ในทางเรขาคณิตโซ่สไตเนอร์ (Steiner chain)คือเซตของ วงกลม nวง ซึ่งทั้งหมดสัมผัส กับ วงกลมสองวงที่กำหนดให้และไม่ตัดกัน(สีน้ำเงินและสีแดงในรูปที่ 1) โดยที่nเป็นจำนวนจำกัด และแต่ละวงกลมในโซ่จะสัมผัสกับวงกลมก่อนหน้าและวงกลมถัดไปในโซ่ ใน โซ่สไตเนอร์ แบบปิด ทั่วไป วงกลมแรกและวงกลมสุดท้าย ( วงที่ n ) จะสัมผัสกันด้วย ในทางตรงกันข้าม ใน โซ่สไตเนอร์ แบบเปิดวงกลมทั้งสองไม่จำเป็นต้องสัมผัสกัน วงกลมαและβ ที่กำหนดให้ ไม่ตัดกัน แต่ไม่มีข้อจำกัดอื่นใด วงกลมที่เล็กกว่าอาจอยู่ภายในหรือภายนอกวงกลมที่ใหญ่กว่าก็ได้ ในกรณีเหล่านี้ จุดศูนย์กลางของวงกลมในโซ่สไตเนอร์จะอยู่บนวงรีหรือไฮเปอร์โบลาตามลำดับ

โซ่สไตเนอร์ตั้งชื่อตามยาคอบ สไตเนอร์ผู้ซึ่งกำหนดนิยามของโซ่เหล่านี้ในศตวรรษที่ 19 และค้นพบคุณสมบัติหลายประการของโซ่เหล่านี้ ผลลัพธ์พื้นฐานประการหนึ่งคือสัจพจน์ของสไตเนอร์ซึ่งกล่าวว่า:

ถ้ามีโซ่สไตเนอร์ปิดอย่างน้อยหนึ่งโซ่ที่ประกอบด้วย วงกลม nวงสำหรับวงกลมαและβ ที่กำหนดให้สองวง แล้ว ก็จะมีโซ่สไตเนอร์ปิดที่ประกอบด้วย วงกลม n วงเป็นจำนวนอนันต์ และวงกลมใดๆ ที่สัมผัสกับαและβในลักษณะเดียวกัน^{[ a ]}ก็เป็นสมาชิกของโซ่ดังกล่าวด้วย

วิธีการผกผันวงกลมมีประโยชน์ในการจัดการกับโซ่สไตเนอร์ เนื่องจากวิธีการผกผันจะรักษาการสัมผัส มุม และวงกลมไว้ จึงแปลงโซ่สไตเนอร์หนึ่งไปเป็นอีกโซ่หนึ่งที่มีจำนวนวงกลมเท่ากัน การเลือกการผกผันแบบหนึ่งจะแปลงวงกลมαและβ ที่กำหนด ให้เป็นวงกลมศูนย์กลางร่วมกัน ในกรณีนี้ วงกลมทั้งหมดของโซ่สไตเนอร์จะมีขนาดเท่ากันและสามารถ "กลิ้ง" ไปรอบๆ ในวงแหวนระหว่างวงกลมได้คล้ายกับลูกปืนการกำหนดค่ามาตรฐานนี้ทำให้สามารถอนุมานคุณสมบัติหลายอย่างของโซ่สไตเนอร์ได้ เช่น จุดสัมผัสของมันจะอยู่บนวงกลมเสมอ มีการวางนัยทั่วไปของโซ่สไตเนอร์อยู่หลายแบบ ที่โดดเด่นที่สุดคือโซ่เฮกเซลของ Soddyและโซ่Pappus ^{[ 1 ]}

• โซ่สไตเนอร์ที่มีจุดสัมผัสภายใน/ภายนอกต่างกัน
• 
  วงกลมทั้ง 7 วงในห่วงโซ่สไตเนอร์นี้ (สีดำ) สัมผัสกับวงกลมด้านในที่กำหนด (สีแดง) จากภายนอก แต่สัมผัสกับวงกลมด้านนอกที่กำหนด (สีน้ำเงิน) จากภายใน
• 
  วงกลมทั้ง 7 วงในห่วงโซ่สไตเนอร์นี้ (สีดำ) สัมผัสกับวงกลมทั้งสองวงที่กำหนดให้ (สีแดงและสีน้ำเงิน) จากภายนอก โดยวงกลมทั้งสองวงนี้อยู่นอกเหนือกันและกัน
• 
  วงกลม 7 วงจากทั้งหมด 8 วงในห่วงโซ่สไตเนอร์นี้ (สีดำ) สัมผัสกับวงกลมทั้งสองวงที่กำหนดให้ (สีแดงและสีน้ำเงิน) จากภายนอก ส่วนวงกลมวงที่ 8 สัมผัสกับวงกลมทั้งสองวงจากภายใน

วงกลมสองวงที่กำหนดให้αและβไม่สามารถตัดกันได้ ดังนั้น วงกลมที่เล็กกว่าจะต้องอยู่ภายในหรือภายนอกวงกลมที่ใหญ่กว่า โดยปกติแล้ว วงกลมจะแสดงเป็นรูปวงแหวน กล่าวคือ วงกลมที่เล็กกว่าอยู่ภายในวงกลมที่ใหญ่กว่า ในการจัดเรียงแบบนี้ วงกลมในโซ่สไตเนอร์จะสัมผัสกับวงกลมด้านในที่กำหนดให้จากภายนอก และสัมผัสกับวงกลมด้านนอกจากภายใน อย่างไรก็ตาม วงกลมที่เล็กกว่าอาจอยู่ภายนอกวงกลมที่ใหญ่กว่าโดยสมบูรณ์ก็ได้ (รูปที่ 2) วงกลมสีดำในรูปที่ 2 ตรงตามเงื่อนไขของโซ่สไตเนอร์แบบปิด กล่าวคือ วงกลมทั้งหมดสัมผัสกับวงกลมสองวงที่กำหนดให้ และแต่ละวงสัมผัสกับวงกลมข้างเคียงในโซ่ ในการจัดเรียงแบบนี้ วงกลมในโซ่สไตเนอร์จะมีลักษณะการสัมผัสกับวงกลมทั้งสองวงที่กำหนดให้เหมือนกัน ไม่ว่าจะเป็นการสัมผัสจากภายนอกหรือภายใน ถ้าวงกลมสองวงที่กำหนดให้สัมผัสกันที่จุดหนึ่ง โซ่สไตเนอร์จะกลายเป็นโซ่ปัปปัส ที่ไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งมักกล่าวถึงในบริบทของอาร์เบลอส ( มีดช่างทำรองเท้า ) ซึ่งเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ทำจากวงกลมสามวง ไม่มีชื่อเรียกทั่วไปสำหรับลำดับของวงกลมที่สัมผัสกับวงกลมสองวงที่กำหนดให้และตัดกันที่สองจุด

• โซ่สไตเนอร์แบบปิด แบบเปิด และแบบหลายวัฏจักร
• 
  โซ่สไตเนอร์ปิดที่มีวงกลมเก้าวง วงกลมที่ 1 และ 9 สัมผัสกัน
• 
  โซ่สไตเนอร์แบบเปิดที่มีวงกลมเก้าวง วงกลมที่ 1 และ 9 ซ้อนทับกัน
• 
  โซ่สไตเนอร์แบบหลายวง ประกอบด้วยวงกลม 17 วง พัน 2 รอบ โดยวงกลมที่ 1 และ 17 สัมผัสกัน

วงกลมสองวงที่กำหนดให้αและβสัมผัสกับ วงกลม nวงของสายโซ่สไตเนอร์ แต่ละวงกลมC ของสายโซ่สไตเนอร์จะสัมผัสกับวงกลมเพียงสี่วงเท่านั้น ได้แก่α , βและวงกลมข้างเคียงอีกสองวง คือC และC โดยปกติแล้ว สายโซ่สไตเนอร์จะถือว่าเป็นแบบปิดกล่าวคือ วงกลมวงแรกและวงสุดท้ายสัมผัสกัน ในทางตรงกันข้าม สายโซ่สไตเนอร์ แบบเปิดคือสายโซ่ที่วงกลมวงแรกและวงสุดท้ายC และC ไม่สัมผัสกัน วงกลมเหล่านี้สัมผัสกับวงกลมเพียงสาม วงเท่านั้น สายโซ่สไตเนอร์แบบหลายวงจะพันรอบวงกลมด้านในมากกว่าหนึ่งครั้งก่อนที่จะปิด กล่าวคือ ก่อนที่จะสัมผัสกับวงกลมเริ่มต้น

โซ่สไตเนอร์แบบปิด คือ ระบบของวงกลมที่ได้มาจากการแสดงแทนของพีระมิดคู่ โดย ใช้ทฤษฎีการจัดเรียงวงกลม

• โซ่สไตเนอร์แบบวงแหวน
• 
  n = 3
• 
  n = 6
• 
  n = 9
• 
  n = 12
• 
  n = 20

โซ่สไตเนอร์แบบง่ายที่สุดคือโซ่ปิดของ วงกลม nวงที่มีขนาดเท่ากัน ล้อมรอบวงกลมแนบในที่มีรัศมีrโซ่ของวงกลมนี้เองก็ถูกล้อมรอบด้วยวงกลมแนบนอกที่มีรัศมีRวงกลมแนบในและวงกลมแนบนอกนั้นมีจุดศูนย์กลางร่วมกัน และวงกลมในโซ่สไตเนอร์จะอยู่ภายในวงแหวนระหว่างวงกลมทั้งสอง เนื่องจากสมมาตร มุม 2θ ระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมในโซ่สไตเนอร์คือ 360°/ nเนื่องจากวงกลมในโซ่สไตเนอร์สัมผัสกัน ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมจึงเท่ากับผลรวมของรัศมีของวงกลมทั้งสอง ซึ่งในที่นี้คือสองเท่าของรัศมีρเส้นแบ่งครึ่งมุม (สีเขียวในรูป) จะสร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป โดยมีมุมฉากθ = 180°/ nค่าไซน์ของมุมนี้สามารถเขียนได้เป็นความยาวของด้านตรงข้ามหารด้วยด้านตรง ข้าม มุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\rho }{r+\rho }}}$

เนื่องจากทราบค่าθ จาก nแล้ว จึงได้สมการสำหรับรัศมีρ ที่ไม่ทราบค่า ของวงกลม Steiner-chain

${\displaystyle \rho ={\frac {r\sin \theta }{1-\sin \theta }}}$

จุดสัมผัสของวงกลมโซ่สไตเนอร์กับวงกลมด้านในและด้านนอกที่กำหนดให้ จะอยู่บนเส้นตรงเดียวกันซึ่งผ่านจุดศูนย์กลางร่วมกัน ดังนั้น รัศมีด้านนอกR = r + 2ρ

สมการเหล่านี้เป็นเกณฑ์สำหรับความเป็นไปได้ของโซ่สไตเนอร์สำหรับวงกลมสองวงที่มีจุดศูนย์กลางร่วมกัน โซ่สไตเนอร์ปิดที่มี วงกลม nวงนั้นต้องการให้สัดส่วนของรัศมีR / rของวงกลมที่กำหนดเท่ากับ n พอดี

${\displaystyle {\frac {R}{r}}=1+{\frac {2\sin \theta }{1-\sin \theta }}={\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}=\left[\sec \theta +\tan \theta \right]^{2}}$

ดังแสดงด้านล่าง เกณฑ์อัตราส่วนของรัศมีสำหรับวงกลมศูนย์กลางร่วมที่กำหนดให้ สามารถขยายไปใช้กับวงกลมทุกประเภทที่กำหนดให้ โดยใช้ระยะทางผกผันδของวงกลมสองวงที่กำหนดให้ สำหรับวงกลมศูนย์กลางร่วม ระยะทางนี้กำหนดโดยลอการิทึมของอัตราส่วนของรัศมี

${\displaystyle \delta =\ln {\frac {R}{r}}}$

โดยใช้วิธีแก้ปัญหาสำหรับวงกลมศูนย์กลางเดียวกัน เราสามารถเขียนเกณฑ์ทั่วไปสำหรับโซ่สไตเนอร์ของ วงกลม n วงได้ดังนี้

${\displaystyle \delta =2\ln \left(\sec \theta +\tan \theta \right).}$

ถ้าโซ่สไตเนอร์แบบวงแหวนหลายวงมี วงกลมทั้งหมด nวง และพันรอบmครั้งก่อนปิด มุมระหว่างวงกลมของโซ่สไตเนอร์จะเท่ากับ

${\displaystyle \theta ={\frac {m}{n}}180^{\circ }}$

ในส่วนอื่นๆ เกณฑ์ความเป็นไปได้ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

• คุณสมบัติผกผันของโซ่สไตเนอร์
• 
  วงกลมสองวง (สีชมพูและสีฟ้า) ที่สัมผัสภายในกับวงกลมทั้งสอง ที่กำหนดให้ และจุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งสองอยู่บนเส้นตรงเดียวกันกับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่กำหนดให้ ตัดกันเป็นมุม 2θ
• 
  ภายใต้การกลับด้าน เส้นและวงกลมเหล่านี้จะกลายเป็นวงกลมที่มีมุมตัดกันเท่ากัน คือ2θ วงกลมสีทองตัดกับวงกลมสองวงที่กำหนดให้ในมุมฉาก กล่าวคือ ตั้งฉากกัน
• 
  วงกลมที่ผ่านจุดสัมผัสร่วมกันของวงกลมในโซ่สไตเนอร์จะตั้งฉากกับวงกลมทั้งสองที่กำหนดให้ และตัดกันที่มุมที่เป็นผลคูณของ  2θ
• 
  วงกลมที่ผ่านจุดสัมผัสของวงกลมในโซ่สไตเนอร์กับวงกลมสองวงที่กำหนด จะตั้งฉากกับวงกลมทั้งสองนั้น และตัดกันที่มุมซึ่งเป็นผลคูณของ  2θ

การกลับวงกลมจะเปลี่ยนห่วงโซ่สไตเนอร์หนึ่งไปเป็นอีกห่วงโซ่หนึ่งที่มีจำนวนวงกลมเท่าเดิม

ในโซ่ที่แปลงแล้ว จุดสัมผัสระหว่างวงกลมที่อยู่ติดกันในโซ่สไตเนอร์ทั้งหมดจะอยู่บนวงกลมเดียวกัน นั่นคือวงกลมศูนย์กลางร่วมที่อยู่กึ่งกลางระหว่างวงกลมศูนย์กลางร่วมสองวงที่กำหนดไว้ เนื่องจากความสัมผัสและวงกลมยังคงอยู่ภายใต้การผกผัน คุณสมบัติที่ว่าจุดสัมผัสทั้งหมดอยู่บนวงกลมจึงเป็นจริงในโซ่ดั้งเดิมด้วย คุณสมบัตินี้ยังพบได้ในโซ่ ของวงกลมของ ปัปปัสซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นกรณีจำกัดพิเศษของโซ่สไตเนอร์

ในโซ่ที่แปลงแล้ว เส้นสัมผัสจากจุดOไปยังวงกลมของโซ่สไตเนอร์จะแยกจากกันด้วยมุมที่เท่ากัน ในโซ่ดั้งเดิม สิ่งนี้สอดคล้องกับมุมที่เท่ากันระหว่างวงกลมสัมผัสที่ผ่านจุดศูนย์กลางการผกผันซึ่งใช้ในการแปลงวงกลมดั้งเดิมให้เป็นวงกลมร่วมศูนย์กลาง

ในโซ่ที่แปลงแล้ว เส้นตรง nเส้นที่เชื่อมจุดสัมผัสของวงกลมสไตเนอร์กับวงกลมศูนย์กลางร่วมแต่ละคู่ จะผ่านจุดOซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางร่วม ในทำนองเดียวกัน เส้นตรง nเส้นที่สัมผัสกับวงกลมที่อยู่ติดกันแต่ละคู่ในโซ่สไตเนอร์ก็จะผ่านจุดO เช่น กัน เนื่องจากเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลางของการผกผันจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การผกผัน และเนื่องจากการสัมผัสและการบรรจบกันยังคงอยู่ภายใต้การผกผัน เส้นตรง 2n เส้นที่เชื่อมจุดที่สอดคล้องกันในโซ่เดิมจึงผ่านจุดเดียวคือO เช่น กัน

โซ่สไตเนอร์ระหว่างวงกลมสองวงที่ไม่ตัดกัน สามารถแปลงเป็นโซ่สไตเนอร์อีกโซ่หนึ่งได้เสมอ โดยโซ่สไตเนอร์นั้นประกอบด้วยวงกลมขนาดเท่ากันสองวงที่อยู่ระหว่างวงกลมสองวงที่มีจุดศูนย์กลางร่วมกัน ดังนั้น โซ่สไตเนอร์ดังกล่าวจึงเป็นส่วนหนึ่งของตระกูลโซ่สไตเนอร์อนันต์ที่สัมพันธ์กันโดยการหมุนโซ่ที่แปลงแล้วรอบจุดOซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางร่วมของวงกลมล้อมรอบที่แปลงแล้ว

จุดศูนย์กลางของวงกลมในสายโซ่สไตเนอร์จะอยู่บนภาคตัดกรวยตัวอย่างเช่น ถ้าวงกลมที่เล็กกว่าอยู่ภายในวงกลมที่ใหญ่กว่า จุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งสองจะอยู่บนวงรีหลักการนี้ใช้ได้กับวงกลมทุกชุดที่สัมผัสภายในกับวงกลมหนึ่งและสัมผัสภายนอกกับวงกลมอีกวงหนึ่ง ระบบวงกลมดังกล่าวปรากฏในสายโซ่ปัปปัสปัญหาของอพอลโลเนียส และ หกเหลี่ยมของซอดดีในสามมิติในทำนองเดียวกัน ถ้าวงกลมบางวงในสายโซ่สไตเนอร์สัมผัสภายนอกกับวงกลมทั้งสอง จุดศูนย์กลางของวงกลมเหล่านั้นจะต้องอยู่บนไฮเปอร์โบลา ในขณะที่วงกลมที่สัมผัสภายในกับวงกลมทั้งสองจะอยู่บนไฮเปอร์โบลาอีกเส้นหนึ่ง

วงกลมในโซ่สไตเนอร์สัมผัสกับวงกลมคงที่สองวง ซึ่งในที่นี้แทนด้วยα และ β โดยที่ β อยู่ภายใน α ให้รัศมีของวงกลมทั้งสองนี้เป็น rα และ rβ ตามลำดับและให้จุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งสองเป็น^และ B ตามลำดับให้รัศมีเส้นผ่านศูนย์กลางจุดศูนย์กลางของ วงกลม kในโซ่สไตเนอร์เป็นrk , dkและตามลำดับ 

ศูนย์กลางของวงกลมทั้งหมดในโซ่สไตเนอร์ตั้งอยู่บนวงรี เดียวกัน ด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้^{[ 2 ]}ผลรวมของระยะทางจากจุดศูนย์กลางของ วงกลม ^ที่kของโซ่สไตเนอร์ไปยังจุดศูนย์กลางAและBของวงกลมคงที่เท่ากับค่าคงที่

${\displaystyle {\overline {\mathbf {P} _{k}\mathbf {A} }}+{\overline {\mathbf {P} _{k}\mathbf {B} }}=(r_{\alpha }-r_{k})+\left(r_{\beta }+r_{k}\right)=r_{\alpha }+r_{\beta }}$

ดังนั้น สำหรับจุดศูนย์กลางทั้งหมดของวงกลมในสายโซ่สไตเนอร์ ผลรวมของระยะทางไปยังAและBจะเท่ากับค่าคงที่เดียวกัน คือr   + r ซึ่งกำหนดเป็นรูปวงรี โดยที่จุดโฟกัส ทั้งสอง คือจุดAและBซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมαและβที่ประกบสายโซ่วงกลมของสไตเนอร์ 

ผลรวมของระยะทางไปยังจุดโฟกัสเท่ากับสองเท่าของกึ่งแกนเอกaของวงรี ดังนั้น

${\displaystyle 2a=r_{\alpha }+r_{\beta }}$

ให้pเท่ากับระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสAและBแล้วค่าความเยื้องศูนย์eจะถูกกำหนดโดย 2 ae = pหรือ

${\displaystyle e={\frac {p}{2a}}={\frac {p}{r_{\alpha }+r_{\beta }}}}$

จากพารามิเตอร์เหล่านี้สามารถกำหนดค่ากึ่งแกนรองbและกึ่งแกนลาตัสเรคตัมL ได้

${\displaystyle b^{2}=a^{2}\left(1-e^{2}\right)=a^{2}-{\frac {p^{2}}{4}}}$

${\displaystyle L={\frac {b^{2}}{a}}=a-{\frac {p^{2}}{4a}}}$

ดังนั้น วงรีจึงสามารถอธิบายได้ด้วยสมการในรูปของระยะทางdจากจุดโฟกัสจุดหนึ่ง

${\displaystyle d={\frac {L}{1-e\cos \theta }}}$

โดยที่θคือมุมกับเส้นที่เชื่อมจุดโฟกัสทั้งสองจุด

• โซ่สไตเนอร์แบบคอนจูเกตที่มีn  =  4
• 
  โซ่สไตเนอร์ที่มีวงกลมสองวงแสดงด้วยสีแดงและสีน้ำเงิน
• 
  วงกลมชุดเดิม แต่เลือกวงกลมที่แตกต่างกันออกไป
• 
  วงกลมชุดเดิม แต่มีตัวเลือกวงกลมที่กำหนดให้แตกต่างออกไป

ถ้าโซ่สไตเนอร์มีจำนวนวงกลมเป็นเลขคู่ วงกลมสองวงใดๆ ที่อยู่ตรงข้ามกันในโซ่นั้น สามารถนำมาใช้เป็นวงกลมสองวงที่กำหนดในโซ่สไตเนอร์ใหม่ ซึ่งวงกลมเดิมนั้นเป็นส่วนหนึ่งอยู่ได้ ถ้าโซ่สไตเนอร์เดิมมี วงกลม nวง พันรอบmครั้ง และโซ่ใหม่มีวงกลมp วง พันรอบ qครั้ง สมการต่อไปนี้จะเป็นจริง

${\displaystyle {\frac {m}{n}}+{\frac {p}{q}}={\frac {1}{2}}.}$

ตัวอย่างง่ายๆ เกิดขึ้นกับโซ่สไตเนอร์ที่มีวงกลมสี่วง ( n  =  4) และพันรอบหนึ่งครั้ง ( m  =  1) ในกรณีนี้ วงกลมที่กำหนดและวงกลมในโซ่สไตเนอร์นั้นเทียบเท่ากันตรงที่วงกลมทั้งสองประเภทสัมผัสกับวงกลมอื่นๆ อีกสี่วง โดยทั่วไปแล้ว วงกลมในโซ่สไตเนอร์จะสัมผัสกับวงกลมสี่วง แต่สองวงกลมที่กำหนดจะสัมผัสกับ วงกลม nวง ในกรณีนี้ สมาชิกตรงข้ามคู่ใดๆ ของโซ่สไตเนอร์สามารถเลือกเป็นวงกลมที่กำหนดของโซ่สไตเนอร์อีกโซ่หนึ่งที่เกี่ยวข้องกับวงกลมที่กำหนดเดิมได้ เนื่องจากm  = p = 1 และn = q = 4 สมการของสไตเนอร์จึงเป็นจริง:       

${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}.}$

การขยายความทั่วไปที่ง่ายที่สุดของห่วงโซ่สไตเนอร์คือการอนุญาตให้วงกลมที่กำหนดสัมผัสหรือตัดกัน ในกรณีแรกนี้ จะสอดคล้องกับห่วงโซ่ปัปปัสซึ่งมีวงกลมจำนวนอนันต์

เฮกเซลของซอดดี (Soddy's hexlet)เป็นการขยายความแบบสามมิติของโซ่สไตเนอร์ (Steiner chain) ที่ประกอบด้วยวงกลมหกวง จุดศูนย์กลางของทรงกลมทั้งหก ( เฮกเซล ) เคลื่อนที่ไปตามวงรีเดียวกันกับจุดศูนย์กลางของโซ่สไตเนอร์ที่สอดคล้องกัน ขอบเขตของทรงกลมเฮกเซลคือไซคไลด์ของดูพิน(Dupin cyclide ) ซึ่งเป็นการผกผันของทอรัส ทรงกลมทั้งหกไม่เพียงแต่สัมผัสกับทรงกลมด้านในและด้านนอกเท่านั้น แต่ยังสัมผัสกับทรงกลมอีกสองลูกที่อยู่ด้านบนและด้านล่างของระนาบจุดศูนย์กลางของเฮกเซลด้วย

โซ่สไตเนอร์แบบวงแหวนหลายวงเป็นการวางนัยทั่วไปอีกรูปแบบหนึ่ง โซ่สไตเนอร์แบบธรรมดาได้มาจากการกลับด้านโซ่รูปวงแหวนของวงกลมสัมผัสที่ล้อมรอบด้วยวงกลมศูนย์กลางร่วมสองวง ซึ่งสามารถวางนัยทั่วไปได้กับการกลับด้านวงกลมศูนย์กลางร่วมสามวงขึ้นไปที่ประกบโซ่รูปวงแหวนของวงกลมสัมผัส

โซ่สไตเนอร์แบบลำดับชั้นเป็นการขยายความทั่วไปอีกรูปแบบหนึ่ง หากวงกลมสองวงที่กำหนดในโซ่สไตเนอร์ทั่วไปซ้อนกัน กล่าวคือ หากวงหนึ่งอยู่ภายในอีกวงหนึ่งโดยสมบูรณ์ วงกลมที่ใหญ่กว่าจะล้อมรอบวงกลมในโซ่สไตเนอร์นั้น ในโซ่สไตเนอร์แบบลำดับชั้น วงกลมแต่ละวงในโซ่สไตเนอร์จะเป็นวงกลมที่ล้อมรอบวงกลมที่กำหนดของโซ่สไตเนอร์อีกอันที่อยู่ภายในนั้น กระบวนการนี้สามารถทำซ้ำได้เรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด ก่อให้เกิดโครงสร้างแบบแฟรกทัล

• ปอนเซเลต์ โพริซึม
• วงเวียนฟอร์ด
• ปะเก็นอพอลโลเนียน

• Ogilvy, CS (1990). ทัศนศึกษาทางเรขาคณิต . โดเวอร์. หน้า51–54 . ISBN  0-486-26530-7.
• Coxeter, HSM ; Greitzer, SL (1967). Geometry Revisited . New Mathematical Library. Vol.  19. Washington : MAA . pp. 123– 126, 175– 176, 180. ISBN  978-0-88385-619-2. Zbl 0166.16402 . 
• Johnson RA (1960). เรขาคณิตยุคลิดขั้นสูง: ตำราเบื้องต้นเกี่ยวกับเรขาคณิตของสามเหลี่ยมและวงกลม (พิมพ์ซ้ำจากฉบับปี 1929 โดย Houghton Mifflin  ). นิวยอร์ก: Dover Publications. หน้า113–115 . ISBN  978-0-486-46237-0.{{cite book}}: ความไม่เข้ากันของหมายเลข ISBN / วันที่ ( ขอความช่วยเหลือ )
• Wells D (1991). พจนานุกรมเรขาคณิตที่น่าสนใจและแปลกใหม่ของเพนกวิน . นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์เพนกวิน. หน้า244–245 . ISBN  0-14-011813-6.

• อีฟส์ เอช (1972). การสำรวจเรขาคณิต (  ฉบับปรับปรุง). บอสตัน: อัลลิน แอนด์ เบคอน. หน้า134–135 . ISBN  978-0-205-03226-6.
• Pedoe D (1970). หลักสูตรเรขาคณิตสำหรับวิทยาลัยและมหาวิทยาลัย . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. หน้า97–101 . ISBN  978-0-521-07638-8.
• Coolidge JL (1916). ตำราว่าด้วยวงกลมและทรงกลม . อ็อกซ์ฟอร์ด: สำนักพิมพ์แคลเรนดอน. หน้า31–37 . 

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับโซ่สไตเนอร์

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ห่วงโซ่สไตเนอร์" . MathWorld .
• แอนิเมชันแอนิเมชันของห่วงโซ่สไตเนอร์ , CodePen
• แอปเพล็ตแบบอินเทอร์แอคทีฟ โดย Michael Borcherds แสดงภาพเคลื่อนไหวของห่วงโซ่ของสไตเนอร์ (Steiner's Chain ) โดยมีจำนวนวงกลมที่เปลี่ยนแปลงได้ซึ่งสร้างด้วยGeoGebra