ในทฤษฎีความน่าจะ เป็น ทฤษฎีบทการหยุดแบบเลือกได้ (หรือบางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทการสุ่มตัวอย่างแบบเลือกได้ของ Doobสำหรับนักความน่าจะเป็นชาวอเมริกันJoseph Doob ^{[ 1 ]} ) กล่าวว่า ภายใต้เงื่อนไขบางประการค่าที่คาดหวังของมาร์ติงเกลณเวลาหยุดจะเท่ากับค่าที่คาดหวังเริ่มต้น^{[ 2 ]}

แนวคิดนี้สามารถทำความเข้าใจได้โดยอาศัยหลักการสำคัญดังต่อไปนี้:

• เนื่องจากมาร์ติงเกลสามารถใช้สร้างแบบจำลองความมั่งคั่งของนักพนันที่เข้าร่วมในเกมที่ยุติธรรมได้ ทฤษฎีบทการหยุดเล่นโดยสมัครใจจึงบ่งชี้ว่า โดยเฉลี่ยแล้ว จะไม่มีอะไรได้ประโยชน์จากการหยุดเล่นโดยอาศัยข้อมูลที่มีอยู่ ณ ปัจจุบัน (กล่าวคือ โดยไม่มองไปในอนาคต)
• จำเป็นต้องมีเงื่อนไขบางประการเพื่อให้ผลลัพธ์นี้เป็นจริง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎีบทนี้ใช้กับกลยุทธ์การเพิ่มเป็นสองเท่าและแสดงให้เห็นทางคณิตศาสตร์ว่าเหตุใดกลยุทธ์ดังกล่าวจึงไม่สามารถรับประกันผลกำไรได้ด้วยทรัพยากรที่มีจำกัด^{[ 3 ]}
• ทฤษฎีบทการหยุดแบบเลือกได้เป็นเครื่องมือสำคัญในด้านการเงินเชิงคณิตศาสตร์ในบริบทของทฤษฎีบทพื้นฐานของการกำหนดราคาหลักทรัพย์ซึ่งช่วยในการประเมินผลตอบแทนที่คาดหวังของแบบจำลองการกำหนดราคาต่างๆ

ทฤษฎีบทในรูปแบบเวลาไม่ต่อเนื่องแสดงไว้ด้านล่าง โดยที่แทนเซตของจำนวนธรรมชาติรวมทั้งศูนย์ด้วย ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$

ให้ เป็น มาร์ติงเกลแบบเวลาไม่ต่อเนื่องและเป็นเวลาหยุดที่มีค่าอยู่ในโดยทั้งคู่สัมพันธ์กับฟิลเทรชันสมมติว่าเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งในสามข้อต่อไปนี้เป็นจริง: ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in \mathbb {N} _{0}}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}}$${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in \mathbb {N} _{0}}}$

( ก ) เวลาหยุดนั้นมี ขอบเขต เกือบแน่นอนกล่าวคือ มีค่าคงที่อยู่ค่าหนึ่งซึ่งทำให้เกือบแน่นอน${\displaystyle \tau }$${\displaystyle c\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \tau \leq c}$

( b ) เวลาหยุดมีค่าเฉลี่ยจำกัด และค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไขของค่าสัมบูรณ์ของส่วนเพิ่มของมาร์ติงเกลนั้นมีขอบเขตเกือบแน่นอน กล่าว คือ มีค่าคงที่อยู่ค่าหนึ่งที่ทำให้เกือบแน่นอนในเหตุการณ์สำหรับทุกๆ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \mathbb {E} [\tau ]<\infty }$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|X_{t+1}-X_{t}|\,{\big \vert }\,{\mathcal {F}}_{t}{\bigr ]}\leq c}$${\displaystyle \{\tau >t\}}$${\displaystyle t\in \mathbb {N} _{0}}$

( c ) มีค่าคงที่อยู่ค่าหนึ่งซึ่งเกือบจะแน่นอนว่าสำหรับทุกๆ${\displaystyle c}$${\displaystyle |X_{\min\{t,\tau \}}|\leq c}$${\displaystyle t\in \mathbb {N} _{0}}$

จากนั้นจะเป็นตัวแปรสุ่มที่กำหนดไว้อย่างดีเกือบแน่นอนและ. ^{[ 4 ]}${\displaystyle X_{\tau }}$${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]=\mathbb {E} [X_{0}]}$

ในทำนองเดียวกัน หากกระบวนการสุ่มเป็นซับมาร์ติงเกลหรือซูเปอร์มาร์ติงเกลและเงื่อนไขข้างต้นข้อใดข้อหนึ่งเป็นจริงแล้ว จะได้ว่า: สำหรับซับมาร์ติงเกล และ สำหรับซูเปอร์มาร์ติงเกล ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in \mathbb {N} _{0}}}$$${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]\geq \mathbb {E} [X_{0}]}$$$${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]\leq \mathbb {E} [X_{0}]}$$

ภายใต้เงื่อนไข ( c ) เป็นไปได้ว่าจะเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็นบวก ในเหตุการณ์นี้จะถูกกำหนดให้เป็นลิมิตแบบจุดต่อจุดที่มีอยู่เกือบแน่นอนของดูรายละเอียดในบทพิสูจน์ด้านล่าง ${\displaystyle \tau =\infty }$${\displaystyle X_{\tau }}$${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in \mathbb {N} _{0}}}$

ทฤษฎีบทการหยุดแบบเลือกได้มีการประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางในทฤษฎีความน่าจะเป็น การแก้ปัญหาความขัดแย้ง และทฤษฎีการเดินแบบสุ่ม: ^{[ 5 ]}

• ความเป็นไปไม่ได้ของกลยุทธ์การเดิมพันที่สมบูรณ์แบบ:ทฤษฎีบทนี้สามารถใช้เพื่อพิสูจน์ความเป็นไปไม่ได้ของกลยุทธ์การเดิมพันที่ประสบความสำเร็จสำหรับนักพนันที่มีอายุขัยจำกัด (โดยให้เงื่อนไข ( a )) หรือข้อจำกัดการเดิมพันของเจ้ามือ (เงื่อนไข ( b ))
  • สมมติว่านักพนันสามารถวางเดิมพันได้สูงสุดจำนวนหนึ่งดอลลาร์ใน การโยน เหรียญอย่างยุติธรรมในเวลา 1, 2, 3 ครั้ง ฯลฯ โดยจะชนะเดิมพันหากเหรียญออกหัว และจะเสียเดิมพันหากเหรียญออกก้อย${\displaystyle c}$
  • สมมติเพิ่มเติมว่านักพนันสามารถเลิกเล่นได้ทุกเมื่อที่ต้องการ แต่ไม่สามารถคาดการณ์ผลลัพธ์ของการพนันที่ยังไม่เกิดขึ้นได้
  • โชคลาภของนักพนันเมื่อเวลาผ่านไปนั้นเปรียบเสมือนมาร์ติงเกล และเวลาที่พวกเขาตัดสินใจเลิกเล่น (หรือหมดตัวและถูกบังคับให้เลิกเล่น) คือเวลาหยุดเล่น ดังนั้นทฤษฎีบทจึงกล่าวว่า. กล่าวอีกนัยหนึ่ง นักพนันจะออกจากสนามด้วยจำนวนเงินเฉลี่ย เท่าเดิม กับตอนเริ่มต้นเล่น${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]=\mathbb {E} [X_{0}]}$
  • ผลลัพธ์เดียวกันนี้ยังคงใช้ได้แม้ว่านักพนันจะมีวงเงินเครดิตที่จำกัด หรือมีหนี้สินได้มากแค่ไหนก็ตาม แทนที่จะเป็นข้อจำกัดของเจ้ามือในการเดิมพันแต่ละครั้ง
• ตำแหน่งหยุดที่คาดหวังของการเดินแบบสุ่ม:สมมติว่าการเดินแบบสุ่มเริ่มต้นที่จุดหนึ่ง และเคลื่อนที่ขึ้นหรือลงทีละหนึ่งด้วยความน่าจะเป็นเท่ากันในแต่ละขั้น ${\displaystyle a\geq 0}$
  • สมมติเพิ่มเติมว่าการเดินจะหยุดลงหากถึง 0 หรือ; เวลาที่เกิดเหตุการณ์นี้ขึ้นเป็นครั้งแรกเรียกว่าเวลาหยุด${\displaystyle m\geq a}$
  • หากทราบว่าเวลาที่คาดว่าจะสิ้นสุดการเดินนั้นมีค่าจำกัด (เช่น จาก ทฤษฎี ลูกโซ่มาร์คอฟ ) ทฤษฎีบทการหยุดแบบเลือกได้จะทำนายว่าตำแหน่งหยุดที่คาดไว้จะเท่ากับตำแหน่งเริ่มต้น${\displaystyle a}$
  • การหาความน่าจะเป็นที่การเดินจะไปถึงก่อน 0 จะได้.${\displaystyle a=pm+(1-p)0}$${\displaystyle p}$${\displaystyle m}$${\displaystyle p=a/m}$
• เวลาที่คาดหวังของการเดินสุ่ม:พิจารณาการเดินสุ่มที่เริ่มต้นที่ 0 และหยุดเมื่อถึงหรือและใช้มาร์ติงเกลจากมาร์ติงเกล (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) § ตัวอย่างของมาร์ติงเกลถ้าคือเวลาที่ ถึงแล้ว ซึ่ง จะได้ โดยตรง${\displaystyle X}$${\displaystyle -m}$${\displaystyle +m}$${\displaystyle Y_{n}=X_{n}^{2}-n}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pm m}$${\displaystyle 0=\mathbb {E} [Y_{0}]=\mathbb {E} [Y_{\tau }]=m^{2}-\mathbb {E} [\tau ]}$${\displaystyle \mathbb {E} [\tau ]=m^{2}}$
• การละเมิดทฤษฎีบท (ตัวอย่างค้าน):ต้องระมัดระวังเพื่อให้แน่ใจว่าเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งของทฤษฎีบทนั้นเป็นจริง
  • ตัวอย่างเช่น สมมติว่าตัวอย่างสุดท้ายใช้เวลาหยุดแบบ 'ด้านเดียว' แทน กล่าวคือ การหยุดจะเกิดขึ้นที่ เท่านั้นไม่ใช่ที่${\displaystyle +m}$${\displaystyle -m}$
  • ดังนั้น ค่าของณ เวลาหยุดนี้จะเป็น ซึ่งหมายความว่าค่าคาดหวังก็ต้องเป็น เช่นกัน${\displaystyle X}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]}$${\displaystyle m}$
  • ดูเหมือนว่านี่จะขัดกับทฤษฎีบทซึ่งจะให้ผลลัพธ์เป็น ความล้มเหลวของทฤษฎีบทการหยุดแบบเลือกได้ในกรณีนี้แสดงให้เห็นว่าเงื่อนไขทั้งสามข้อล้มเหลวสำหรับเวลาหยุดด้านเดียวที่มีปริภูมิสถานะไม่จำกัด${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]=X_{0}=0}$

ให้แทนกระบวนการที่หยุดแล้วซึ่งเป็นมาร์ติงเกล (หรือซับมาร์ติงเกล หรือ ซูเปอร์มาร์ติงเกล ตามลำดับ) กรอบการพิสูจน์อาศัยการวิเคราะห์กระบวนการนี้ภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด: ${\displaystyle X^{\tau }}$

• ภายใต้เงื่อนไข ( a ) หรือ ( b ) ตัวแปรสุ่มจะถูกกำหนดไว้อย่างดี${\displaystyle X^{\tau }}$
• ภายใต้เงื่อนไข ( c ) กระบวนการที่หยุดนั้นมีขอบเขต ดังนั้นโดยทฤษฎีบทการลู่เข้าของมาร์ติงเกล ของ Doob มันจึงลู่เข้าเกือบแน่นอนแบบจุดต่อจุดไปยังตัวแปรสุ่มที่เราเรียกว่า${\displaystyle X^{\tau }}$${\displaystyle X_{\tau }}$

ถ้าเงื่อนไข ( c ) เป็นจริง กระบวนการที่หยุดแล้วจะถูกจำกัดด้วยตัวแปรสุ่มคงที่มิฉะนั้น การเขียนกระบวนการที่หยุดแล้วเป็น จะ ได้สำหรับทุกโดยที่ ${\displaystyle X^{\tau }}$${\displaystyle M:=c}$$${\displaystyle X_{t}^{\tau }=X_{0}+\sum _{s=0}^{\tau -1\land t-1}(X_{s+1}-X_{s}),\quad t\in \mathbb {N} _{0}}$$${\displaystyle X_{t}^{\tau }\leq M}$${\displaystyle t\in \mathbb {N} _{0}}$$${\displaystyle M:=|X_{0}|+\sum _{s=0}^{\tau -1}|X_{s+1}-X_{s}|=|X_{0}|+\sum _{s=0}^{\infty }|X_{s+1}-X_{s}|\cdot \mathbf {1} _{\{\tau >s\}}.}$$

โดยทฤษฎีบท การลู่เข้าแบบเอกภาค$${\displaystyle \mathbb {E} [M]=\mathbb {E} [|X_{0}|]+\sum _{s=0}^{\infty }\mathbb {E} {\bigl [}|X_{s+1}-X_{s}|\cdot \mathbf {1} _{\{\tau >s\}}{\bigr ]}.}$$

ถ้าเงื่อนไข ( a ) เป็นจริง อนุกรมนี้จะมีพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น ดังนั้นจึงสามารถหาปริพันธ์ได้ ${\displaystyle M}$

ถ้าเงื่อนไข ( b ) เป็นจริง เราจะดำเนินการต่อโดยการแทรกค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขและใช้ว่าเหตุการณ์นั้นทราบ ณ เวลา(โปรดทราบว่าถือว่าเป็นเวลาหยุดที่เกี่ยวข้องกับการกรอง) ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้: โดยใช้ การแสดงค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่มที่มีค่าเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ สำหรับความเท่าเทียมกันสุดท้าย${\displaystyle \{\tau >s\}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \tau }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} [M]&=\mathbb {E} [|X_{0}|]+\sum _{s=0}^{\infty }\mathbb {E} {\bigl [}\underbrace {\mathbb {E} {\bigl [}|X_{s+1}-X_{s}|{\big |}{\mathcal {F}}_{s}{\bigr ]}\cdot \mathbf {1} _{\{\tau >s\}}} _{\leq \,c\,\mathbf {1} _{\{\tau >s\}}{\text{ a.s. by (b)}}}{\bigr ]}\\&\leq \mathbb {E} [|X_{0}|]+c\sum _{s=0}^{\infty }\mathbb {P} (\tau >s)\\&=\mathbb {E} [|X_{0}|]+c\,\mathbb {E} [\tau ]<\infty ,\\\end{aligned}}}$$

ดังนั้น ภายใต้เงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งในสามเงื่อนไขในทฤษฎีบท กระบวนการที่หยุดลงจะถูกครอบงำโดยตัวแปรสุ่มที่สามารถหาปริพันธ์ได้เนื่องจากกระบวนการที่หยุดลงลู่เข้าสู่ค่าเกือบแน่นอนทฤษฎีบทการลู่เข้าแบบครอบงำจึงบ่งชี้ว่า: ${\displaystyle M}$${\displaystyle X^{\tau }}$${\displaystyle X_{\tau }}$$${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]=\lim _{t\to \infty }\mathbb {E} [X_{t}^{\tau }].}$$

โดยอาศัยคุณสมบัติมาร์ติงเกลของกระบวนการที่หยุดนิ่ง ดังนั้น $${\displaystyle \mathbb {E} [X_{t}^{\tau }]=\mathbb {E} [X_{0}],\quad t\in \mathbb {N} _{0},}$$$${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]=\mathbb {E} [X_{0}].}$$

ในทำนองเดียวกัน ถ้าเป็นซับมาร์ติงเกลหรือซูเปอร์มาร์ติงเกลตามลำดับ ให้เปลี่ยนความเท่าเทียมกันในสองสูตรสุดท้ายเป็นอสมการที่เหมาะสม ${\displaystyle X}$

• ทฤษฎีบทการหยุดแบบเลือกได้ของดูบ