ในทฤษฎีการควบคุมสม การการฉายภาพที่เหมาะสมที่สุด^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}ถือเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับตัวควบคุม LQG ลำดับลดที่เหมาะสมที่สุดในระดับท้องถิ่น^{[ 4 ]}

ปัญหาการควบคุมเชิงเส้น-กำลังสอง-เกาส์เซียน (LQG)เป็นหนึ่งในปัญหาการควบคุมที่เหมาะสม ที่สุดขั้นพื้นฐานที่สุด เกี่ยวข้องกับ ระบบเชิงเส้น ที่ไม่แน่นอน ซึ่งถูกรบกวนด้วยสัญญาณรบกวนเกาส์เซียนสีขาวแบบบวกข้อมูลสถานะไม่สมบูรณ์ (เช่น ตัวแปรสถานะทั้งหมดไม่ได้ถูกวัดและพร้อมใช้งานสำหรับการป้อนกลับ) ซึ่งถูกรบกวนด้วยสัญญาณรบกวนเกาส์เซียนสีขาวแบบบวกเช่นกัน และมีต้นทุน แบบกำลังสอง ยิ่งไปกว่านั้น คำตอบมีเอกลักษณ์เฉพาะและประกอบด้วยกฎการควบคุมป้อนกลับแบบไดนามิกเชิงเส้นที่คำนวณและนำไปใช้งานได้ง่าย สุดท้าย ตัวควบคุม LQG ยังเป็นพื้นฐานสำหรับการควบคุมการรบกวนที่เหมาะสมที่สุดของระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้นอีกด้วย^{[ 5 ]}

ตัวควบคุม LQG เองก็เป็นระบบไดนามิกเช่นเดียวกับระบบที่มันควบคุม ทั้งสองระบบมีมิติสถานะเดียวกัน ดังนั้น การใช้งานตัวควบคุม LQG อาจเป็นปัญหาหากมิติของสถานะระบบมีขนาดใหญ่ปัญหา LQG แบบลดลำดับ (ปัญหา LQG แบบลำดับคงที่) เอาชนะปัญหานี้ได้โดยการกำหนดจำนวนสถานะของตัวควบคุม LQG ไว้ล่วงหน้า ปัญหานี้ยากต่อการแก้ไขมากกว่าเพราะไม่สามารถแยกส่วนได้อีกต่อไป และคำตอบก็ไม่เป็นเอกลักษณ์อีกต่อไป แม้จะมีข้อเท็จจริงเหล่านี้ แต่ก็มีอัลกอริธึมเชิงตัวเลข^{[ 4 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}ที่สามารถแก้สมการการฉายภาพที่เหมาะสมที่เกี่ยวข้องได้

ปัญหาการควบคุม LQG แบบลดลำดับนั้นแทบจะเหมือนกับปัญหาการควบคุม LQG แบบเต็มลำดับทั่วไปให้แทนสถานะของตัวควบคุม LQG แบบลดลำดับ ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือ มิติสถานะของตัวควบคุม LQG นั้นถูกกำหนดไว้ล่วงหน้าให้มีขนาดเล็กกว่า ซึ่งเป็นมิติสถานะของระบบที่ถูกควบคุม ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t)}$${\displaystyle n_{r}=dim({\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t))}$${\displaystyle n=dim({\mathbf {x} }(t))}$

ตัวควบคุม LQG แบบลดลำดับแสดงด้วยสมการต่อไปนี้:

${\displaystyle {\dot {\hat {\mathbf {x} }}}_{r}(t)=A_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t)+B_{r}(t){\mathbf {u} }(t)+K_{r}(t)\left({\mathbf {y} }(t)-C_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t)\right),{\hat {\mathbf {x} }}_{r}(0)={\mathbf {x} }_{r}(0),}$

${\displaystyle {\mathbf {u} }(t)=-L_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t).}$

สมการเหล่านี้ถูกระบุอย่างจงใจในรูปแบบที่เท่ากับตัวควบคุม LQG แบบเต็มลำดับทั่วไปสำหรับปัญหาการควบคุม LQG แบบลดลำดับนั้น การเขียนใหม่ให้สะดวกยิ่งขึ้นคือ เขียนใหม่ได้ดังนี้

${\displaystyle {\dot {\hat {\mathbf {x} }}}_{r}(t)=F_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t)+K_{r}(t){\mathbf {y} }(t),{\hat {\mathbf {x} }}_{r}(0)={\mathbf {x} }_{r}(0),}$

${\displaystyle {\mathbf {u} }(t)=-L_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t),}$

ที่ไหน

${\displaystyle F_{r}(t)=A_{r}(t)-B_{r}(t)L_{r}(t)-K_{r}(t)C_{r}(t).}$

เมทริกซ์และของตัวควบคุม LQG ลำดับลดลงจะถูกกำหนดโดยสมการการฉายภาพที่เหมาะสมที่สุด ( OPE ) ^{[ 3 ]}${\displaystyle F_{r}(t),K_{r}(t),L_{r}(t)}$${\displaystyle {\mathbf {x} }_{r}(0)}$

เมทริกซ์การฉายภาพ ที่เหมาะสมที่สุดแบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีมิติเป็นหัวใจสำคัญของOPEอันดับของเมทริกซ์นี้เกือบทุกที่เท่ากับการฉายภาพที่เกี่ยวข้องเป็นการฉายภาพแบบเฉียง: OPE ประกอบด้วยสมการเชิงอนุพันธ์เมทริกซ์สี่สมการ สองสมการแรกที่ระบุไว้ด้านล่างเป็นการวางนัยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ Riccati เมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องกับตัวควบคุม LQG ลำดับเต็มแบบดั้งเดิมในสมการเหล่านี้หมายถึงโดยที่คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่ มีมิติ${\displaystyle \tau (t)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n_{r}.}$${\displaystyle \tau ^{2}(t)=\tau (t).}$${\displaystyle \tau _{\perp }(t)}$${\displaystyle I_{n}-\tau (t)}$${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {P}}(t)={}&A(t)P(t)+P(t)A'(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)P(t)+V(t)\\[6pt]&{}+\tau _{\perp }(t)P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)P(t)\tau '_{\perp }(t),\\[6pt]P(0)={}&E\left({\mathbf {x} }(0){\mathbf {x} }'(0)\right),\\[6pt]&{}-{\dot {S}}(t)=A'(t)S(t)+S(t)A(t)-S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)+Q(t)\\[6pt]&{}+\tau '_{\perp }(t)S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)\tau _{\perp }(t),\end{aligned}}}$

${\displaystyle S(T)=F.}$

หากมิติของตัวควบคุม LQG ไม่ลดลง นั่นคือ ถ้าแล้วและสมการทั้งสองข้างต้นจะกลายเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ Riccati เมทริกซ์ที่ไม่เชื่อมโยงกัน ซึ่งเกี่ยวข้องกับตัวควบคุม LQG ลำดับเต็มแบบดั้งเดิมหากสมการทั้งสองเชื่อมโยงกันด้วยการฉายภาพเฉียงสิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าทำไมปัญหา LQG ลำดับลดลงจึงไม่สามารถแยกส่วนได้การฉายภาพเฉียงถูกกำหนดจากสมการเชิงอนุพันธ์เมทริกซ์เพิ่มเติมอีกสองสมการ ซึ่งเกี่ยวข้องกับเงื่อนไขอันดับเมื่อรวมกับสมการเชิงอนุพันธ์เมทริกซ์สองสมการก่อนหน้านี้ สิ่งเหล่านี้คือOPEในการระบุสมการเชิงอนุพันธ์เมทริกซ์เพิ่มเติมสองสมการนั้น สะดวกที่จะแนะนำเมทริกซ์สองตัวต่อไปนี้: ${\displaystyle n=n_{r}}$${\displaystyle \tau (t)=I_{n},\tau _{\perp }(t)=0}$${\displaystyle n_{r}<n}$${\displaystyle \tau (t).}$${\displaystyle \tau (t)}$

${\displaystyle \Psi _{1}(t)=(A(t)-B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)){\hat {P}}(t)+{\hat {P}}(t)(A(t)-B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t))'}$

${\displaystyle {}+P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)P(t),}$

${\displaystyle \Psi _{2}(t)=(A(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t))'{\hat {S}}(t)+{\hat {S}}(t)(A(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t))}$

${\displaystyle {}+S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t).}$

จากนั้นสมการเชิงอนุพันธ์เมทริกซ์เพิ่มเติมอีกสองสมการที่ทำให้OPE สมบูรณ์ มีดังต่อไปนี้:

${\displaystyle {\dot {\hat {P}}}(t)=1/2\left(\tau (t)\Psi _{1}(t)+\Psi _{1}(t)\tau '(t)\right),{\hat {P}}(0)=E({\mathbf {x} }(0))E({\mathbf {x} }(0))',\operatorname {rank} ({\hat {P}}(t))=n_{r}}$ เกือบทุกที่

${\displaystyle -{\dot {\hat {S}}}(t)=1/2\left(\tau '(t)\Psi _{2}(t)+\Psi _{2}(t)\tau (t)\right),{\hat {S}}(T)=0,\operatorname {rank} ({\hat {S}}(t))=n_{r}}$เกือบทุกที่

กับ

${\displaystyle \tau (t)={\hat {P}}(t){\hat {S}}(t)\left({\hat {P}}(t){\hat {S}}(t)\right)^{*}.}$

ในที่นี้ * หมายถึง ตัวผกผันทั่วไปของกลุ่มหรือตัวผกผันดราซินซึ่งมีเอกลักษณ์และกำหนดโดย

${\displaystyle A^{*}=A(A^{3})^{+}A.}$

โดยที่ + หมายถึงผกผันเทียมของมัว ร์-เพนโรส

เมทริกซ์ทั้งหมดต้องเป็นเมทริกซ์สมมาตรที่ไม่เป็นลบจากนั้นเมทริกซ์เหล่านี้จะประกอบกันเป็นคำตอบของOPEที่กำหนดเมทริกซ์ตัวควบคุม LQG ลำดับลดและ: ${\displaystyle P(t),S(t),{\hat {P}}(t),{\hat {S}}(t)}$${\displaystyle F_{r}(t),K_{r}(t),L_{r}(t)}$${\displaystyle {\mathbf {x} }_{r}(0)}$

${\displaystyle F_{r}(t)=H(t)\left(A(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)-B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)\right)G(t)+{\dot {H}}(t)G'(t),}$

${\displaystyle K_{r}(t)=H(t)P(t)C'(t)W^{-1}(t),}$

${\displaystyle L_{r}(t)=R^{-1}(t)B'(t)S(t)G'(t),}$

${\displaystyle {\mathbf {x} }_{r}(0)=H(0)E({\mathbf {x} }(0)).}$

ในสมการข้างต้น เมทริกซ์ทั้งสองมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ${\displaystyle G(t),H(t)}$

${\displaystyle G'(t)H(t)=\tau (t),G(t)H'(t)=I_{n_{r}}}$เกือบทุกที่

สามารถหาได้จากการแยกตัวประกอบเชิงโปรเจกทีฟของ^{[ 4 ]}${\displaystyle {\hat {P}}(t){\hat {S}}(t)}$

OPE สามารถเขียนได้หลายวิธีซึ่งล้วนมีความหมายเทียบเท่ากัน ในการระบุรูปแบบที่เทียบเท่ากันนั้น เอกลักษณ์ต่อไปนี้มีประโยชน์อย่างยิ่ง :

${\displaystyle \tau (t){\hat {P}}(t)={\hat {P}}(t)\tau '(t)={\hat {P}}(t),\tau '(t){\hat {S}}(t)={\hat {S}}(t)\tau (t)={\hat {S}}(t)}$

โดยใช้เอกลักษณ์เหล่านี้ เราสามารถเขียนสมการการฉายภาพที่เหมาะสมที่สุดสองสมการแรกใหม่ได้ดังนี้:

${\displaystyle {\dot {P}}(t)=A(t)P(t)+P(t)A'(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)P(t)+V(t)+\tau _{\perp }(t)\Psi _{1}(t)\tau '_{\perp }(t),}$

${\displaystyle P(0)=E\left({\mathbf {x} }(0){\mathbf {x} }'(0)\right),}$

${\displaystyle -{\dot {S}}(t)=A'(t)S(t)+S(t)A(t)-S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)+Q(t)+\tau '_{\perp }\Psi _{2}(t)\tau _{\perp }(t),}$

${\displaystyle S(T)=F.}$

รูปแบบการนำเสนอแบบนี้ค่อนข้างเรียบง่ายและเหมาะสมสำหรับการคำนวณเชิงตัวเลข

ถ้าเมทริกซ์ทั้งหมดในการกำหนดปัญหา LQG ลำดับลดลงไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา และถ้าขอบเขตมีแนวโน้มเข้าสู่อนันต์ ตัวควบคุม LQG ลำดับลดลงที่เหมาะสมที่สุดจะไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา และOPE ก็จะไม่เปลี่ยนแปลงตาม เวลา เช่นกัน ^{[ 1 ]}ในกรณีนั้น อนุพันธ์ทางด้านซ้ายมือของOPEจะเป็นศูนย์ ${\displaystyle T}$

เช่นเดียวกับกรณีเวลาต่อเนื่อง ในกรณีเวลาไม่ต่อเนื่อง ความแตกต่างจากปัญหา LQG ลำดับเต็มแบบเวลาไม่ต่อเนื่องทั่วไปคือ การกำหนดลำดับลดทอนของมิติสถานะตัวควบคุม LQG ไว้ล่วงหน้า เช่นเดียวกับในกรณีเวลาต่อเนื่อง ในการระบุOPE แบบเวลาไม่ ต่อเนื่อง นั้น สะดวกที่จะแนะนำเมทริกซ์สองตัวต่อไปนี้: ${\displaystyle n_{r}<n}$

${\displaystyle \Psi _{i}^{1}=\left(A_{i}-B_{i}(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i})^{-1}B'_{i}S_{i+1}A_{i})\right){\hat {P}}_{i}\left(A_{i}-B_{i}(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i})^{-1}B'_{i}S_{i+1}A_{i})\right)'}$

${\displaystyle {}+A_{i}P_{i}C'_{i}(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i})^{-1}C_{i}P_{i}A'_{i}}$

${\displaystyle \Psi _{i+1}^{2}=\left(A_{i}-A_{i}P_{i}C'_{i}(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i})^{-1}C_{i}\right)'{\hat {S}}_{i+1}\left(A_{i}-A_{i}P_{i}C'_{i}(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i})^{-1}C_{i}\right)}$

${\displaystyle {}+A'_{i}S_{i+1}B_{i}(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i})^{-1}B'_{i}S_{i+1}A_{i}}$

ดังนั้นOPE แบบเวลาไม่ต่อเนื่องคือ

${\displaystyle P_{i+1}=A_{i}\left(P_{i}-P_{i}C'_{i}\left(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i}\right)^{-1}C_{i}P_{i}\right)A'_{i}+V_{i}+\tau _{\perp i+1}\Psi _{i}^{1}\tau '_{\perp i+1},P_{0}=E\left({\mathbf {x} }_{0}{\mathbf {x'} }_{0}\right)}$.

${\displaystyle S_{i}=A'_{i}\left(S_{i+1}-S_{i+1}B_{i}\left(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i}\right)^{-1}B'_{i}S_{i+1}\right)A_{i}+Q_{i}+\tau '_{\perp i}\Psi _{i+1}^{2}\tau _{\perp i},S_{N}=F}$.

${\displaystyle {\hat {P}}_{i+1}=1/2(\tau _{i+1}\Psi _{i}^{1}+\Psi _{i}^{1}\tau '_{i+1}),{\hat {P}}_{0}=E({\mathbf {x} }(0))E({\mathbf {x} }(0))',\operatorname {rank} ({\hat {P}}_{i})=n_{r}}$ เกือบทุกที่

${\displaystyle {\hat {S}}_{i}=1/2(\tau '_{i}\Psi _{i+1}^{2}+\Psi _{i+1}^{2}\tau _{i}),{\hat {S}}_{N}=0,\operatorname {rank} ({\hat {S}}_{i})=n_{r}}$เกือบทุกที่

เมทริกซ์การฉายภาพเฉียงกำหนดโดย

${\displaystyle \tau _{i}={\hat {P}}_{i}{\hat {S}}_{i}\left({\hat {P}}_{i}{\hat {S}}_{i}\right)^{*}.}$

เมทริกซ์สมมาตรที่ไม่เป็นลบ ซึ่งแก้ปัญหาOPE แบบเวลาไม่ต่อเนื่องจะกำหนดเมทริกซ์ตัวควบคุม LQG ลำดับลดลงและ: ${\displaystyle P_{i},S_{i},{\hat {P}}_{i},{\hat {S}}_{i}}$${\displaystyle F_{i}^{r},K_{i}^{r},L_{i}^{r}}$${\displaystyle {\mathbf {x} }_{0}^{r}}$

${\displaystyle F_{i}^{r}=H_{i+1}\left(A_{i}-P_{i}C'_{i}\left(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i}\right)^{-1}C_{i}-B_{i}\left(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i}\right)^{-1}B'_{i}S_{i+1}\right)G'_{i},}$

${\displaystyle K_{i}^{r}=H_{i+1}P_{i}C'_{i}\left(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i}\right)^{-1},}$

${\displaystyle L_{i}^{r}=\left(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i}\right)^{-1}B'_{i}S_{i+1}G'_{i},}$

${\displaystyle {\mathbf {x} }_{0}^{r}=H_{0}E({\mathbf {x} }_{0}).}$

ในสมการข้างต้น เมทริกซ์ทั้งสองมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ${\displaystyle G_{i},H_{i}}$

${\displaystyle G'_{i}H_{i}=\tau _{i},G_{i}H'_{i}=I_{n_{r}}}$เกือบทุกที่

สามารถหาได้จากการแยกตัวประกอบเชิงฉายของ[ ^{4 ] เพื่อ}ระบุการแสดงแทนเทียบเท่าของOPE เวลาไม่ต่อเนื่องเอกลักษณ์ต่อไปนี้มีประโยชน์เป็นพิเศษ: ${\displaystyle {\hat {P}}_{i}{\hat {S}}_{i}}$

${\displaystyle \tau _{i}{\hat {P}}_{i}={\hat {P}}_{i}\tau '_{i}={\hat {P}}_{i},\tau '_{i}{\hat {S}}_{i}={\hat {S}}_{i}\tau _{i}={\hat {S}}_{i}}$

เช่นเดียวกับในกรณีเวลาต่อเนื่อง หากเมทริกซ์ทั้งหมดในการกำหนดปัญหาไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา และหากขอบเขตมีแนวโน้มเข้าสู่อนันต์ ตัวควบคุม LQG ลำดับลดลงจะกลายเป็นไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา จากนั้น OPE เวลาไม่ต่อเนื่องจะลู่เข้าสู่โซลูชันสถานะคงที่ซึ่งกำหนดตัวควบคุม LQG ลำดับลดลงที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา^{[ 2 ]}${\displaystyle N}$

OPE แบบเวลาไม่ต่อเนื่องยังใช้ได้กับระบบเวลาไม่ต่อเนื่องที่มีมิติสถานะ อินพุต และเอาต์พุตที่เปลี่ยนแปลงได้ (ระบบเวลาไม่ต่อเนื่องที่มีมิติที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา) ^{[ 6 ]}ระบบดังกล่าวเกิดขึ้นในกรณีของการออกแบบตัวควบคุมดิจิทัลหากการสุ่มตัวอย่างเกิดขึ้นแบบอะซิงโครนัส