ในกลศาสตร์ควอนตัม แบบจำลอง อนุภาคในกล่อง (หรือที่รู้จักกันในชื่อบ่อศักย์อนันต์หรือบ่อศักย์สี่เหลี่ยมอนันต์ ) อธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคอิสระในพื้นที่เล็กๆ ที่ล้อมรอบด้วยกำแพงที่ทะลุผ่านไม่ได้ แบบจำลองนี้ส่วนใหญ่ใช้เป็นตัวอย่างสมมติเพื่อแสดงความแตกต่างระหว่าง ระบบ คลาสสิกและระบบควอนตัม ในระบบคลาสสิก ตัวอย่างเช่น อนุภาคที่ถูกขังอยู่ภายในกล่องขนาดใหญ่สามารถเคลื่อนที่ด้วยความเร็วใดๆ ก็ได้ภายในกล่อง และโอกาสที่จะพบอนุภาคในตำแหน่งหนึ่งก็ไม่ต่างกัน อย่างไรก็ตาม เมื่อบ่อศักย์แคบลงมาก (ในระดับไม่กี่นาโนเมตร) ผลกระทบทางควอนตัมจะมีความสำคัญ อนุภาคอาจครอบครองได้เฉพาะระดับพลังงาน บวกบางระดับเท่านั้น ในทำนองเดียวกัน อนุภาคจะไม่สามารถมีพลังงานเป็นศูนย์ได้ ซึ่งหมายความว่าอนุภาคจะไม่สามารถ "อยู่นิ่ง" ได้ นอกจากนี้ โอกาสที่จะพบอนุภาคในบางตำแหน่งก็มากกว่าตำแหน่งอื่นๆ ขึ้นอยู่กับระดับพลังงานของมัน อนุภาคอาจไม่เคยถูกตรวจพบในบางตำแหน่งที่เรียกว่าจุดนิ่งในอวกาศ

แบบจำลองอนุภาคในกล่องเป็นหนึ่งในปัญหาไม่กี่ข้อในกลศาสตร์ควอนตัมที่สามารถแก้ได้ด้วยวิธีวิเคราะห์ โดยไม่ต้องใช้การประมาณค่า เนื่องจากความเรียบง่ายของแบบจำลองนี้ ทำให้สามารถเข้าใจปรากฏการณ์ควอนตัมได้โดยไม่ต้องใช้คณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน มันทำหน้าที่เป็นตัวอย่างง่ายๆ ของการเกิดควอนตัม ของพลังงาน (ระดับพลังงาน) ซึ่งพบได้ในระบบควอนตัมที่ซับซ้อนกว่า เช่น อะตอมและโมเลกุล มันเป็นหนึ่งในปัญหาทางกลศาสตร์ควอนตัมข้อแรกๆ ที่สอนในหลักสูตรฟิสิกส์ระดับปริญญาตรี และมักใช้เป็นค่าประมาณสำหรับระบบควอนตัมที่ซับซ้อนกว่า

รูปแบบที่ง่ายที่สุดของแบบจำลองอนุภาคในกล่องพิจารณาระบบหนึ่งมิติ ในที่นี้ อนุภาคสามารถเคลื่อนที่ไปข้างหน้าและข้างหลังตามแนวเส้นตรงเท่านั้น โดยมีสิ่งกีดขวางที่ทะลุผ่านไม่ได้อยู่ที่ปลายทั้งสองข้าง^{[ 1 ]} ผนังของกล่องหนึ่งมิติสามารถมองได้ว่าเป็นบริเวณของพื้นที่ที่มีพลังงานศักย์ ขนาดใหญ่มาก ในทางกลับกัน ภายในกล่องมีพลังงานศักย์คงที่เป็นศูนย์^{[ 2 ]} ซึ่งหมายความว่าไม่มีแรงใดกระทำต่ออนุภาคภายในกล่อง และอนุภาคสามารถเคลื่อนที่ได้อย่างอิสระในบริเวณนั้น อย่างไรก็ตามแรง ขนาดใหญ่มาก จะผลักอนุภาคออกไปหากมันสัมผัสกับผนังของกล่อง ป้องกันไม่ให้มันหลุดออกไป พลังงานศักย์ในแบบจำลองนี้กำหนดโดย โดย ที่Lคือความยาวของกล่องx _cคือตำแหน่งของจุดศูนย์กลางของกล่อง และxคือตำแหน่งของอนุภาคภายในกล่อง กรณีง่ายๆ ได้แก่ กล่องที่มีจุดศูนย์กลาง ( x _c = 0) และกล่องที่เลื่อน ( x _c = L /2) (ดังภาพ) $${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&x_{c}-{\tfrac {L}{2}}<x<x_{c}+{\tfrac {L}{2}},\\\infty ,&{\text{otherwise,}}\end{cases}},}$$

ในกลศาสตร์ควอนตัมฟังก์ชันคลื่นให้คำอธิบายพื้นฐานที่สุดของพฤติกรรมของอนุภาค คุณสมบัติที่วัดได้ของอนุภาค (เช่น ตำแหน่ง โมเมนตัม และพลังงาน) ทั้งหมดสามารถหาได้จากฟังก์ชันคลื่น^{[ 3 ]} ฟังก์ชันคลื่นสามารถหาได้โดยการแก้สมการชโรดิงเกอร์สำหรับระบบ โดยที่คือค่าคงที่ของพลังค์ที่ลดลงคือมวลของอนุภาคคือหน่วยจินตนาการและคือเวลา ${\displaystyle \psi (x,t)}$$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)+V(x)\psi (x,t),}$$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle m}$${\displaystyle i}$${\displaystyle t}$

ภายในกล่องไม่มีแรงกระทำต่ออนุภาค ซึ่งหมายความว่าส่วนของฟังก์ชันคลื่นภายในกล่องจะสั่นผ่านอวกาศและเวลาด้วยรูปแบบเดียวกับอนุภาคอิสระ^{[ 1 ] [ 4 ]}เพื่อหาคำตอบทั่วไปของฟังก์ชันคลื่น เราพิจารณาสมการชโรดิงเกอร์โดยแทนที่เงื่อนไขภายในกล่องเข้าไป: สามารถจัดเรียงใหม่ให้ตรงกับรูปแบบของ สมการออสซิ ลเลเตอร์ฮาร์มอนิกอย่างง่ายในกลศาสตร์คลาสสิก ทำให้เราได้คำตอบดังต่อไปนี้: ${\displaystyle V(x)=0}$$${\displaystyle E\psi (x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)}$$

$${\displaystyle \psi (x,t)=\left[A\sin(kx)+B\cos(kx)\right]e^{-i\omega t},}$$

1

โดยที่และเป็นจำนวนเชิงซ้อน ใดๆ ความถี่ของการสั่นผ่านอวกาศและเวลาจะกำหนดโดยเลขคลื่นและความถี่เชิงมุมตามลำดับ ซึ่งทั้งสองอย่างนี้มีความสัมพันธ์กับพลังงานรวมของอนุภาคโดยสมการ ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle E=\hbar \omega ={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}},}$$ ซึ่งเรียกว่าความสัมพันธ์การกระจายตัวสำหรับอนุภาคอิสระ^{[ 1 ]}อย่างไรก็ตาม เนื่องจากอนุภาคไม่ได้เป็นอิสระโดยสมบูรณ์ แต่อยู่ภายใต้อิทธิพลของศักยภาพ พลังงานของอนุภาคคือ โดยที่Tคือพลังงานจลน์และVคือพลังงานศักยภาพ ดังนั้น พลังงานของอนุภาคที่กำหนดข้างต้นจึงไม่เหมือนกับ(กล่าวคือ โมเมนตัมของอนุภาคไม่ได้กำหนดโดย) ดังนั้น เลขคลื่นkข้างต้นจึงอธิบายสถานะพลังงานของอนุภาคและไม่เกี่ยวข้องกับโมเมนตัมเหมือนที่ "เลขคลื่น" ทั่วไปเป็น เหตุผลที่เรียกkว่าเลขคลื่นก็คือ มันระบุจำนวนยอดคลื่นที่ฟังก์ชันคลื่นมีอยู่ภายในกล่อง และในแง่นี้มันจึงเป็นเลขคลื่น ความไม่สอดคล้องกันนี้สามารถเห็นได้ชัดเจนยิ่งขึ้นด้านล่าง เมื่อเราพบว่าสเปกตรัมพลังงานของอนุภาคเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง (อนุญาตเฉพาะค่าพลังงานที่ไม่ต่อเนื่องเท่านั้น) แต่สเปกตรัมโมเมนตัมเป็นแบบต่อเนื่อง (โมเมนตัมสามารถเปลี่ยนแปลงได้อย่างต่อเนื่อง) กล่าวคือ $${\displaystyle E=T+V,}$$${\displaystyle E=p^{2}/2m}$${\displaystyle p=\hbar k}$${\displaystyle E\neq p^{2}/2m}$

แอมพลิจูดของฟังก์ชันคลื่น ณ ตำแหน่งที่กำหนดมีความสัมพันธ์กับความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาค ณ ตำแหน่งนั้นฟังก์ชันคลื่นจึงต้องเป็นศูนย์ทุกที่นอกขอบของกล่อง^{[ 1 ] [ 4 ]} นอกจากนี้ แอมพลิจูดของฟังก์ชันคลื่นต้องไม่ "กระโดด" อย่างกะทันหันจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง^{[ 1 ]} เงื่อนไขทั้งสองนี้เป็นไปตามฟังก์ชันคลื่นที่มีรูปแบบ^{[ 5 ]} เท่านั้น โดยที่ และ สำหรับจำนวนเต็ม บวก คำตอบที่ง่ายที่สุดหรือทั้งสองอย่าง ให้ฟังก์ชันคลื่นที่ไม่สำคัญซึ่งอธิบายอนุภาคที่ไม่มีอยู่จริงในระบบ^{[ 6 ]} ในที่นี้จะเห็นได้ว่าอนุญาตเฉพาะชุดค่าพลังงานและเลขคลื่นk ที่ไม่ต่อเนื่อง สำหรับอนุภาคเท่านั้น โดยปกติในกลศาสตร์ควอนตัม ยังต้องการให้ค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันคลื่น นอกเหนือจากฟังก์ชันคลื่นเอง ต้องมีความต่อเนื่องด้วย ในกรณีนี้ ข้อเรียกร้องดังกล่าวจะนำไปสู่ทางออกเดียวคือฟังก์ชันศูนย์คงที่ ซึ่งไม่ใช่สิ่งที่เราต้องการ ดังนั้นเราจึงละทิ้งข้อเรียกร้องนี้ (เนื่องจากระบบที่มีศักยภาพอนันต์นี้สามารถถือได้ว่าเป็นกรณีจำกัดเชิงนามธรรมที่ไม่เป็นไปตามหลักฟิสิกส์ เราจึงสามารถปฏิบัติต่อมันเช่นนั้นและ "บิดเบือนกฎ" ได้) โปรดทราบว่าการละทิ้งข้อเรียกร้องนี้หมายความว่าฟังก์ชันคลื่นไม่ใช่ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ขอบของกล่อง และด้วยเหตุนี้จึงกล่าวได้ว่าฟังก์ชันคลื่นไม่สามารถแก้สมการชโรดิงเกอร์ที่จุดขอบได้( แต่สามารถแก้สมการได้ทุกที่อื่น) ${\displaystyle P(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}}$$${\displaystyle \psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin \left(k_{n}\left(x-x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\right)\right)e^{-i\omega _{n}t}\quad &x_{c}-{\tfrac {L}{2}}<x<x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}},}$$$${\displaystyle k_{n}={\frac {n\pi }{L}},}$$$${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{n}={\frac {k_{n}^{2}\hbar ^{2}}{2m}}={\frac {n^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}},}$$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{>0}}$${\displaystyle k_{n}=0}$${\displaystyle A=0}$${\displaystyle \psi (x)=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=L}$

ในที่สุด ค่าคงที่ที่ไม่ทราบค่าอาจหาได้โดยการทำให้ฟังก์ชันคลื่นเป็นค่าปกตินั่นคือ จะได้ ว่าจำนวนเชิงซ้อนใดๆที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับ จะ ให้สถานะปกติเดียวกัน ${\displaystyle A}$$${\displaystyle \int _{0}^{L}\left\vert \psi (x)\right\vert ^{2}dx=1,}$$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \left|A\right|={\sqrt {\frac {2}{L}}},}$$

คาดว่าค่าไอเกน (eigenvalues)หรือพลังงานของกล่อง ควรจะเท่ากันไม่ว่ากล่องจะอยู่ที่ใดในอวกาศ แต่ค่า λ จะเปลี่ยนแปลงไป โปรดสังเกตว่า λ แสดงถึงการเลื่อนเฟสในฟังก์ชันคลื่น การเลื่อนเฟสนี้ไม่มีผลเมื่อแก้สมการชโรดิงเกอร์ ดังนั้นจึงไม่ส่งผลต่อค่าไอเกน ${\displaystyle E_{n}}$${\displaystyle \psi _{n}(x,t)}$${\displaystyle x_{c}-{\tfrac {L}{2}}}$

ถ้าเรากำหนดจุดกำเนิดพิกัดให้อยู่ที่กึ่งกลางของกล่อง เราสามารถเขียนส่วนเชิงพื้นที่ของฟังก์ชันคลื่นได้อย่างกระชับดังนี้: $${\displaystyle \psi _{n}(x)={\begin{cases}{\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin(k_{n}x)\quad {}{\text{สำหรับ }}n{\text{ คู่}}\\{\sqrt {\frac {2}{L}}}\cos(k_{n}x)\quad {}{\text{สำหรับ }}n{\text{ คี่}}.\end{cases}}}$$

ฟังก์ชันคลื่นโมเมนตัมเป็นสัดส่วนกับการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันคลื่นตำแหน่ง โดยที่(โปรดทราบว่าพารามิเตอร์kที่อธิบายฟังก์ชันคลื่นโมเมนตัมด้านล่างไม่ใช่k _n พิเศษ ด้านบนที่เชื่อมโยงกับค่าไอเกนของพลังงาน) ฟังก์ชันคลื่นโมเมนตัมกำหนดโดย โดย ที่ sinc คือ ฟังก์ชัน ไซน์ sinc หลักsinc( x ) = sin( x )/ xสำหรับกล่องที่อยู่ตรงกลาง ( x _c = 0 ) คำตอบเป็นจำนวนจริงและเรียบง่ายเป็นพิเศษ เนื่องจากตัวประกอบเฟสทางด้านขวาลดลงเหลือหนึ่ง (หากระมัดระวัง สามารถเขียนเป็นฟังก์ชันคู่ของpได้) ${\displaystyle k=p/\hbar }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{n}(p,t)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x,t)e^{-ikx}\,dx\\[1ex]&={\sqrt {\frac {L}{\pi \hbar }}}\left({\frac {n\pi }{n\pi +kL}}\right)\,\operatorname {sinc} \left({\tfrac {1}{2}}(n\pi -kL)\right)e^{-ikx_{c}}e^{i(n-1){\tfrac {\pi }{2}}}e^{-i\omega _{n}t},\end{aligned}}}$$

จะเห็นได้ว่าสเปกตรัมโมเมนตัมในกลุ่มคลื่น นี้ มีความต่อเนื่อง และอาจสรุปได้ว่าสำหรับสถานะพลังงานที่อธิบายโดยเลขคลื่นk _nโมเมนตัมเมื่อวัดแล้วสามารถมีค่าอื่นๆนอกเหนือจากนั้นได้ เช่นกัน${\displaystyle p=\pm \hbar k_{n}}$

ดังนั้น จึงดูเหมือนว่า เนื่องจากพลังงานเป็นของ สถานะไอเกนที่ nความสัมพันธ์จึงไม่เป็นไปตามโมเมนตัมที่วัดได้p อย่างเคร่งครัด สถานะไอเกนของพลังงานไม่ใช่สถานะไอเกนของโมเมนตัม และในความเป็นจริงก็ไม่ใช่แม้แต่การซ้อนทับของสถานะไอเกนของโมเมนตัมสองสถานะ ดังที่บางคนอาจจินตนาการได้จากสมการ ( 1 ) ข้างต้น: ที่แปลกคือ มันไม่มีโมเมนตัมที่กำหนดไว้อย่างดีก่อนการวัด! ${\textstyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}k_{n}^{2}}{2m}}}$${\textstyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$${\displaystyle \psi _{n}}$

ในฟิสิกส์แบบคลาสสิก อนุภาคสามารถตรวจพบได้ทุกที่ในกล่องด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน อย่างไรก็ตาม ในกลศาสตร์ควอนตัม ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นในการพบอนุภาค ณ ตำแหน่งที่กำหนดนั้นได้มาจากฟังก์ชันคลื่นดังนี้ สำหรับอนุภาคในกล่อง ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นในการพบอนุภาค ณ ตำแหน่งที่กำหนดจะขึ้นอยู่กับสถานะของอนุภาค และกำหนดโดย ${\displaystyle P(x)=|\psi (x)|^{2}.}$$${\displaystyle P_{n}(x,t)={\begin{cases}{\frac {2}{L}}\sin ^{2}\left(k_{n}\left(x-x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\right)\right),&x_{c}-{\frac {L}{2}}<x<x_{c}+{\frac {L}{2}},\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$$

ดังนั้น สำหรับค่าn ใดๆ ที่ มากกว่าหนึ่ง จะมีบริเวณภายในกล่องซึ่งบ่งชี้ว่า มี จุดในอวกาศที่อนุภาคไม่สามารถพบได้ อย่างไรก็ตาม หาก พิจารณา สมการคลื่นสัมพัทธภาพความหนาแน่นของความน่าจะเป็นจะไม่เป็นศูนย์ที่จุด (ยกเว้นกรณีที่ไม่สำคัญ) ^{[ 7 ]}${\displaystyle P(x)=0}$${\displaystyle n=0}$

ในกลศาสตร์ควอนตัม ค่าเฉลี่ยหรือค่าคาดหวังของตำแหน่งของอนุภาคจะกำหนดโดย $${\displaystyle \langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }xP_{n}(x)\,\mathrm {d} x.}$$

สำหรับอนุภาคที่อยู่ในสถานะคงที่ในกล่อง สามารถแสดงได้ว่าตำแหน่งเฉลี่ยจะเป็น เสมอ โดยไม่ขึ้นอยู่กับสถานะของอนุภาค สำหรับการซ้อนทับของสถานะ ค่าคาดหวังของตำแหน่งจะเปลี่ยนแปลงไปตามพจน์ไขว้ ซึ่งเป็นสัดส่วนกับ ${\displaystyle \langle x\rangle =x_{c}}$${\displaystyle \cos(\omega t)}$

ความแปรปรวนของตำแหน่งเป็นตัววัดความไม่แน่นอนของตำแหน่งของอนุภาค: $${\displaystyle \mathrm {Var} (x)=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\langle x\rangle )^{2}P_{n}(x)\,dx={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}$$

ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นในการพบอนุภาคที่มีโมเมนตัมที่กำหนดนั้นได้มาจากฟังก์ชันคลื่นเป็น. เช่นเดียวกับตำแหน่ง ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นในการพบอนุภาคที่โมเมนตัมที่กำหนดนั้นขึ้นอยู่กับสถานะของมัน และกำหนดโดย โดย ที่. จากนั้นค่าคาดหวังของโมเมนตัมจะคำนวณได้เป็นศูนย์ และความแปรปรวนของโมเมนตัมจะคำนวณได้เป็น: ${\displaystyle P(x)=|\phi (x)|^{2}}$$${\displaystyle P_{n}(p)={\frac {L}{\pi \hbar }}\left({\frac {n\pi }{n\pi +kL}}\right)^{2}\,{\textrm {sinc}}^{2}\left({\tfrac {1}{2}}(n\pi -kL)\right)}$$${\displaystyle k=p/\hbar }$$${\displaystyle \mathrm {Var} (p)=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}}$$

ความไม่แน่นอนในตำแหน่งและโมเมนตัม ( และ) ถูกกำหนดให้เท่ากับรากที่สองของความแปรปรวนตามลำดับ ดังนั้น: ${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle \Delta p}$$${\displaystyle \Delta x\Delta p={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}}$$

ผลคูณนี้จะเพิ่มขึ้นเมื่อn เพิ่มขึ้น โดย มีค่าต่ำสุดที่n = 1 ค่าของผลคูณนี้สำหรับn = 1 มีค่าประมาณ 0.568 ซึ่งสอดคล้องกับหลักการความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์กซึ่งระบุว่าผลคูณจะมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ ${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle \hbar /2}$

การวัดความไม่แน่นอนของตำแหน่งอีกประการหนึ่งคือเอนโทรปีข้อมูลของการกระจายความน่าจะเป็นH _x : ^{[ 8 ]} โดยที่x ₀เป็นความยาวอ้างอิงที่กำหนด $${\displaystyle H_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }P_{n}(x)\log(P_{n}(x)x_{0})\,dx=\log \left({\frac {2L}{e\,x_{0}}}\right)}$$

มาตรวัดความไม่แน่นอนอีกอย่างหนึ่งในโมเมนตัมคือเอนโทรปีสารสนเทศของการกระจายความน่าจะเป็นH _p : โดยที่γคือค่าคงที่ของออยเลอร์หลักการความไม่แน่นอนของเอนโทรปีในกลศาสตร์ควอนตัมระบุว่าสำหรับ( nats ) $${\displaystyle H_{p}(n)=\int _{-\infty }^{\infty }P_{n}(p)\log(P_{n}(p)p_{0})\,dp}$$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }H_{p}(n)=\log \left({\frac {4\pi \hbar \,e^{2(1-\gamma )}}{L\,p_{0}}}\right)}$$${\displaystyle x_{0}\,p_{0}=\hbar }$$${\displaystyle H_{x}+H_{p}(n)\geq \log(e\,\pi )\approx 2.14473...}$$

สำหรับผลรวมของเอนโทรปีตำแหน่งและโมเมนตัมจะได้ดังนี้: โดยที่หน่วยคือnatและ ซึ่งสอดคล้องกับหลักการความไม่แน่นอนของเอนโทรปีควอนตัม ${\displaystyle x_{0}\,p_{0}=\hbar }$$${\displaystyle H_{x}+H_{p}(\infty )=\log \left(8\pi \,e^{1-2\gamma }\right)\approx 3.06974...}$$

พลังงานที่สอดคล้องกับเลขคลื่นที่อนุญาตแต่ละค่าสามารถเขียนได้ดังนี้^{[ 9 ]} ระดับพลังงานเพิ่มขึ้นตามหมายความว่าระดับพลังงานสูงจะแยกออกจากกันมากกว่าระดับพลังงานต่ำ พลังงานต่ำสุดที่เป็นไปได้สำหรับอนุภาค ( พลังงานศูนย์จุด ) พบได้ในสถานะที่ 1 ซึ่งกำหนดโดย^{[ 10 ]} ดังนั้นอนุภาคจึงมีพลังงานเป็นบวกเสมอ ซึ่งแตกต่างจากระบบคลาสสิกที่อนุภาคสามารถมีพลังงานเป็นศูนย์ได้โดยการหยุดนิ่ง สิ่งนี้สามารถอธิบายได้ในแง่ของหลักการความไม่แน่นอนซึ่งระบุว่าผลคูณของความไม่แน่นอนในตำแหน่งและโมเมนตัมของอนุภาคถูกจำกัดโดย สามารถแสดงได้ว่าความไม่แน่นอนในตำแหน่งของอนุภาคเป็นสัดส่วนกับความกว้างของกล่อง^{[ 11 ]} ดังนั้นความไม่แน่นอนในโมเมนตัมจึงแปรผกผันกับความกว้างของกล่องโดยประมาณ^{[ 10 ]} พลังงานจลน์ของอนุภาคกำหนดโดยและดังนั้นพลังงานจลน์ขั้นต่ำของอนุภาคในกล่องจึงแปรผกผันกับมวลและกำลังสองของความกว้างของบ่อ ซึ่งสอดคล้องกับการคำนวณข้างต้นในเชิงคุณภาพ^{[ 10 ]}$${\displaystyle E_{n}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.}$$${\displaystyle n^{2}}$$${\displaystyle E_{1}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}.}$$$${\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}}$$${\displaystyle E=p^{2}/(2m)}$

ถ้าอนุภาคถูกกักอยู่ในกล่องสองมิติ มันอาจเคลื่อนที่ได้อย่างอิสระใน ทิศทาง x และ y ระหว่างสิ่งกีดขวางที่แยกจากกันด้วยความยาว y และy ตามลำดับ สำหรับกล่องที่มีจุดศูนย์กลาง ฟังก์ชันคลื่นตำแหน่งอาจเขียนได้โดยรวมความยาวของกล่องไว้ด้วยเป็น โดยใช้วิธีการที่คล้ายคลึงกับกล่องหนึ่งมิติ จะสามารถแสดงได้ว่าฟังก์ชันคลื่นและพลังงานสำหรับกล่องที่มีจุดศูนย์กลางนั้นกำหนดโดย ตามลำดับ โดย ที่ เวกเตอร์คลื่น สองมิติกำหนดโดย ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle L_{x}}$${\displaystyle L_{y}}$${\displaystyle \psi _{n}(x,t,L)}$$${\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y}}=\psi _{n_{x}}(x,t,L_{x})\psi _{n_{y}}(y,t,L_{y}),}$$$${\displaystyle E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y}}^{2}}{2m}},}$$$${\displaystyle \mathbf {k} _{n_{x},n_{y}}=k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}}\mathbf {\hat {y}} ={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}}}\mathbf {\hat {y}} .}$$

สำหรับกล่องสามมิติ คำตอบจะเป็นไป ตามที่เวกเตอร์คลื่นสามมิติกำหนดโดย: $${\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y},n_{z}}=\psi _{n_{x}}(x,t,L_{x})\psi _{n_{y}}(y,t,L_{y})\psi _{n_{z}}(z,t,L_{z}),}$$$${\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {\hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y},n_{z}}^{2}}{2m}},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {k} _{n_{x},n_{y},n_{z}}&=k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}}\mathbf {\hat {y}} +k_{n_{z}}\mathbf {\hat {z}} \\[1ex]&={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}}}\mathbf {\hat {y}} +{\frac {n_{z}\pi }{L_{z}}}\mathbf {\hat {z}} .\end{aligned}}}$$

โดยทั่วไปสำหรับ กล่อง nมิติ คำตอบจะเป็นดังนี้ $${\displaystyle \psi =\prod _{i}\psi _{n_{i}}(x_{i},t,L_{i})}$$

ฟังก์ชัน คลื่นโมเมนตัม nมิติ สามารถแสดงได้ดังนี้และฟังก์ชันคลื่นโมเมนตัมสำหรับกล่องศูนย์กลาง n มิติ จะเป็นดังนี้:${\displaystyle \phi _{n}(x,t,L_{x})}$$${\displaystyle \phi =\prod _{i}\phi _{n_{i}}(k_{i},t,L_{i})}$$

ลักษณะที่น่าสนใจอย่างหนึ่งของวิธีแก้ปัญหาข้างต้นคือ เมื่อความยาวสองค่าขึ้นไปเท่ากัน (เช่น) จะมีฟังก์ชันคลื่นหลายฟังก์ชันที่สอดคล้องกับพลังงานรวมเดียวกัน ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันคลื่นที่มีมีพลังงานเท่ากับฟังก์ชันคลื่นที่มีสถานการณ์นี้เรียกว่าภาวะเสื่อมและในกรณีที่ฟังก์ชันคลื่นเสื่อมสองฟังก์ชันมีพลังงานเท่ากัน ระดับพลังงานนั้นเรียกว่าภาวะเสื่อมสองเท่าภาวะเสื่อมเกิดจากสมมาตรในระบบ สำหรับกรณีข้างต้น ความยาวสองค่าเท่ากัน ดังนั้นระบบจึงสมมาตรเมื่อเทียบกับการหมุน 90° ${\displaystyle L_{x}=L_{y}}$${\displaystyle n_{x}=2,n_{y}=1}$${\displaystyle n_{x}=1,n_{y}=2}$

ฟังก์ชันคลื่นสำหรับอนุภาคกลศาสตร์ควอนตัมในกล่องที่มีผนังรูปทรงใดๆ นั้นกำหนดโดยสมการเฮล์มโฮลทซ์โดยมีเงื่อนไขขอบเขตว่าฟังก์ชันคลื่นเป็นศูนย์ที่ผนัง ระบบเหล่านี้ได้รับการศึกษาในสาขาความโกลาหลควอนตัมสำหรับรูปทรงผนังที่โต๊ะบิลเลียดไดนามิก ที่สอดคล้องกันนั้น ไม่สามารถหาปริพันธ์ได้

เนื่องจากความเรียบง่ายทางคณิตศาสตร์ แบบจำลองอนุภาคในกล่องจึงถูกนำมาใช้เพื่อหาคำตอบโดยประมาณสำหรับระบบทางกายภาพที่ซับซ้อนกว่า ซึ่งอนุภาคถูกกักอยู่ในบริเวณแคบๆ ที่มีศักย์ไฟฟ้า ต่ำ ระหว่างกำแพงศักย์สูงสองแห่ง ระบบ บ่อควอนตัม เหล่านี้ มีความสำคัญอย่างยิ่งในด้านอิเล็กโทรออปติกและถูกนำไปใช้ในอุปกรณ์ต่างๆ เช่นเลเซอร์บ่อควอนตัมโฟโตดีเทคเตอร์อินฟราเรดบ่อควอนตัมและตัวปรับสัญญาณผลกระทบสตาร์กแบบจำกัดควอนตัม นอกจากนี้ยังใช้ในการจำลองโครงสร้างตาข่ายในแบบจำลอง Kronig–Penneyและสำหรับโลหะที่มีขนาดจำกัดด้วยการประมาณอิเล็กตรอนอิสระ

ระบบโพลีอีนแบบคอนจูเกตสามารถจำลองได้โดยใช้ partículas ในกล่อง^{[ 12 ]}ระบบอิเล็กตรอนแบบคอนจูเกตสามารถจำลองได้เป็นกล่องหนึ่งมิติที่มีความยาวเท่ากับระยะพันธะทั้งหมดจากปลายด้านหนึ่งของโพลีอีนไปยังปลายอีกด้านหนึ่ง ในกรณีนี้ อิเล็กตรอนแต่ละคู่ในแต่ละพันธะ π จะสอดคล้องกับระดับพลังงานของพวกมัน ความแตกต่างของพลังงานระหว่างสองระดับพลังงานn _fและn _iคือ: $${\displaystyle \Delta E={\frac {\left(n_{\text{f}}^{2}-n_{\text{i}}^{2}\right)h^{2}}{8mL^{2}}}}$$

ความแตกต่างระหว่างพลังงานสถานะพื้นฐานn และ สถานะกระตุ้นแรกn +1 สอดคล้องกับพลังงานที่จำเป็นในการกระตุ้นระบบ พลังงานนี้มีคลื่นความยาวเฉพาะ และด้วยเหตุนี้จึงมีสีของแสงที่เฉพาะเจาะจง ซึ่งมีความสัมพันธ์กันดังนี้ :$${\displaystyle \lambda ={\frac {hc}{\Delta E}}}$$

ตัวอย่างทั่วไปของปรากฏการณ์นี้คือเบต้าแคโรทีนเบต้าแคโรทีน (C ₄₀ H ₅₆ ) ^{[ 13 ]}เป็นโพลีอีนแบบคอนจูเกตที่มีสีส้มและมีความยาวโมเลกุลประมาณ 3.8 นาโนเมตร (แม้ว่าความยาวสายโซ่จะอยู่ที่ประมาณ 2.4 นาโนเมตรเท่านั้น) ^{[ 14 ]}เนื่องจากเบต้าแคโรทีนมีระดับคอนจูเกต สูง อิเล็กตรอนจึงกระจายไปทั่วความยาวของโมเลกุล ทำให้สามารถจำลองเป็นอนุภาคหนึ่งมิติในกล่องได้ เบต้าแคโรทีนมีพันธะคู่คาร์บอน -คาร์บอน 11 พันธะ ในคอนจูเกต^{[ 13 ]}แต่ละพันธะคู่นั้นมีอิเล็กตรอน π สองตัว ดังนั้นเบต้าแคโรทีนจึงมีอิเล็กตรอน π 22 ตัว ด้วยอิเล็กตรอนสองตัวต่อระดับพลังงาน เบต้าแคโรทีนจึงสามารถถือได้ว่าเป็นอนุภาคในกล่องที่ระดับพลังงานn =11 ^{[ 14 ]}ดังนั้น พลังงานขั้นต่ำที่จำเป็นในการกระตุ้นอิเล็กตรอนไปยังระดับพลังงานถัดไปสามารถคำนวณได้n =12 ดังนี้^{[ 14 ]} (โดยระลึกว่ามวลของอิเล็กตรอนคือ 9.109 × 10 ⁻³¹กก. ^{[ 15 ]} ): $${\displaystyle \Delta E={\frac {\left(n_{\text{f}}^{2}-n_{\text{i}}^{2}\right)h^{2}}{8mL^{2}}}={\frac {\left(12^{2}-11^{2}\right)h^{2}}{8mL^{2}}}=2.3658\times 10^{-19}{\text{ J}}}$$

โดยใช้ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวคลื่นกับพลังงานที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ โดยระลึกถึงค่าคงที่ของพลังค์hและความเร็วแสงc : $${\displaystyle \lambda ={\frac {hc}{\Delta E}}={0.000\,000\,84}{\text{ m}}=840{\text{ nm}}}$$

สิ่งนี้บ่งชี้ว่าเบต้าแคโรทีนดูดซับแสงในช่วงสเปกตรัมอินฟราเรดเป็นหลัก ดังนั้นจึงปรากฏเป็นสีขาวเมื่อมองด้วยตาเปล่า อย่างไรก็ตาม ความยาวคลื่นที่สังเกตได้คือ 450 นาโนเมตร^{[ 16 ]}ซึ่งบ่งชี้ว่าอนุภาคในกล่องไม่ใช่แบบจำลองที่สมบูรณ์แบบสำหรับระบบนี้

แบบจำลองอนุภาคในกล่องสามารถนำไปใช้กับเลเซอร์ควอนตัมเวลล์ได้ซึ่งเป็นเลเซอร์ไดโอดที่ประกอบด้วยวัสดุเซมิคอนดักเตอร์ "เวลล์" หนึ่งชนิดที่ประกบอยู่ระหว่างชั้นเซมิคอนดักเตอร์อีกสองชั้นที่มีวัสดุต่างกัน เนื่องจากชั้นของแซนด์วิชนี้บางมาก (ชั้นกลางโดยทั่วไปมีความหนาประมาณ 100 Å) จึงสามารถสังเกตผลกระทบของการกักขังควอนตัม ได้ ^{[ 17 ]}แนวคิดที่ว่าสามารถนำผลกระทบควอนตัมมาใช้เพื่อสร้างเลเซอร์ไดโอดที่ดีขึ้นได้นั้นเกิดขึ้นในทศวรรษ 1970 เลเซอร์ควอนตัมเวลล์ได้รับการจดสิทธิบัตรในปี 1976 โดย R. Dingle และ CH Henry ^{[ 18 ]}

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พฤติกรรมของบ่อควอนตัมสามารถแสดงได้ด้วยอนุภาคในแบบจำลองบ่อจำกัด ต้องเลือกเงื่อนไขขอบเขตสองข้อ ข้อแรกคือฟังก์ชันคลื่นต้องต่อเนื่อง บ่อยครั้งที่เงื่อนไขขอบเขตข้อที่สองถูกเลือกให้เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันคลื่นต้องต่อเนื่องข้ามขอบเขต แต่ในกรณีของบ่อควอนตัม มวลจะแตกต่างกันในแต่ละด้านของขอบเขต ดังนั้น เงื่อนไขขอบเขตข้อที่สองจึงถูกเลือกให้รักษาฟลักซ์ของอนุภาคไว้ซึ่งสอดคล้องกับการทดลอง การแก้ปัญหาของอนุภาคในกล่องบ่อจำกัดต้องแก้ด้วยวิธีเชิงตัวเลข ส่งผลให้ฟังก์ชันคลื่นเป็นฟังก์ชันไซน์ภายในบ่อควอนตัมและฟังก์ชันที่ลดลงแบบเอกซ์โพเนนเชียลในสิ่งกีดขวาง^{[ 19 ]}การควอนตัมของระดับพลังงานของอิเล็กตรอนนี้ทำให้เลเซอร์บ่อควอนตัมสามารถเปล่งแสงได้อย่างมีประสิทธิภาพมากกว่าเลเซอร์เซมิคอนดักเตอร์ทั่วไป ${\displaystyle (1/m)d\phi /dz}$

เนื่องจากขนาดที่เล็ก จุดควอนตัมจึงไม่แสดงคุณสมบัติโดยรวมของสารกึ่งตัวนำที่ระบุ แต่จะแสดงสถานะพลังงานแบบควอนตัมแทน^{[ 20 ]}ผลกระทบนี้เรียกว่าการกักขังควอนตัม และนำไปสู่การประยุกต์ใช้จุดควอนตัมมากมาย เช่น เลเซอร์บ่อควอนตัม^{[ 20 ]}

นักวิจัยที่มหาวิทยาลัยพรินซ์ตันเพิ่งสร้างเลเซอร์ควอนตัมเวลล์ที่มีขนาดไม่ใหญ่กว่าเมล็ดข้าว^{[ 21 ]}เลเซอร์นี้ทำงานโดยใช้อิเล็กตรอนตัวเดียวที่ผ่านควอนตัมดอตสองจุด ซึ่งก็คือควอนตัมดอตคู่ อิเล็กตรอนเคลื่อนที่จากสถานะพลังงานสูงไปยังสถานะพลังงานต่ำพร้อมกับปล่อยโฟตอนในย่านไมโครเวฟ โฟตอนเหล่านี้สะท้อนจากกระจกเพื่อสร้างลำแสง ซึ่งก็คือเลเซอร์^{[ 21 ]}

เลเซอร์บ่อควอนตัมอาศัยปฏิสัมพันธ์ระหว่างแสงและอิเล็กตรอนเป็นหลัก ความสัมพันธ์นี้เป็นองค์ประกอบสำคัญในทฤษฎีกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งรวมถึงความยาวคลื่นเดอ บรอยล์และอนุภาคในกล่อง จุดควอนตัมคู่ช่วยให้นักวิทยาศาสตร์สามารถควบคุมการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนได้อย่างสมบูรณ์ ซึ่งส่งผลให้เกิดการสร้างลำแสงเลเซอร์^{[ 21 ]}

จุดควอนตัมเป็นสารกึ่งตัวนำ ขนาดเล็กมาก (ในระดับนาโนเมตร) ^{[ 22 ]}พวกมันแสดงการกักขังควอนตัมในแง่ที่ว่าอิเล็กตรอนไม่สามารถหลุดออกจาก "จุด" ได้ จึงทำให้สามารถใช้การประมาณอนุภาคในกล่องได้^{[ 23 ]}พฤติกรรมของพวกมันสามารถอธิบายได้ด้วยสมการควอนตัมพลังงานอนุภาคในกล่องสามมิติ^{[ 23 ]}

ช่องว่างพลังงานของควอนตัมดอตคือช่องว่างพลังงานระหว่างแถบวาเลนซ์และแถบนำไฟฟ้าช่องว่างพลังงานนี้เท่ากับช่องว่างของวัสดุที่เป็นเนื้อเดียวกันบวกกับสมการพลังงานที่ได้จากอนุภาคในกล่อง ซึ่งให้พลังงานสำหรับอิเล็กตรอนและโฮล [ ^{23 ] สามารถ}เห็นได้จากสมการต่อไปนี้ โดยที่และคือมวลยังผลของอิเล็กตรอนและโฮลคือรัศมีของดอต และคือค่าคงที่ของพลังค์: ^{[ 23 ]}${\displaystyle \Delta E(r)}$${\displaystyle E_{\text{gap}}}$${\displaystyle m_{e}^{*}}$${\displaystyle m_{h}^{*}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle h}$$${\displaystyle \Delta E(r)=E_{\text{gap}}+{\frac {h^{2}}{8r^{2}}}\left({\frac {1}{m_{e}^{*}}}+{\frac {1}{m_{h}^{*}}}\right)}$$

ดังนั้น ช่องว่างพลังงานของควอนตัมดอทจึงแปรผกผันกับกำลังสองของ "ความยาวของกล่อง" กล่าวคือรัศมีของควอนตัมดอท^{[ 23 ]}

การควบคุมช่องว่างพลังงานช่วยให้สามารถดูดซับและปล่อยแสงที่มีความยาวคลื่นเฉพาะได้ เนื่องจากพลังงานแปรผกผันกับความยาวคลื่น^{[ 22 ]}ยิ่งควอนตัมดอทมีขนาดเล็ก ช่องว่างพลังงานก็จะยิ่งใหญ่ขึ้น และความยาวคลื่นที่ถูกดูดซับก็จะสั้นลง^{[ 22 ] [ 24 ]}

วัสดุเซมิคอนดักเตอร์ที่แตกต่างกันถูกนำมาใช้ในการสังเคราะห์ควอนตัมดอตที่มีขนาดต่างกันและปล่อยแสงที่มีความยาวคลื่นต่างกัน^{[ 24 ]}มักใช้วัสดุที่ปกติปล่อยแสงในช่วงที่มองเห็นได้ และปรับขนาดให้เหมาะสมเพื่อให้ปล่อยสีบางสีออกมา^{[ 22 ]}สารทั่วไปที่ใช้ในการสังเคราะห์ควอนตัมดอต ได้แก่ แคดเมียม (Cd) และซีลีเนียม (Se) ^{[ 22 ] [ 24 ]}ตัวอย่างเช่น เมื่ออิเล็กตรอนของควอนตัมดอต CdSe ขนาด 2 นาโนเมตรคลายตัวหลังจากการกระตุ้นจะปล่อยแสงสีน้ำเงินออกมา ในทำนองเดียวกัน ควอนตัมดอต CdSe ขนาด 4 นาโนเมตรจะปล่อยแสงสีแดงออกมา^{[ 25 ] [ 22 ]}

จุดควอนตัมมีฟังก์ชันหลากหลาย รวมถึงแต่ไม่จำกัดเพียง สีย้อมเรืองแสงทรานซิสเตอร์ LED เซลล์แสงอาทิตย์และการถ่ายภาพทางการแพทย์ผ่านโพรบ^แสง [ ^{22 ] [ 23 ]}

หน้าที่หนึ่งของควอนตัมดอทคือการนำไปใช้ในการทำแผนที่ต่อมน้ำเหลือง ซึ่งเป็นไปได้เนื่องจากความสามารถเฉพาะตัวในการปล่อยแสงในย่านอินฟราเรดใกล้ (NIR) การทำแผนที่ต่อมน้ำเหลืองช่วยให้ศัลยแพทย์สามารถติดตามได้ว่ามีเซลล์มะเร็งอยู่หรือไม่และอยู่ที่ใด^{[ 26 ]}

จุดควอนตัมมีประโยชน์สำหรับฟังก์ชันเหล่านี้เนื่องจากการปล่อยแสงที่สว่างกว่า การกระตุ้นด้วยความยาวคลื่นที่หลากหลาย และความต้านทานต่อแสงที่สูงกว่าสารอื่นๆ^{[ 26 ] [ 22 ]}

• ทฤษฎีบทของบล็อก
• อินทิกรัลการจัดเรียง (กลศาสตร์สถิติ)
• ศักยภาพฟังก์ชันเดลต้า
• บ่อศักย์จำกัด
• แก๊สในกล่อง
• ประวัติศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัม
• อนุภาคในวงแหวน
• อนุภาคในศักยภาพที่มีสมมาตรทรงกลม
• ตัวสั่นฮาร์มอนิกควอนตัม
• กำแพงศักย์รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
• บ่อศักย์รูปครึ่งวงกลม

• Bransden, BH; Joachain, CJ (2000). กลศาสตร์ควอนตัม (ฉบับที่ 2). เอสเซ็กซ์: Pearson Education. ISBN 978-0-582-35691-7.
• โคเฮน-ทันนูดจิ, คลอดด์; ดีอู, เบอร์นาร์ด; ลาโล, ฟรองค์ (2019) กลศาสตร์ควอนตัม เล่มที่ 1 ไวน์ไฮม์: จอห์น ไวลีย์ แอนด์ ซันส์ไอเอสบีเอ็น 978-3-527-34553-3.
• เดวีส์, จอห์น เอช. (2006). ฟิสิกส์ของสารกึ่งตัวนำมิติlต่ำ: บทนำ (ฉบับพิมพ์ซ้ำครั้งที่ 6). สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์.
• Hall, BC (2013). ทฤษฎีควอนตัมสำหรับนักคณิตศาสตร์ . ตำราเรียนคณิตศาสตร์ระดับบัณฑิตศึกษา. เล่มที่ 267. Springer. รหัสบรรณานุกรม : 2013qtm..book.....H . ISBN 978-1461471158.
• กริฟฟิธส์, เดวิด เจ. (2004). บทนำสู่กลศาสตร์ควอนตัม (ฉบับที่ 2). เพรนติส ฮอลล์. ISBN 978-0-13-111892-8.

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับบ่อศักย์สี่เหลี่ยมจัตุรัสอนันต์ 1มิติ

• อินทิกรัลการกำหนดค่า (กลศาสตร์สถิติ) , 2008. เว็บไซต์วิกิแห่งนี้ปิดตัวลงแล้ว โปรดดูบทความนี้ในคลังเก็บข้อมูลเว็บเมื่อวันที่ 28 เมษายน 2012