิน-ออร์บิต โดยสถานะโมเมนตัมเชิงมุมสูงจะมีพลังงานลดลงเนื่องจากการเปลี่ยนแปลงของศักยภาพ (เช่น การเปลี่ยนจากศักยภาพแบบฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ไปเป็นศักยภาพที่สมจริงมากขึ้น) อย่างไรก็ตาม สำหรับคู่ของนิวคลีออน มักจะมีพลังงานที่เอื้ออำนวยมากกว่าที่จะมีโมเมนตัมเชิงมุมสูง แม้ว่าระดับพลังงานสำหรับนิวคลีออนเดี่ยวจะสูงกว่าก็ตาม ทั้งนี้เนื่องมาจากความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัมเชิงมุมและแรงนิวเคลียร์แบบแรง

โมเมนต์แม่เหล็กนิวเคลียร์ของนิวตรอนและโปรตอนสามารถทำนายได้บางส่วนจากแบบจำลองเปลือกนิวเคลียสแบบง่ายนี้ โมเมนต์แม่เหล็กคำนวณได้จากค่าj , ℓและs ของนิวคลีออน "ตัวสุดท้าย" แต่ในความเป็นจริงนิวเคลียสไม่ได้อยู่ในสถานะของ ℓและsที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนยิ่งไปกว่านั้น สำหรับนิวเคลียสแบบคี่-คี่จะต้องพิจารณานิวคลีออน "ตัวสุดท้าย" สองตัวด้วย เช่นเดียวกับในดิวเทอเรียมดังนั้นจึงได้คำตอบที่เป็นไปได้หลายคำตอบสำหรับโมเมนต์แม่เหล็กนิวเคลียร์ คำตอบหนึ่งสำหรับแต่ละ สถานะของ ℓและs ที่รวมกันได้ และสถานะที่แท้จริงของนิวเคลียสคือการซ้อนทับกันของคำตอบเหล่านั้น ดังนั้นโมเมนต์แม่เหล็กนิวเคลียร์ที่แท้จริง (ที่วัดได้) จึงอยู่ระหว่างคำตอบที่เป็นไปได้เหล่านั้น

ไดโพลไฟฟ้าของนิวเคลียสจะมีค่าเป็นศูนย์เสมอ เนื่องจากสถานะพื้นฐาน ของมัน มีพาริตีที่แน่นอน ความหนาแน่นของสสาร ( ψ²โดยที่ψคือฟังก์ชันคลื่น ) จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้พาริตีเสมอ ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะ ^เป็นเช่นนี้กับไดโพลไฟฟ้าของอะตอม

แบบจำลองเปลือกอิเล็กตรอนแบบง่ายนี้ไม่สามารถทำนายค่าโมเมนต์ ไฟฟ้าและแม่เหล็กหลายขั้วที่ สูงขึ้นได้ ด้วยเหตุผลที่คล้ายคลึงกับกรณีของดิวเทอเรียม

สำหรับนิวเคลียสที่มีนิวคลีออนวาเลนซ์สองตัวขึ้นไป (เช่น นิวคลีออนที่อยู่นอกเปลือกปิด) จะต้องเพิ่มปฏิสัมพันธ์แบบสองตัวที่เหลืออยู่ เทอมที่เหลืออยู่นี้มาจากส่วนของปฏิสัมพันธ์ระหว่างนิวคลีออนที่ไม่ได้รวมอยู่ในศักยภาพเฉลี่ยโดยประมาณ ผ่านการรวมนี้ การกำหนดค่าเปลือกที่แตกต่างกันจะถูกผสมกัน และความเสื่อมของพลังงานของสถานะที่สอดคล้องกับการกำหนดค่าเดียวกันจะถูกทำลาย^{[ 5 ] [ 6 ]}

ปฏิสัมพันธ์ที่เหลือเหล่านี้จะถูกรวมเข้าไว้ในการคำนวณแบบจำลองเปลือกในพื้นที่แบบจำลองที่ถูกตัดทอน (หรือพื้นที่วาเลนซ์) พื้นที่นี้ครอบคลุมโดยฐานของสถานะอนุภาคหลายตัว โดยที่สถานะอนุภาคเดี่ยวในพื้นที่แบบจำลองเท่านั้นที่ใช้งานได้ สมการชโรดิงเกอร์จะถูกแก้บนฐานนี้ โดยใช้แฮมิลโทเนียนที่มีประสิทธิภาพซึ่งเหมาะสมกับพื้นที่แบบจำลองโดยเฉพาะ แฮมิลโทเนียนนี้แตกต่างจากแฮมิลโทเนียนของนิวคลีออนอิสระ เนื่องจากต้องชดเชยการกำหนดค่าที่ถูกกีดกันด้วย^{[ 6 ]}

เราสามารถกำจัดการประมาณค่าศักยภาพเฉลี่ยได้อย่างสมบูรณ์โดยการขยายพื้นที่แบบจำลองไปยังแกนกลางที่เฉื่อยก่อนหน้านี้และถือว่าสถานะอนุภาคเดี่ยวทั้งหมดจนถึงการตัดทอนพื้นที่แบบจำลองเป็นสถานะแอคทีฟ ซึ่งเป็นพื้นฐานของแบบจำลองเปลือกที่ไม่มีแกนกลางซึ่งเป็นวิธีการ ab initioจำเป็นต้องรวมปฏิสัมพันธ์สามตัวในการคำนวณดังกล่าวเพื่อให้ได้ความสอดคล้องกับการทดลอง^{[ 7 ]}

ในปี 1953 มีการค้นพบตัวอย่างเชิงทดลองแรกของแถบการหมุนในนิวเคลียส โดยระดับพลังงานของพวกมันเป็นไปตามรูปแบบพลังงาน J(J+1) เดียวกันกับในโมเลกุลที่หมุน ในทางกลศาสตร์ควอนตัม เป็นไปไม่ได้ที่จะมีการหมุนแบบรวมหมู่ของทรงกลม ดังนั้นจึงหมายความว่ารูปร่างของนิวเคลียสเหล่านี้ไม่ใช่ทรงกลม โดยหลักการแล้ว สถานะการหมุนเหล่านี้สามารถอธิบายได้ว่าเป็นผลรวมที่สอดคล้องกันของการกระตุ้นอนุภาค-หลุมในฐานที่ประกอบด้วยสถานะอนุภาคเดี่ยวของศักยภาพทรงกลม แต่ในความเป็นจริง การอธิบายสถานะเหล่านี้ในลักษณะนี้ทำได้ยาก เนื่องจากมีอนุภาควาเลนซ์จำนวนมาก และความยากลำบากนี้ยิ่งมากขึ้นในทศวรรษ 1950 เมื่อพลังการคำนวณยังอยู่ในระดับพื้นฐานอย่างยิ่ง ด้วยเหตุผลเหล่านี้อาเก บอร์ , เบน มอตเทลสันและสเวน เกิสตา นิลส์สันจึงสร้างแบบจำลองที่ศักยภาพถูกเปลี่ยนรูปเป็นรูปทรงวงรี แบบจำลองแรกที่ประสบความสำเร็จในประเภทนี้เป็นที่รู้จักกันในชื่อแบบจำลอง Nilssonโดยพื้นฐานแล้วมันคือแบบจำลองการสั่นแบบฮาร์มอนิกที่อธิบายไว้ในบทความนี้ แต่เพิ่มความไม่สมมาตรเข้าไป ทำให้ความถี่ของการสั่นตามแกนคาร์ทีเซียนทั้งสามไม่เท่ากัน โดยทั่วไปรูปร่างจะเป็นทรงรีแบบยาว โดยมีแกนสมมาตรอยู่ที่แกน z เนื่องจากศักยภาพไม่สมมาตรแบบทรงกลม สถานะของอนุภาคเดี่ยวจึงไม่ใช่สถานะที่มีโมเมนตัมเชิงมุม J ที่ดี อย่างไรก็ตามสามารถเพิ่มตัวคูณลากรางจ์ หรือที่เรียกว่าเทอม "การหมุน" เข้าไปในแฮมิลโทเนียนได้ โดยปกติเวกเตอร์ความถี่เชิงมุม ω จะตั้งฉากกับแกนสมมาตร แม้ว่าการหมุนแกนเอียงก็สามารถพิจารณาได้เช่นกัน การเติมสถานะของอนุภาคเดี่ยวจนถึงระดับเฟอร์มิจะสร้างสถานะที่มีโมเมนตัมเชิงมุมที่คาดหวังตามแกนการหมุนเป็นค่าที่ต้องการ ${\displaystyle -\omega \cdot J}$${\displaystyle \langle J_{x}\rangle }$

อิกัล ทัลมีได้พัฒนาวิธีการดึงข้อมูลจากข้อมูลการทดลองและนำมาใช้คำนวณและทำนายพลังงานที่ยังไม่ได้วัด วิธีการนี้ได้รับการใช้งานอย่างประสบความสำเร็จโดยนักฟิสิกส์นิวเคลียร์หลายคน และนำไปสู่ความเข้าใจที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นเกี่ยวกับโครงสร้างของนิวเคลียร์ ทฤษฎีที่ให้คำอธิบายที่ดีเกี่ยวกับคุณสมบัติเหล่านี้ได้รับการพัฒนาขึ้น คำอธิบายนี้กลายเป็นพื้นฐานของแบบจำลองเชลล์ของแบบจำลองโบซอนปฏิสัมพันธ์ที่สง่างามและประสบความ สำเร็จ

แบบจำลองที่ได้มาจากแบบจำลองเปลือกนิวเคลียร์คือแบบจำลองอนุภาคอัลฟาที่พัฒนาโดยHenry Margenau , Edward Teller , JK Pering, TH Skyrmeซึ่งบางครั้งก็เรียกว่า แบบ จำลองSkyrme ^{[ 8 ] [ 9 ]}อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าแบบจำลอง Skyrme มักถูกมองว่าเป็นแบบจำลองของนิวคลีออนเอง ในฐานะ "กลุ่มเมฆ" ของเมซอน (ไพอน) มากกว่าที่จะเป็นแบบจำลองของนิวเคลียสในฐานะ "กลุ่มเมฆ" ของอนุภาคอัลฟา

• โครงสร้างนิวเคลียร์
• ตารางธาตุ
• สูตรมวลแบบกึ่งเชิงประจักษ์
• การเลื่อนไอโซเมอร์
• แบบจำลองโบซอนที่มีปฏิสัมพันธ์

• ทัลมี, อิกาล; เดอ-ชาลิต, เอ. (1963) ทฤษฎีเปลือกนิวเคลียร์ สำนักพิมพ์วิชาการ. ไอเอสบีเอ็น 978-0-486-43933-4.{{cite book}}:ปัญหาความไม่เข้ากันของหมายเลข ISBN / วันที่ ( ขอความช่วยเหลือ )
• Talmi, Igal (1993). แบบจำลองอย่างง่ายของนิวเคลียสเชิงซ้อน: แบบจำลองเปลือกและแบบจำลองโบซอนที่มีปฏิสัมพันธ์สำนักพิมพ์ Harwood Academic Publishers. ISBN 978-3-7186-0551-4.

• Igal Talmi (24 พฤศจิกายน 2010). เกี่ยวกับฟังก์ชันคลื่นของนิวคลีออนเดี่ยว . ศูนย์ RIKEN Nishina.