ในคณิตศาสตร์ประยุกต์ ปัญหา เครื่องหมายเชิงตัวเลขคือ ปัญหาของการประเมิน ค่าอินทิ กรัลของฟังก์ชันที่มีการแกว่งสูงมากซึ่งมี ตัวแปรจำนวนมาก โดยใช้วิธีการเชิงตัวเลข วิธีการเชิงตัวเลข ล้มเหลวเนื่องจากการหักล้างกันเกือบสมบูรณ์ของส่วนที่เป็นบวกและลบของอินทิกรัล จำเป็นต้องทำการอินทิเกรตแต่ละส่วนด้วย ความแม่นยำสูงมากเพื่อให้ได้ผลต่างที่มีความถูกต้องแม่นยำ ที่นำไป ใช้ได้

ปัญหาเรื่องเครื่องหมายเป็นหนึ่งในปัญหาสำคัญที่ยังแก้ไม่ตกในฟิสิกส์ของระบบอนุภาคหลายตัวปัญหานี้มักเกิดขึ้นในการคำนวณคุณสมบัติของ ระบบ กลศาสตร์ควอนตัม ที่มี เฟอร์มิออนที่มีปฏิสัมพันธ์อย่างรุนแรงจำนวนมากหรือในทฤษฎีสนามที่เกี่ยวข้องกับความหนาแน่นที่ไม่เป็นศูนย์ของเฟอร์มิออนที่มีปฏิสัมพันธ์อย่างรุนแรง

ในวิชาฟิสิกส์ ปัญหาเรื่องเครื่องหมายมักพบ (แต่ไม่เฉพาะเจาะจง) ในการคำนวณคุณสมบัติของระบบกลศาสตร์ควอนตัมที่มีเฟอร์มิออนที่มีปฏิสัมพันธ์อย่างรุนแรงจำนวนมาก หรือในทฤษฎีสนามที่เกี่ยวข้องกับความหนาแน่นที่ไม่เป็นศูนย์ของเฟอร์มิออนที่มีปฏิสัมพันธ์อย่างรุนแรง เนื่องจากอนุภาคมีปฏิสัมพันธ์อย่างรุนแรงทฤษฎีการรบกวนจึงใช้ไม่ได้ และจำเป็นต้องใช้วิธีการคำนวณเชิงตัวเลขแบบตรงไปตรงมา เนื่องจากอนุภาคเป็นเฟอร์มิออน ฟังก์ชันคลื่น ของพวกมัน จะเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อสลับเฟอร์มิออนสองตัวใดๆ (เนื่องจากสมมาตรแบบผกผันของฟังก์ชันคลื่น ดูหลักการของเปาลี ) ดังนั้น เว้นแต่จะมีการหักล้างที่เกิดขึ้นจากสมมาตรบางอย่างของระบบ ผลรวมทางกลศาสตร์ควอนตัมเหนือสถานะหลายอนุภาคทั้งหมดจึงเกี่ยวข้องกับการอินทิเกรตเหนือฟังก์ชันที่มีการแกว่งสูงมาก จึงยากต่อการประเมินค่าเชิงตัวเลข โดยเฉพาะอย่างยิ่งในมิติสูง เนื่องจากมิติของการอินทิเกรตกำหนดโดยจำนวนอนุภาค ปัญหาเรื่องเครื่องหมายจึงรุนแรงขึ้นในขีดจำกัดทางเทอร์โมไดนามิก ประเด็นต่อไปนี้จะกล่าวถึงการแสดงออกของปัญหาเครื่องหมายในทฤษฎีสนาม

ปัญหาเรื่องเครื่องหมายเป็นหนึ่งในปัญหาสำคัญที่ยังแก้ไม่ตกในฟิสิกส์ของระบบอนุภาคหลายตัว ซึ่งเป็นอุปสรรคต่อความก้าวหน้าในหลายด้าน:

• ฟิสิกส์สสารควบแน่น — ป้องกันการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของระบบที่มีความหนาแน่นสูงของอิเล็กตรอนที่มีความสัมพันธ์กันอย่างมาก เช่นแบบจำลองฮับบาร์ด^{[ 1 ]}
• ฟิสิกส์นิวเคลียร์ — มันขัดขวางการคำนวณคุณสมบัติของสสารนิวเคลียร์แบบ ab initioและด้วยเหตุนี้จึงจำกัดความเข้าใจของเราเกี่ยวกับนิวเคลียสและดาวนิวตรอน
• ทฤษฎีสนามควอนตัม — ป้องกันการใช้QCD แบบแลตติส^{[ 2 ]}เพื่อทำนายเฟสและคุณสมบัติของสสารควาร์ก [ ^{3 ] (}ในทฤษฎีสนามแลตติสปัญหานี้เรียกอีกอย่างว่าปัญหาการกระทำเชิงซ้อน ) ^{[ 4 ]}

^{[ a ]}ในแนวทางทฤษฎีสนามสำหรับระบบหลายอนุภาค ความหนาแน่นของเฟอร์มิออนถูกควบคุมโดยค่าของศักยภาพทางเคมี เราประเมินฟังก์ชันพาร์ติชันโดยการรวมผลลัพธ์จากโครงสร้างสนามแบบคลาสสิกทั้งหมด โดยถ่วงน้ำหนักด้วย โดยที่คือการกระทำของโครงสร้างนั้น การรวมผลลัพธ์จากสนามเฟอร์มิออนสามารถทำได้โดยวิธีวิเคราะห์ และจะเหลือผลรวมจากสนามโบซอนิก(ซึ่งอาจเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีแต่เดิม หรืออาจเกิดจากการแปลงฮับบาร์ด-สแตรโทโนวิชเพื่อให้การกระทำของเฟอร์มิออนเป็นกำลังสอง) ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \exp(-S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle Z=\int D\sigma \,\rho [\sigma ],}$

โดยที่แทนค่าการวัดผลรวมเหนือการจัดเรียงทั้งหมดของสนามโบซอนิก โดยถ่วงน้ำหนักด้วย ${\displaystyle D\sigma }$${\displaystyle \sigma (x)}$

${\displaystyle \rho [\sigma ]=\det(M(\mu ,\sigma ))\exp(-S[\sigma ]),}$

โดยที่ คือการกระทำของสนามโบซอน และคือเมทริกซ์ที่เข้ารหัสว่าเฟอร์มิออนเชื่อมต่อกับโบซอนอย่างไร ดังนั้น ค่าคาดหวังของปริมาณที่สังเกตได้จึงเป็นค่าเฉลี่ยของการกำหนดค่าทั้งหมดโดยถ่วงน้ำหนักด้วย: ${\displaystyle S}$${\displaystyle M(\mu ,\sigma )}$${\displaystyle A[\sigma ]}$${\displaystyle \rho [\sigma ]}$

${\displaystyle \langle A\rangle _{\rho }={\frac {\int D\sigma \,A[\sigma ]\,\rho [\sigma ]}{\int D\sigma \,\rho [\sigma ]}}.}$

ถ้าค่าเป็นบวก ก็สามารถตีความได้ว่าเป็นค่าความน่าจะเป็น และสามารถคำนวณได้โดยการหาผลรวมของค่าต่างๆ ในแต่ละการกำหนดค่าด้วยวิธีเชิงตัวเลข โดยใช้เทคนิคมาตรฐาน เช่นการสุ่มตัวอย่างแบบ Monte Carlo ${\displaystyle \rho [\sigma ]}$${\displaystyle \langle A\rangle _{\rho }}$

ปัญหาเรื่องเครื่องหมายเกิดขึ้นเมื่อค่าไม่เป็นบวก โดยทั่วไปแล้วจะเกิดขึ้นในทฤษฎีของเฟอร์มิออนเมื่อศักยภาพทางเคมีของเฟอร์มิออนไม่เป็นศูนย์ กล่าวคือเมื่อมีความหนาแน่นพื้นหลังของเฟอร์มิออนที่ไม่เป็นศูนย์ ถ้า จะไม่มีสมมาตรระหว่างอนุภาคและปฏิอนุภาค และและด้วยเหตุนี้ น้ำหนักโดยทั่วไปจึงเป็นจำนวนเชิงซ้อนดังนั้นจึงไม่สามารถใช้การสุ่มตัวอย่างแบบมอนเตคาร์โลเพื่อประเมินค่าอินทิกรัลได้ ${\displaystyle \rho [\sigma ]}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu \neq 0}$${\displaystyle \det(M(\mu ,\sigma ))}$${\displaystyle \rho (\sigma )}$

ทฤษฎีสนามที่มีน้ำหนักไม่เป็นบวกสามารถแปลงเป็นทฤษฎีสนามที่มีน้ำหนักเป็นบวกได้โดยการรวมส่วนที่ไม่เป็นบวก (เครื่องหมายหรือเฟสเชิงซ้อน) ของน้ำหนักเข้ากับค่าที่สังเกตได้ ตัวอย่างเช่น เราสามารถแยกฟังก์ชันถ่วงน้ำหนักออกเป็นค่าสัมบูรณ์และเฟสได้:

${\displaystyle \rho [\sigma ]=p[\sigma ]\,\exp(i\theta [\sigma ]),}$

ซึ่งเป็นสิ่งที่เป็นจริงและเป็นบวก ดังนั้น ${\displaystyle p[\sigma ]}$

${\displaystyle \langle A\rangle _{\rho }={\frac {\int D\sigma A[\sigma ]\exp(i\theta [\sigma ])\,p[\sigma ]}{\int D\sigma \exp(i\theta [\sigma ])\,p[\sigma ]}}={\frac {\langle A[\sigma ]\exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}}{\langle \exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}}}.}$

โปรดทราบว่าค่าคาดหวังที่ต้องการในขณะนี้คืออัตราส่วนที่ตัวเศษและตัวส่วนเป็นค่าคาดหวังซึ่งทั้งคู่ใช้ฟังก์ชันถ่วงน้ำหนักที่เป็นบวกอย่างไรก็ตาม เฟสเป็นฟังก์ชันที่มีการแกว่งสูงในพื้นที่การกำหนดค่า ดังนั้นหากใช้วิธี Monte Carlo ในการประเมินตัวเศษและตัวส่วน แต่ละตัวจะประเมินค่าเป็นจำนวนที่เล็กมาก ซึ่งค่าที่แท้จริงจะถูกกลบด้วยสัญญาณรบกวนที่เกิดขึ้นเองในกระบวนการสุ่มตัวอย่าง Monte Carlo ความ "ร้ายแรง" ของปัญหาเครื่องหมายวัดได้จากความเล็กของตัวส่วน: หากน้อยกว่า 1 มาก ปัญหาเครื่องหมายจะรุนแรง สามารถแสดงได้^{[ 5 ]}ว่า ${\displaystyle p[\sigma ]}$${\displaystyle \exp(i\theta [\sigma ])}$${\displaystyle \langle \exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}}$

${\displaystyle \langle \exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}\propto \exp(-fV/T),}$

โดยที่คือปริมาตรของระบบคืออุณหภูมิ และคือความหนาแน่นของพลังงาน จำนวนจุดสุ่มตัวอย่างแบบมอนเตคาร์โลที่จำเป็นเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำจึงเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณเมื่อปริมาตรของระบบมีขนาดใหญ่ขึ้น และเมื่ออุณหภูมิเข้าใกล้ศูนย์ ${\displaystyle V}$${\displaystyle T}$${\displaystyle f}$

การแยกฟังก์ชันการถ่วงน้ำหนักออกเป็นโมดูลัสและเฟสเป็นเพียงตัวอย่างหนึ่ง (ถึงแม้ว่าจะได้รับการสนับสนุนว่าเป็นทางเลือกที่ดีที่สุดเนื่องจากช่วยลดความแปรปรวนของตัวหาร^{[ 6 ]} ) โดยทั่วไปแล้วสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle \rho [\sigma ]=p[\sigma ]{\frac {\rho [\sigma ]}{p[\sigma ]}},}$

โดยที่สามารถเป็นฟังก์ชันถ่วงน้ำหนักบวกใดๆ ก็ได้ (เช่น ฟังก์ชันถ่วงน้ำหนักของทฤษฎี) ^{[ 7 ]}จากนั้นความเลวร้ายของปัญหาเครื่องหมายจะถูกวัดโดย ${\displaystyle p[\sigma ]}$${\displaystyle \mu =0}$

${\displaystyle \left\langle {\frac {\rho [\sigma ]}{p[\sigma ]}}\right\rangle _{p}\propto \exp(-fV/T),}$

ซึ่งจะลดลงสู่ศูนย์อย่างรวดเร็วแบบทวีคูณในกรณีปริมาตรขนาดใหญ่

ปัญหาเครื่องหมายเป็นปัญหาNP-hardซึ่งหมายความว่าวิธีแก้ปัญหาเครื่องหมายแบบสมบูรณ์และทั่วไปจะสามารถแก้ปัญหาทั้งหมดในกลุ่มความซับซ้อน NP ได้ในเวลาพหุนาม^{[ 8 ]}หาก (ดังที่คาดการณ์กันโดยทั่วไป) ไม่มีวิธีแก้ปัญหา NP ในเวลาพหุนาม (ดูปัญหา P เทียบกับ NP ) ก็จะไม่มี วิธีแก้ปัญหาเครื่องหมาย แบบทั่วไปเช่นกัน ซึ่งทำให้ยังมีโอกาสที่อาจมีวิธีแก้ปัญหาที่ใช้ได้ในกรณีเฉพาะ ซึ่งการแกว่งของอินทิกรัลมีโครงสร้างที่สามารถนำมาใช้เพื่อลดข้อผิดพลาดเชิงตัวเลขได้

ในระบบที่มีปัญหาเรื่องเครื่องหมายปานกลาง เช่น ทฤษฎีสนามที่อุณหภูมิสูงพอสมควรหรือในปริมาตรที่เล็กพอสมควร ปัญหาเรื่องเครื่องหมายจะไม่รุนแรงมากนัก และสามารถได้ผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์ด้วยวิธีการต่างๆ เช่น การถ่วงน้ำหนักที่ปรับแต่งอย่างระมัดระวังมากขึ้นการต่อยอดเชิงวิเคราะห์จากจำนวนจินตนาการไปยังจำนวนจริงหรือการขยายอนุกรมเทย์เลอร์ในรูปกำลังของ^{[ 3 ] [ 9 ]}${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$

มีข้อเสนอแนะต่างๆ มากมายสำหรับการแก้ปัญหาระบบที่มีปัญหาเรื่องเครื่องหมายอย่างรุนแรง:

• การเปลี่ยนรูปของเส้นโค้ง:พื้นที่สนามมีความซับซ้อนมากขึ้น และเส้นโค้งอินทิกรัลเส้นทางจะเปลี่ยนรูปจากไปยังแมนิโฟลด์มิติอื่น ที่ฝังอยู่ใน พื้นที่เชิงซ้อน^{[ 10 ]}${\displaystyle R^{N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle C^{N}}$

• อัลกอริทึมคลัสเตอร์ Meron : อัลกอริทึมเหล่านี้บรรลุความเร็วที่เพิ่มขึ้นแบบเลขชี้กำลังโดยการแยกเส้นโลกของเฟอร์มิออนออกเป็นคลัสเตอร์ที่มีส่วนร่วมอย่างอิสระ อัลกอริทึมคลัสเตอร์ได้รับการพัฒนาสำหรับทฤษฎีบางอย่าง ^{[ 5 ]}แต่ไม่ใช่สำหรับแบบจำลอง Hubbardของอิเล็กตรอนหรือสำหรับ QCD กล่าวคือทฤษฎีของควาร์ก

• การควอนตัมแบบสุ่ม :ผลรวมของการกำหนดค่าต่างๆ ได้รับจากการกระจายสมดุลของสถานะที่สำรวจโดยสมการ Langevin ที่ซับซ้อน จนถึงขณะนี้ พบว่าอัลกอริทึมสามารถหลีกเลี่ยงปัญหาเครื่องหมายในแบบจำลองทดสอบที่มีปัญหาเครื่องหมายแต่ไม่เกี่ยวข้องกับเฟอร์มิออนได้ ^{[ 11 ]}

• อัลกอริทึม Majorana:การใช้ การแสดง แทนเฟอร์มิออน Majoranaเพื่อทำการแปลง Hubbard-Stratonovichสามารถช่วยแก้ปัญหาเครื่องหมายเฟอร์มิออนในแบบจำลองหลายอนุภาคเฟอร์มิออนได้^{[ 12 ] [ 13 ]}

• มอนเตคาร์โลแบบโหนดคงที่:หนึ่งกำหนดตำแหน่งของโหนด (ศูนย์) ของฟังก์ชันคลื่นหลายอนุภาค และใช้วิธีการมอนเตคาร์โลเพื่อประมาณค่าพลังงานของสถานะพื้นฐานภายใต้ข้อจำกัดนั้น^{[ 14 ]}

• แผนภาพมอนเตคาร์โล :การสุ่มตัวอย่างแผนภาพเฟย์นแมนแบบสุ่มและเชิงกลยุทธ์ยังสามารถทำให้ปัญหาเครื่องหมายสามารถจัดการได้ง่ายขึ้นสำหรับวิธีการมอนเตคาร์โล ซึ่งหากไม่เช่นนั้นจะไม่สามารถคำนวณได้ ^{[ 15 ]}

• วิธีการของเฟสคงที่
• อินทิกรัลแบบสั่น