ในทางเรขาคณิตโซ่ปัปปัสคือวงแหวนของวงกลมที่ เชื่อมระหว่าง วงกลมสอง วงที่สัมผัสกัน ซึ่ง ปัปปัสแห่งอเล็กซานเดรียได้ ศึกษาค้นคว้าในศตวรรษที่ 3 หลังคริสต์ศักราช

กำหนดให้วงกลมสองวงคือ C _UและC _Vโดยที่วงกลมด้านในC _Uถูกล้อมรอบด้วยวงกลมด้านนอกC _Vและวงกลมทั้งสองสัมผัสกันที่จุดAให้รัศมีของวงกลมทั้งสองเป็นr _Uและ r _Vตามลำดับ และให้จุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งสองเป็นจุดU และ V ตามลำดับ โซ่ปัปปัสประกอบด้วยวงกลมในบริเวณสีเทา ซึ่งสัมผัสภายนอกกับC _U (วงกลมด้านใน) และสัมผัสภายในกับC _V (วงกลมด้านนอก) ให้รัศมี เส้นผ่านศูนย์กลาง และจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ n ในโซ่ปัปปัสเป็น^r n , _d n _และ P _nตามลำดับ

โดยทั่วไปแล้ว โซ่ของปัปปัสจะถูกพิจารณาโดยสัมพันธ์กับอาร์เบลอสซึ่ง เป็น รูปสามเหลี่ยมวงกลมที่มีด้านทั้งสามเป็นครึ่งวงกลมของวงกลมสัมผัสสองวงที่กำหนดให้ และของวงกลมในโซ่ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่บนเส้นตรงเดียวกันกับวงกลมสองวงที่กำหนดให้

จุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งหมดในห่วงโซ่ปัปปัสตั้งอยู่บนวงรี เดียวกัน ด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้ ผลรวมของระยะทางจากวงกลมที่ⁿ ของห่วงโซ่ปัปปัสไปยังจุดศูนย์กลางU และ Vของวงกลมอาร์เบลอสทั้งสองเท่ากับค่าคงที่

$${\displaystyle {\overline {P_{n}U}}+{\overline {P_{n}V}}=(r_{U}+r_{n})+(r_{V}-r_{n})=r_{U}+r_{V}}$$

ดังนั้นจุดโฟกัสของวงรีนี้คือU และ Vซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมสองวงที่กำหนดรูปทรงอาร์เบลอส จุดเหล่านี้สอดคล้องกับจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงABและACตามลำดับ

ถ้าเช่นนั้น จุดศูนย์กลางของวงกลมที่nในห่วงโซ่คือ: ${\displaystyle r={\tfrac {\overline {AC}}{\overline {AB}}},}$

$${\displaystyle (x_{n},y_{n})=\left({\frac {r(1+r)}{2[n^{2}(1-r)^{2}+r]}}~,~{\frac {nr(1-r)}{n^{2}(1-r)^{2}+r}}\right)}$$

ถ้าเช่นนั้น รัศมีของวงกลมที่nในห่วงโซ่นี้คือ: ${\displaystyle r={\tfrac {\overline {AC}}{\overline {AB}}},}$$${\displaystyle r_{n}={\frac {(1-r)r}{2[n^{2}(1-r)^{2}+r]}}}$$

ความสูงh _nของจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ⁿ เหนือเส้นผ่านศูนย์กลางฐานACBเท่ากับnเท่าของ d _n ^{[ 1} ] สามารถแสดงได้โดยการกลับวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดสัมผัสAวงกลมที่กลับจะถูกเลือกให้ตัดกับ วงกลม ^ที่n ในแนวตั้ง ฉาก เพื่อให้วงกลม^ที่n ถูก ^แปลงเป็นวงกลมของตัวเอง วงกลมอาร์เบลอสสองวงC _UและC _Vจะถูกแปลงเป็นเส้นขนานที่สัมผัสและประกบ วงกลมที่ n ดังนั้น วงกลมอื่นๆ ของโซ่ปั ^ปปัสจึงถูกแปลงเป็นวงกลมประกบที่คล้ายกันที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน วงกลมเริ่มต้นC ₀และวงกลมสุดท้ายC _nแต่ละวงมีส่วนร่วม⁠1/2d n มีส่วนช่วย ต่อ ความสูง h _nในขณะที่วงกลม C ₁ถึง C _{n −1}แต่ละวงมีส่วนช่วย d _{n เมื่อรวมส่วนช่วยเหล่านี้เข้าด้วยกัน จะ}ได้สมการ h _n = nd _n

สามารถใช้การผกผันแบบเดียวกันนี้เพื่อแสดงให้เห็นว่าจุดที่วงกลมในสายโซ่ปัปปัสสัมผัสกันนั้นอยู่บนวงกลมเดียวกัน ดังที่กล่าวไว้ข้างต้นการผกผันที่จุดAจะเปลี่ยนวงกลมอาร์เบลอสC _U , C _Vให้กลายเป็นเส้นขนานสองเส้น และวงกลมในสายโซ่ปัปปัสให้กลายเป็นวงกลมขนาดเท่ากันเรียงซ้อนกันอยู่ระหว่างเส้นขนานทั้งสอง ดังนั้น จุดสัมผัสระหว่างวงกลมที่แปลงแล้วจะอยู่บนเส้นตรงที่อยู่กึ่งกลางระหว่างเส้นขนานทั้งสอง เมื่อยกเลิกการผกผันในวงกลม เส้นของจุดสัมผัสนี้จะถูกแปลงกลับเป็นวงกลมอีกครั้ง

ด้วยคุณสมบัติที่ว่าจุดศูนย์กลางอยู่บนวงรีและจุดสัมผัสอยู่บนวงกลม ทำให้โซ่ปัปปัสคล้ายคลึงกับโซ่สไตเนอร์ซึ่งมีวงกลมจำนวนจำกัดที่สัมผัสกับวงกลมสองวง

• Ogilvy, CS (1990). ทัศนศึกษาทางเรขาคณิต . โดเวอร์. หน้า  54–55 . ISBN 0-486-26530-7.
• Bankoff, L. (1981). "Pappus ทำได้อย่างไร?". ใน Klarner, DA (บรรณาธิการ). The Mathematical Gardner . บอสตัน: Prindle, Weber, & Schmidt. หน้า  112–118 .
• จอห์นสัน, อาร์.เอ. (1960). เรขาคณิตยุคลิดขั้นสูง: ตำราเบื้องต้นเกี่ยวกับเรขาคณิตของสามเหลี่ยมและวงกลม (พิมพ์ซ้ำจากฉบับปี 1929 โดยสำนักพิมพ์ Houghton Mifflin). นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Dover. หน้า  116–117 . ISBN 978-0-486-46237-0.{{cite book}}:ปัญหาความไม่เข้ากันของหมายเลข ISBN / วันที่ ( ขอความช่วยเหลือ )
• เวลส์, ดี. (1991). พจนานุกรมเรขาคณิตที่น่าสนใจและแปลกใหม่ของเพนกวิน . นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์เพนกวิน. หน้า  5–6 . ISBN 0-14-011813-6.

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับห่วงโซ่อาหารของปัปปัส

• Floer van Lamoen และ Eric W. Weisstein. "Pappus Chain" . MathWorld .
• แทน, สตีเฟน. "อาร์เบลอส" .