เรขาคณิตพีชคณิตเชิงตัวเลขเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์เชิงคำนวณโดยเฉพาะเรขาคณิตพีชคณิตเชิงคำนวณซึ่งใช้วิธีการวิเคราะห์เชิงตัวเลขเพื่อศึกษาและจัดการคำตอบของระบบสมการพหุนาม^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

วิธีการคำนวณหลักที่ใช้ในเรขาคณิตพีชคณิตเชิงตัวเลขคือ การต่อเนื่องจากโฮโมโทปี (homotopy continuation) ซึ่ง เป็นการสร้าง โฮโมโทปีระหว่างระบบพหุนามสองระบบ และต่อยอดคำตอบที่แยกเดี่ยว (จุด) ของระบบหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่ง วิธีนี้เป็นการเฉพาะทางของวิธีการต่อเนื่องจากเชิงตัวเลข (numerical continuation ) ซึ่งเป็นวิธีการทั่วไปมากกว่า

ให้แทนตัวแปรของระบบ เนื่องจากข้อจำกัดด้านสัญลักษณ์ และเพื่ออำนวยความสะดวกในขอบเขตของปริภูมิแวดล้อมที่สามารถแก้ระบบได้ เราจึงไม่ใช้สัญลักษณ์เวกเตอร์สำหรับ ในทำนองเดียวกัน สำหรับระบบพหุนามและ${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

สัญกรณ์มาตรฐานปัจจุบันเรียก ระบบเริ่มต้นว่าและระบบเป้าหมาย นั่นคือ ระบบที่จะแก้ไขว่า^{[ 4 ] [ 5 ]} โฮโมโทปีที่พบได้บ่อยมาก คือ โฮโมโทปีเส้นตรง ระหว่างและคือ ${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$$${\displaystyle H(z,t)=(1-t)f(z)+tg(z)}$$

ในโฮโมโทปีข้างต้น ตัวแปรเส้นทางเริ่มต้นที่และดำเนินต่อไปยังอีกทางเลือกหนึ่งที่นิยมคือการวิ่งจากไปยังโดยหลักการแล้ว ทางเลือกนี้ขึ้นอยู่กับดุลพินิจโดยสมบูรณ์ ในทางปฏิบัติ เกี่ยวกับวิธีการจบเกมสำหรับการคำนวณคำตอบเอกพจน์โดยใช้การต่อเนื่องของโฮโมโทปี เวลาเป้าหมายที่เป็นสามารถลดความซับซ้อนในการวิเคราะห์ได้อย่างมาก ดังนั้นจึงใช้มุมมองนี้^{[ 6 ]}${\displaystyle t_{\text{start}}=1}$${\displaystyle t_{\text{end}}=0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0}$

ไม่ว่าการเลือกเวลาเริ่มต้นและเวลาเป้าหมายจะเป็นอย่างไร ควรเขียนสูตรให้เป็นไปตามเงื่อนไขที่ว่าและ. ${\displaystyle H}$${\displaystyle H(z,t_{\text{start}})=g(z)}$${\displaystyle H(z,t_{\text{end}})=f(z)}$

บุคคลหนึ่งมีทางเลือกในเรื่องนี้ รวมถึง ${\displaystyle g(z)}$

• รากฐานแห่งความเป็นเอกภาพ
• ระดับทั้งหมด
• ทรงหลายเหลี่ยม
• หลายชนิดที่เป็นเนื้อเดียวกัน

นอกจากนี้ระบบเริ่มต้น เฉพาะ ที่สะท้อนโครงสร้างของระบบนั้นอย่างใกล้ชิดอาจถูกสร้างขึ้นสำหรับระบบบางระบบ การเลือกใช้ระบบเริ่มต้นส่งผลต่อเวลาในการคำนวณที่ใช้ในการแก้ปัญหาโดยระบบที่สร้างได้ง่าย (เช่น ระบบที่มีดีกรีรวม) มักจะมีจำนวนเส้นทางที่ต้องติดตามมากกว่า และระบบที่ต้องใช้ความพยายามอย่างมาก (เช่น วิธีโพลีเฮดรัล) จะมีความแม่นยำกว่ามาก ปัจจุบันยังไม่มีวิธีที่ดีในการทำนายว่าระบบใดจะนำไปสู่เวลาในการแก้ปัญหาที่เร็วที่สุด ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

โดยทั่วไปแล้ว การดำเนินการต่อเนื่องที่แท้จริงจะทำโดยใช้วิธีการทำนายและแก้ไขโดยมีคุณสมบัติเพิ่มเติมตามที่ได้นำมาใช้ การทำนายจะทำโดยใช้ วิธีการทำนาย ODE มาตรฐาน เช่นRunge–Kuttaและการแก้ไขมักใช้การวนซ้ำแบบ Newton–Raphson

เนื่องจากและเป็นพหุนาม การต่อยอดแบบโฮโมโทปีในบริบทนี้จึงรับประกันได้ตามทฤษฎีว่าจะคำนวณหาคำตอบทั้งหมดของ ได้เนื่องมาจากทฤษฎีบทของเบอร์ทินีอย่างไรก็ตาม การรับประกันนี้ไม่ได้เกิดขึ้นเสมอไปในทางปฏิบัติ เนื่องจากปัญหาที่เกิดจากข้อจำกัดของคอมพิวเตอร์สมัยใหม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งความแม่นยำที่จำกัด กล่าวคือ แม้ว่าทฤษฎีบทนี้จะมีความแข็งแกร่งในแง่ของความน่าจะเป็น 1 แต่หากไม่ใช้วิธีการติดตามที่ได้รับการรับรองล่วงหน้า เส้นทางบางเส้นอาจไม่สามารถติดตามได้อย่างสมบูรณ์แบบด้วยเหตุผลต่างๆ ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$

ชุดพยาน (Witness set) คือโครงสร้างข้อมูลที่ใช้เพื่ออธิบายความหลากหลายทางพีชคณิต (algebraic variety ) ชุดพยานสำหรับความหลากหลายเชิงเส้น (affine variety) ที่มีมิติเท่ากันประกอบด้วยข้อมูลสามส่วน ส่วนแรกคือระบบสมการ สมการเหล่านี้กำหนดความหลากหลายทางพีชคณิตที่กำลังศึกษา ส่วนที่สองคือปริภูมิเชิงเส้นมิติของปริภูมิ เชิงเส้น คือมิติร่วมของปริภูมิ เชิงเส้น และถูกเลือกให้ตัดกันในแนวตั้งฉาก ส่วนที่สามคือรายการจุดในจุดตัด จุดตัดนี้มีจุดจำนวนจำกัด และจำนวนจุดคือดีกรีของความหลากหลายทางพีชคณิตดังนั้น ชุดพยานจึงเข้ารหัสคำตอบของคำถามสองข้อแรกที่ถามเกี่ยวกับความหลากหลายทางพีชคณิต ได้แก่ มิติคืออะไร และดีกรีคืออะไร ชุดพยานยังช่วยให้สามารถทำการแยกส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้เชิงตัวเลข การทดสอบการเป็นสมาชิกของส่วนประกอบ และการสุ่มตัวอย่างส่วนประกอบ ทำให้ชุดพยานเป็นคำอธิบายที่ดีของความหลากหลายทางพีชคณิต ${\displaystyle W}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathbf {V} }(F)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathbf {V} }(F)}$${\displaystyle {\mathbf {V} }(F)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}\cap {\mathbf {V} }(F)}$${\displaystyle {\mathbf {V} }(F)}$

วิธีแก้ปัญหาของระบบพหุนามที่คำนวณโดยใช้วิธีพีชคณิตเรขาคณิตเชิงตัวเลขสามารถรับรองได้ซึ่งหมายความว่าวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณนั้น "ถูกต้อง" สามารถทำได้หลายวิธี ไม่ว่าจะเป็นแบบล่วงหน้าโดยใช้ตัวติดตามที่ได้รับการรับรอง^{[ 7 ] [ 8 ]}หรือแบบภายหลังโดยการแสดงให้เห็นว่าจุดนั้นอยู่ในบริเวณการบรรจบกันของวิธีของนิวตัน^{[ 9 ]}

มีโปรแกรมซอฟต์แวร์หลายชุดที่นำเอาส่วนต่างๆ ของทฤษฎีเรขาคณิตพีชคณิตเชิงตัวเลขมาใช้ ซึ่งได้แก่ (เรียงตามลำดับตัวอักษร):

• อัลฟ่ารับรอง^{[ 9 ]}
• เบอร์ตินี^{[ 5 ]}
• Hom4PS ^{[ 10 ] [ 11 ]}
• HomotopyContinuation.jl ^{[ 12 ]}
• Macaulay2 (การใช้งานหลักของการติดตามโฮโมโทปีและแพ็คเกจNumericalAlgebraicGeometry^{[ 3 ] )}
• MiNuS : เฟรมเวิร์ก C++ ที่ได้รับการปรับแต่งเพื่อการแก้ปัญหาการต่อยอดโฮโมโทปีอย่างรวดเร็ว เป็นตัวแก้ปัญหาที่เร็วที่สุดสำหรับปัญหาเหลี่ยมมุมฉากขนาด 100-320 องศาบางประเภทในปัจจุบัน
• PHCPack ^{[ 13 ]}

• หน้าหลักของเบอร์ตินี
• โฮม4พีเอส-3
• HomotopyContinuation.jl
• เฟรมเวิร์ก MiNuS C++ ที่รวดเร็ว