ทฤษฎีปมเปิดพยายามอธิบายการพันกันในเส้นโค้งหรือเส้นใยแบบเปิดในลักษณะที่สอดคล้องกับหลักคณิตศาสตร์ และพัฒนาเครื่องมือและอัลกอริทึมที่สามารถจัดหมวดหมู่โทโพโลยีของเส้นโค้งแบบเปิดได้ ในสาขาคณิตศาสตร์ของทฤษฎีปม ปมจะถูกพิจารณาเฉพาะในวงปิดเท่านั้น สิ่งที่เรียกกันทั่วไปว่าปม เช่น เชือกที่ผูกเป็นปมธรรมดาจะไม่ถือว่าเป็นปมทางคณิตศาสตร์เว้นแต่ปลายทั้งสองข้างของเชือกจะเชื่อมต่อกัน การวิจัยเกี่ยวกับทฤษฎีปมเปิดมีแรงจูงใจมาจากความปรารถนาที่จะเข้าใจการก่อตัวและคุณสมบัติของปมในโปรตีนและ โมเลกุล ดีเอ็นเอซึ่งมักจะไม่ก่อตัวเป็นวงปิด และเพื่อสร้างความเชื่อมโยงที่ใกล้ชิดยิ่งขึ้นระหว่างทฤษฎีปมกับคุณสมบัติของปมทางกายภาพ

การลากเส้นตรงจากปลายด้านหนึ่งของเส้นโค้งไปยังอีกด้านหนึ่ง จะทำให้เส้นโค้งนั้นปิดลงเป็นวงเสมือน หลังจากปิดวงเสมือนแล้ว เราสามารถจำแนกประเภทของปมได้โดยการคำนวณค่าคงที่เช่นพหุนามอเล็กซานเดอร์หากปลายทั้งสองของเส้นโค้งที่เป็นปมอยู่ใกล้กันหรือแยกออกจากส่วนที่เป็นปมมาก การปิดวงเสมือนโดยตรงนี้จะไม่ทำให้เกิดจุดตัดใหม่ในแผนภาพ อย่างไรก็ตาม มีบางกรณีที่การปิดวงโดยตรงอาจทำให้ปมกลายเป็นปมเลื่อนได้และลบปมออกไป หรือทำให้เกิดความซับซ้อนเพิ่มเติมที่ไม่มีอยู่ในเส้นโค้งเริ่มต้น ในกรณีเช่นนี้ การเชื่อมต่อปลายของเส้นโค้งด้วยเส้นเสมือนไปยังพื้นผิวภายนอกที่ล้อมรอบเส้นโค้ง เช่น ทรงกลมที่มีรัศมีขนาดใหญ่ แล้วเชื่อมต่อปลายของเส้นตรงสองเส้นตามพื้นผิวนั้น เพื่อไม่ให้รบกวนเส้นโค้งเอง อาจเป็นประโยชน์ อัลกอริทึมที่เรียกว่าการปิดวงเสมือนที่รบกวนน้อยที่สุดจะตรวจสอบว่าปลายทั้งสองของปมรูปหลายเหลี่ยมที่เปิดอยู่ใกล้กันมากกว่าหรือใกล้กับส่วนนูนของปมมากกว่ากัน และเชื่อมต่อด้วยเส้นทางที่สั้นกว่า^{[ 1 ]}

การเลือกรูปแบบการปิดเสมือนจะมีผลต่อประเภทของปมที่เส้นโค้งถูกกำหนดให้สอดคล้อง วิธีการทั่วไปที่เรียกว่าการปิดแบบสุ่มจะเลือกจุดที่กระจายอย่างสม่ำเสมอจำนวนมากบนพื้นผิวของทรงกลมขนาดใหญ่ที่ล้อมรอบเส้นโค้ง และเชื่อมต่อปลายกับแต่ละจุดเหล่านั้น และคำนวณประเภทของปมที่การปิดแต่ละครั้ง ซึ่งจะทำให้ได้การกระจายของประเภทปมที่แตกต่างกันในบริเวณต่างๆ รอบทรงกลม ซึ่งสามารถแสดงเป็นแผนที่ได้^{[ 2 ]}วิธีนี้ส่วนใหญ่ใช้สำหรับการวิเคราะห์โปรตีนที่มีปม

แทนที่จะพยายามแมปเส้นโค้งเปิดลงบนปมปิดเฉพาะ แนวคิดต่างๆ ได้ถูกพัฒนาขึ้นเพื่อจำแนกการพันกันแบบเปิด แนวคิดหนึ่งคือน็อตทอยด์ซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของแผนภาพปมที่รวมปลายทั้งสองของเส้นโค้ง ซึ่งอธิบายครั้งแรกโดย Turaev ในปี 2010 ^{[ 3 ]}เมื่อ ใช้ การเคลื่อนไหว Reidemeisterกับแผนภาพของปม โครงสร้างทางโทโพโลยีของปมจะไม่เปลี่ยนแปลง หากการเคลื่อนไหว Reidemeister บนแผนภาพน็อตทอยด์เคลื่อนส่วนหนึ่งของเส้นโค้งไปเหนือปลายด้านใดด้านหนึ่ง มันจะเปลี่ยนประเภทของน็อตทอยด์และถือว่า "ต้องห้าม" ในแง่นี้ น็อตทอยด์สามารถจินตนาการได้ว่าเป็นเชือกที่ผูกเป็นปมอยู่บนพื้นโดยมีปลายติดอยู่กับหมุดแนวตั้งสองตัว ประเภทของน็อตทอยด์จะไม่เปลี่ยนแปลงเว้นแต่จะยกเชือกขึ้นและคลายออกจากหมุด เช่นเดียวกับปม น็อตทอยด์สามารถจำแนกได้ตามจำนวนจุดตัด และได้มีการสร้างค่าคงที่ เช่น พหุนาม เพื่อแยกแยะพวกมัน เส้นโค้งเปิดในสามมิติจะสอดคล้องกับปมที่แตกต่างกันขึ้นอยู่กับพื้นผิวที่ฉายลงไป คล้ายกับการปิดแบบสุ่ม ภาพรวมทั้งหมดของความซับซ้อนทางโทโพโลยีของเส้นโค้งจะต้องถูกกำหนดโดยการสุ่มตัวอย่างปมของการฉายหลายๆ ครั้ง เป็นไปได้ที่จะคำนวณจำนวนขั้นต่ำของการเคลื่อนที่ของปมที่ "ต้องห้าม" (การผ่านเส้นโค้งในแผนภาพเหนือปลายด้านใดด้านหนึ่ง) เพื่อให้ได้ปมที่ไม่มีการตัดกันแบบไม่สำคัญ^{[ 4 ]}ซึ่งให้การวัดความซับซ้อนของเส้นโค้งเปิดที่คล้ายกับ จำนวนการแก้ ปม

ปมเสมือนเป็นการขยายความทั่วไปอีกรูปแบบหนึ่งของแผนภาพปม ในขณะที่ปมเทียมเกี่ยวข้องกับการปิดที่ไม่ชัดเจน ปมเสมือนเกี่ยวข้องกับการตัดกันที่ไม่ชัดเจน ในกรณีที่ส่วนหนึ่งของแผนภาพปมผ่านเหนือหรือใต้ส่วนอื่น สองส่วนของแผนภาพปมเสมือนอาจมาบรรจบกันที่จุดหนึ่ง ซึ่งเรียกว่าจุดตัดเสมือน แผนภาพของปมเปิดสามารถถือได้ว่าเป็นปมเสมือนโดยการเชื่อมปลายทั้งสองข้างด้วยเส้นตรงและสร้างจุดตัดเสมือนที่แต่ละจุดที่ปลายตัดกับแผนภาพ

นิยามของค่าคงที่ปมที่จัดประเภทโทโพโลยีของเส้นโค้งปิดสามารถขยายความเพื่ออธิบายเส้นโค้งเปิดได้ ตัวอย่างเช่น ค่าการบิดตัวในอวกาศซึ่งเป็นส่วนขยายของจำนวนการเชื่อมโยงของเกาส์และอธิบายว่าเส้นโค้งจะตัดกันเองกี่ครั้งเมื่อมองจากทิศทางต่างๆ^{[ 5 ]}เส้นโค้งที่พันกันและบิดเบี้ยวมากขึ้นมักจะมีค่าการบิดตัวในอวกาศสูงกว่า อย่างไรก็ตาม เส้นโค้งที่ไม่พันกัน เช่นเกลียวก็จะมีค่าการบิดตัวในอวกาศสูงเช่นกัน ในทำนองเดียวกัน สามารถคำนวณปริพันธ์การเชื่อมโยงของเกาส์จากเส้นโค้งเปิดสองเส้น เช่น เส้นผมสองเส้นในเปียผม เพื่อกำหนดว่าเส้นโค้งหนึ่งพันรอบอีกเส้นหนึ่งกี่ครั้ง ค่าคงที่ปมอื่นๆ ก็ได้รับการขยายไปยังเส้นโค้งเปิดเช่นกัน รวมถึงค่าคงที่วาสซิลิเยฟที่สอง^{[ 6 ]}และพหุนามโจนส์^{[ 7 ]}

เทคนิคหลายอย่างที่ใช้ในการจัดหมวดหมู่เส้นโค้งที่พันกันแบบเปิดได้ถูกนำไปใช้ในการศึกษาโปรตีนที่มีปมซึ่งรวมถึงการจัดหมวดหมู่โครงสร้างโปรตีนที่มีปมโดยอาศัยการปิดแบบสุ่ม^{[ 2 ]}โดยใช้ knotoids ^{[ 4 ]}ปมเสมือน^{[ 8 ]} space writhe ^{[ 9 ]}และเวอร์ชันแบบเปิดของตัวแปร Vassiliev ตัวที่สอง^{[ 10 ]}และพหุนาม Jones ^{[ 11 ]}นอกเหนือจากการจัดหมวดหมู่แล้ว เป้าหมายของการวิจัยนี้คือการทำความเข้าใจการก่อตัวและความเสถียรของโปรตีนที่มีปมเหล่านี้ การวิเคราะห์ที่คล้ายกันนี้ยังถูกนำไปใช้กับDNAซึ่งไม่มีสถานะดั้งเดิมที่ เสถียร เหมือนโปรตีน เครื่องมือที่ใช้กันทั่วไปในการกำหนดโทโพโลยีของโมเลกุล DNA จำลองคือโมเลกุลอเล็กซานเดอร์ที่รวมกับการปิดโซ่ ซึ่งใช้ในการตรวจจับปมใน DNA จำลองใน^แคปซิดของไวรัส [ ^{12 ]}โครโมโซมของมนุษย์ [ ^{13 ]}รวมถึงแบบจำลองพอลิเมอร์ที่ ง่ายกว่า ^{[ 14 ] ซึ่ง DNA เป็นตัวอย่างหนึ่ง นอกเหนือจากการศึกษาโมเลกุลชีวภาพแล้ว เครื่องมือจากทฤษฎีป ม}เปิดยังถูกนำไปใช้กับเชือกทางกายภาพ ตัวอย่างเช่น ในการกำหนดวิธีที่มีประสิทธิภาพที่สุดในการผูกเชือกสองเส้นเข้าด้วยกันโดยการเปรียบเทียบการบิดภายในปมแต่ละประเภทกับแรงที่ต้องใช้ในการดึงเชือกสองเส้นที่ผูกไว้ออกจากกัน^{[ 15 ]}