ฟังก์ชันการกระจายคู่จะอธิบายการกระจายของระยะห่างระหว่างอนุภาคคู่ที่อยู่ในปริมาตรที่กำหนด^{[ 1 ]}ในทางคณิตศาสตร์ ถ้าaและbเป็นอนุภาคสองตัว ฟังก์ชันการกระจายคู่ของbเทียบกับaซึ่งแสดงด้วยคือความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาคbที่ระยะห่างจากaโดยที่aถือเป็นจุดกำเนิดของพิกัด ${\displaystyle g_{ab}({\vec {r}})}$${\displaystyle {\vec {r}}}$

ฟังก์ชันการกระจายคู่ใช้เพื่ออธิบายการกระจายตัวของวัตถุภายในตัวกลาง (ตัวอย่างเช่น ส้มในลังหรือโมเลกุลไนโตรเจนในถังแก๊ส ) หากตัวกลางเป็นเนื้อเดียวกัน (กล่าวคือ ทุกตำแหน่งในอวกาศมีคุณสมบัติเหมือนกัน) ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นที่จะพบวัตถุที่ตำแหน่งใดๆ ก็จะเท่ากัน ${\displaystyle {\vec {r}}}$

${\displaystyle p({\vec {r}})=1/V}$,

โดยที่คือปริมาตรของภาชนะ ในทางกลับกัน ความน่าจะเป็นที่จะพบวัตถุสองชิ้นในตำแหน่งที่กำหนด (เช่น ความหนาแน่นความน่าจะเป็นของวัตถุสองชิ้น) นั้นไม่สม่ำเสมอ ตัวอย่างเช่น ลูกบอลแข็งสองลูกจะต้องอยู่ห่างกันอย่างน้อยเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของลูกบอล ฟังก์ชันการกระจายคู่ ได้มาจากการปรับขนาด ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของวัตถุสองชิ้นด้วยจำนวนวัตถุทั้งหมดและขนาดของภาชนะ: ${\displaystyle V}$${\displaystyle g({\vec {r}},{\vec {r}}')}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle g({\vec {r}},{\vec {r}}')=p({\vec {r}},{\vec {r}}')V^{2}{\frac {N-1}{N}}}$.

ในกรณีทั่วไปที่จำนวนวัตถุในภาชนะมีจำนวนมาก จะสามารถลดรูปได้ดังนี้:

${\displaystyle g({\vec {r}},{\vec {r}}')\ประมาณ p({\vec {r}},{\vec {r}}')V^{2}}$.

ฟังก์ชันการกระจายคู่ที่ง่ายที่สุดจะถือว่าตำแหน่งของวัตถุทั้งหมดเป็นอิสระต่อกัน ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

${\displaystyle g({\vec {r}})=1}$,

ระยะห่างระหว่างวัตถุสองชิ้นอยู่ ที่ไหนอย่างไรก็ตาม วิธีนี้ไม่ถูกต้องในกรณีของวัตถุแข็งดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น เพราะไม่ได้คำนึงถึงระยะห่างขั้นต่ำที่จำเป็นระหว่างวัตถุ การประมาณค่าแบบแก้ไขรู (HC) ให้แบบจำลองที่ดีกว่า: ${\displaystyle {\vec {r}}}$

${\displaystyle g(r)={\begin{cases}0,&r<b,\\1,&r\geq {}b\end{cases}},}$

เส้นผ่านศูนย์กลางของวัตถุชิ้นหนึ่งอยู่ ที่ไหน${\displaystyle b}$

แม้ว่าการประมาณค่า HC จะให้คำอธิบายที่เหมาะสมสำหรับวัตถุที่บรรจุอย่างเบาบาง แต่ก็ใช้ไม่ได้กับวัตถุที่บรรจุอย่างหนาแน่น สามารถแสดงให้เห็นได้โดยพิจารณากล่องที่บรรจุลูกบอลแข็งที่เหมือนกันทั้งหมด โดยที่ลูกบอลแต่ละลูกสัมผัสกับลูกบอลข้างเคียง ในกรณีนี้ ลูกบอลแต่ละคู่ในกล่องจะอยู่ห่างกันเป็นระยะทางเท่ากับ โดยที่เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น การกระจายคู่สำหรับปริมาตรที่บรรจุด้วยทรงกลมแข็ง ทั้งหมด จึงเป็นชุดของฟังก์ชันเดลต้าของ Diracในรูปแบบ: ${\displaystyle r=nb}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle g(r)=\sum \limits _{i}\delta (r-ib)}$.

สุดท้ายนี้ ควรสังเกตว่าวัตถุสองชิ้นที่อยู่ห่างกันมากจะไม่มีผลต่อตำแหน่งของกันและกัน (โดยที่ภาชนะไม่ได้บรรจุเต็ม) ดังนั้น

${\displaystyle \lim \limits _{r\to \infty }g(r)=1}$.

โดยทั่วไป ฟังก์ชันการกระจายคู่จะมีรูปแบบอยู่ระหว่างแบบจำลองการบรรจุแบบเบาบาง (การประมาณ HC) และแบบจำลองการบรรจุแบบหนาแน่น (ฟังก์ชันเดลต้า) ขึ้นอยู่กับความหนาแน่นของการบรรจุ ${\displaystyle f}$

ฟังก์ชันการกระจายตัวเชิงรัศมีมีความสำคัญในทางปฏิบัติเป็นพิเศษเนื่องจากไม่ขึ้นอยู่กับทิศทาง มันเป็นตัวบ่งชี้หลักสำหรับโครงสร้างอะตอมของวัสดุอสัณฐาน (แก้ว โพลิเมอร์) และของเหลว สามารถคำนวณฟังก์ชันการกระจายตัวเชิงรัศมีได้โดยตรงจากการวัดทางกายภาพ เช่นการกระเจิงของแสงหรือการเลี้ยวเบนของรังสีเอกซ์แบบผงโดยการทำการแปลงฟูริเยร์

ในกลศาสตร์เชิงสถิติ ฟังก์ชันการกระจายความน่าจะเป็น (RDF) จะกำหนดโดยนิพจน์ต่อไปนี้

${\displaystyle g_{ab}(r)={\frac {1}{N_{a}N_{b}}}\sum \limits _{i=1}^{N_{a}}\sum \limits _{j=1}^{N_{b}}\langle \delta (\vert \mathbf {r} _{ij}\vert -r)\rangle }$

เมื่อฟิล์มบางมีโครงสร้างไม่เป็นระเบียบ เช่นในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ การกระจายตัวของคู่ (pair distribution) จะถูกนำมาใช้เพื่อดูความเครียดและคุณสมบัติเชิงโครงสร้างของวัสดุหรือองค์ประกอบนั้น คุณสมบัติเหล่านี้ไม่สามารถนำมาใช้ประโยชน์ได้ในรูปแบบของวัสดุขนาดใหญ่หรือผลึก มีวิธีการกระจายตัวแบบรัศมี (radial distribution) ที่สามารถดูโครงสร้างเฉพาะที่ของฟิล์มบางที่มีโครงสร้างไม่เป็นระเบียบได้แต่ผู้สร้างวิธีการนี้ได้เรียกร้องให้มีวิธีการที่ดีกว่าในการดูโครงสร้างระดับกลางของฟิล์มที่มีโครงสร้างไม่เป็นระเบียบ การสร้างฟังก์ชันการกระจายตัวของคู่ฟิล์มบาง (thin-film Pair Distribution Function: tfPDF) ใช้การกระจายตัวทางสถิติของโครงสร้างระดับกลางของวัสดุ ซึ่งช่วยให้สามารถมองเห็นรายละเอียดที่สำคัญ เช่น ความไม่เป็นระเบียบ ในเทคนิคนี้ ข้อมูล 2 มิติจากวิธีการกระเจิงจะถูกรวมและแปลงฟูริเยร์เป็นข้อมูล 1 มิติที่แสดงความน่าจะเป็นของพันธะในวัสดุนั้น tfPDF ทำงานได้ดีที่สุดเมื่อใช้ร่วมกับวิธีการวิเคราะห์ลักษณะเฉพาะอื่นๆ เช่นกล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอนแบบส่งผ่าน (transmission electron microscopy ) แม้ว่าจะเป็นวิธีที่กำลังพัฒนา แต่ tfPDF สามารถให้ความสัมพันธ์ระหว่างโครงสร้างและคุณสมบัติที่สมบูรณ์ผ่านเทคนิคการวิเคราะห์ลักษณะเฉพาะที่เชื่อถือได้ ${\displaystyle {\ce {GeSe2}}}$

การวิเคราะห์ฟังก์ชันการกระจายคู่ของอะตอม (PDF) ประกอบด้วยทั้งยอดแบร็กและส่วนประกอบการกระเจิงแบบกระจายภายในรูปแบบการเลี้ยวเบน ด้วยเหตุนี้ ลำดับอะตอมที่มีอยู่ซึ่งมีลักษณะเฉพาะโดยยอดแบร็กจึงรวมเข้ากับข้อบกพร่องภายในโครงสร้างเพื่อสร้าง PDF ซึ่งทำให้การวิเคราะห์ PDF สามารถระบุลักษณะของวัสดุที่มีคาบที่แตกหักเนื่องจากการบิดเบี้ยวของโครงสร้างได้ดีกว่าเมื่อเปรียบเทียบกับการวิเคราะห์เอ็กซ์เรย์ผงแบบดั้งเดิม^{[ 2 ]}

• วิธีการไฮเปอร์เน็ตแบบแผนที่คลาสสิก