ในการศึกษาคณิตศาสตร์ของคอมบินาทอริกบนคำคำพารามิเตอร์คือสตริงบนตัวอักษร ที่กำหนด ซึ่ง มี อักขระตัวแทนจำนวนหนึ่ง^{[ 1 ]}เซตของสตริงที่ตรงกับคำพารามิเตอร์ที่กำหนดเรียกว่าเซตพารามิเตอร์หรือลูกบาศก์คอมบินาทอริกคำพารามิเตอร์สามารถประกอบกันเพื่อสร้างลูกบาศก์ย่อยที่เล็กกว่าของลูกบาศก์คอมบินาทอริกที่กำหนด มีการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีแรมซีย์และในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ในการตรวจจับรหัสที่ซ้ำกัน

อย่างเป็นทางการแล้ว${\displaystyle k}$-พารามิเตอร์ความยาวของคำ${\displaystyle n}$เหนือตัวอักษรที่กำหนด${\displaystyle A}$เป็นลำดับของ${\displaystyle n}$ตัวละครบางตัวอาจมาจาก...${\displaystyle A}$และส่วนอื่นๆ ก็คือ${\displaystyle k}$อักขระไวด์การ์ดที่แตกต่างกัน${\displaystyle *_{1},*_{2},\ldots ,*_{k}}$อักขระตัวแทนแต่ละตัวจะต้องปรากฏอย่างน้อยหนึ่งครั้ง แต่สามารถปรากฏได้หลายครั้ง และอักขระตัวแทนจะต้องปรากฏตามลำดับที่กำหนดโดยดัชนี: อักขระตัวแทนตัวแรกในคำจะต้องเป็น${\displaystyle *_{1}}$อันถัดไปที่แตกต่างจาก${\displaystyle *_{1}}$ต้องเป็น${\displaystyle *_{2}}$เป็นต้น ในกรณีพิเศษ คำที่เขียนด้วยตัวอักษรที่กำหนดโดยไม่มีอักขระตัวแทนใดๆ เรียกว่าคำที่มีพารามิเตอร์ 0 ตัว สำหรับคำที่มีพารามิเตอร์ 1 ตัว สามารถละเว้นตัวห้อยได้ เนื่องจากไม่มีความกำกวมระหว่างอักขระตัวแทนที่แตกต่างกัน เซตของทั้งหมด${\displaystyle k}$-พารามิเตอร์คำต่างๆ${\displaystyle A}$ความยาว${\displaystyle n}$ถูกกำหนดโดย${\displaystyle A{\tbinom {n}{k}}}$[ ^{1 ]​}

เอ${\displaystyle k}$-พารามิเตอร์คำแสดงถึงชุดของ${\displaystyle |A|^{k}}$สตริง (คำที่ไม่มีพารามิเตอร์) ที่ได้จากการแทนที่สัญลักษณ์ของ${\displaystyle A}$สำหรับอักขระตัวแทนแต่ละตัว ชุดของสตริงนี้เรียกว่าชุดพารามิเตอร์ของลูกบาศก์เชิงการจัดเรียงและ${\displaystyle k}$เรียกว่ามิติของมัน ลูกบาศก์เชิงคอมบินาทอริกหนึ่งมิติอาจเรียกว่าเส้นเชิงคอมบินาทอริก^{[ 1 ]}

ในลูกบาศก์เชิงการจัดเรียง (combinatorial cube) อักขระตัวแทน (wildcard character) แต่ละตัวจะต้องมีตัวแทนเดียวกัน การวางนัยทั่วไปของคำพารามิเตอร์ช่วยให้สามารถแทนที่อักขระตัวแทนเดียวกันด้วยอักขระอื่นจากตัวอักษรได้อย่างเป็นระบบ${\displaystyle A}$เป็นตัวอักษรและ${\displaystyle G}$เป็นกลุ่มที่มีการกระทำเกี่ยวกับ${\displaystyle A}$จากนั้น${\displaystyle G}$- คำพารามิเตอร์ที่มีป้ายกำกับ คือ a${\displaystyle k}$-พารามิเตอร์คำ พร้อมกับการกำหนดองค์ประกอบกลุ่มให้กับอักขระตัวแทนแต่ละตัวในคำนั้น การปรากฏครั้งแรกของอักขระตัวแทนแต่ละตัวจะต้องถูกกำหนดให้เป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ของกลุ่ม จากนั้น สตริงที่แสดงโดยพารามิเตอร์คำที่มีป้ายกำกับจะได้รับโดยการเลือกอักขระตัวใดตัวหนึ่ง${\displaystyle A}$สำหรับอักขระตัวแทนแต่ละตัว และแทนที่ผลลัพธ์ของการรวมอักขระนั้นกับองค์ประกอบกลุ่มที่ติดป้ายกำกับสำเนาแต่ละชุดของอักขระนั้น เซตของทั้งหมด${\displaystyle G}$ติดป้ายกำกับ${\displaystyle k}$-พารามิเตอร์คำต่างๆ${\displaystyle A}$ความยาว${\displaystyle n}$ถูกกำหนดโดย${\displaystyle [A,G]{\tbinom {n}{k}}}$[ ^{1 ]​}

ในเกมโอเอ็กซ์ช่องบนกระดานเกมสามารถกำหนดพิกัดเป็นจำนวนเต็ม สอง ค่าได้${\displaystyle (x,y)}$จากตัวอักษร${\displaystyle \{1,2,3\}}$การนำพิกัดทั้งสองมาต่อกันจะสร้างสตริงที่แสดงถึงแต่ละเซลล์ ซึ่งเป็นหนึ่งในเก้าสตริง${\displaystyle 11,12,13,21,22,23,31,32,}$หรือ${\displaystyle 33}$มีคำที่มีพารามิเตอร์เดียวจำนวนเจ็ดคำที่มีความยาวสองในตัวอักษรนี้ ได้แก่ คำเหล่านั้น${\displaystyle 1*,2*,3*,*1,*2,*3,}$และ${\displaystyle **}$เส้นเชิงการจัดเรียงที่สอดคล้องกันจะประกอบเป็นเจ็ดในแปดแถวของสามเซลล์ในแถวเดียวบนกระดานเกมโอเอ็กซ์ ตัวอย่างเช่น คำที่มีพารามิเตอร์เดียว${\displaystyle 2*}$สอดคล้องกับเส้นเชิงการจัดเรียง${\displaystyle \{21,22,23\}}$และคำที่มีพารามิเตอร์เดียว${\displaystyle **}$สอดคล้องกับเส้นเชิง การจัดเรียง${\displaystyle \{11,22,33\}}$[ ^{2 ]​}

อย่างไรก็ตาม หนึ่งในแปดเส้นที่ชนะในเกมโอเอ็กซ์นั้นหายไปจากชุดเส้นเชิงการจัดเรียงนี้ นั่นคือเส้นทแยงมุมตรงข้าม${\displaystyle \{13,22,31\}}$เป็นไปได้ที่จะได้เส้นนี้เป็นเส้นเชิงการจัดเรียง (โดยไม่รวมการจัดเรียงเซลล์อื่นๆ ที่ไม่ถูกต้องสำหรับเกมโอเอ็กซ์) โดยใช้กลุ่มที่มีสององค์ประกอบ และการกระทำที่องค์ประกอบที่ไม่ใช่เอกลักษณ์จะสลับตัวอักษร${\displaystyle 1}$และ${\displaystyle 3}$ขณะที่ออกจากองค์ประกอบนั้น${\displaystyle 2}$อยู่ในตำแหน่งที่ถูกต้อง มีคำที่มีป้ายกำกับหนึ่งพารามิเตอร์แปดคำที่มีความยาวสองสำหรับแอ็กชันนี้ โดยเจ็ดคำได้มาจากคำที่ไม่มีป้ายกำกับหนึ่งพารามิเตอร์โดยใช้ป้ายกำกับเอกลักษณ์สำหรับไวด์การ์ดทั้งหมด คำทั้งเจ็ดนี้มีบรรทัดการรวมกันเหมือนเดิม คำที่มีป้ายกำกับคำที่แปดประกอบด้วยคำว่า${\displaystyle **}$ติดป้ายกำกับด้วยองค์ประกอบเอกลักษณ์สำหรับครั้งแรก${\displaystyle *}$และองค์ประกอบที่ไม่เหมือนกันแบบย้อนกลับสำหรับตัวที่สอง${\displaystyle *}$เส้นการจัดเรียงของมันคือเส้นที่ชนะสุดท้ายของกระดานเกมโอเอ็กซ์${\displaystyle \{13,22,31\}}$[ ^{2 ]​}

สำหรับพารามิเตอร์จำนวนเต็มสามตัวที่กำหนด${\displaystyle n\geq m\geq k}$สามารถรวมคำพารามิเตอร์สองคำเข้าด้วยกันได้${\displaystyle f\in A{\tbinom {n}{m}}}$และ${\displaystyle g\in A{\tbinom {m}{k}}}$เพื่อสร้างคำพารามิเตอร์อีกคำหนึ่ง${\displaystyle f\circ g\in A{\tbinom {n}{k}}}$ในการทำเช่นนั้น เพียงแค่เปลี่ยนสำเนาแต่ละฉบับของ${\displaystyle i}$สัญลักษณ์ไวด์การ์ดตัวที่ th ใน${\displaystyle f}$โดย${\displaystyle i}$ตัวละครที่ th ใน${\displaystyle g}$ซึ่งจะทำให้ได้คำที่มีความยาวตามที่ต้องการ${\displaystyle n}$ที่ใช้สัญลักษณ์ไวด์การ์ดแต่ละตัวใน${\displaystyle g}$อย่างน้อยหนึ่งครั้ง เรียงลำดับจากน้อยไปมาก เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ถูกต้อง${\displaystyle k}$-พารามิเตอร์ความยาวของคำ${\displaystyle n}$แนวคิดเรื่องการประกอบนี้สามารถขยายไปสู่การประกอบคำพารามิเตอร์ที่มีป้ายกำกับ (โดยใช้ตัวอักษรและการกระทำกลุ่มเดียวกัน) โดยการใช้การกระทำกลุ่มกับอักขระที่แทนที่ด้วยตัวอักษรที่ไม่ใช่ไวด์การ์ด และประกอบป้ายกำกับกลุ่มสำหรับอักขระที่แทนที่ด้วยไวด์การ์ด เซตย่อยของลูกบาศก์เชิงคอมบินาทอริกจะเป็นลูกบาศก์เชิงคอมบินาทอริกที่เล็กกว่าหากสามารถได้มาโดยการประกอบในลักษณะนี้^{[ 1 ]}

จำนวนคำพารามิเตอร์ใน${\displaystyle A{\tbinom {n}{k}}}$สำหรับตัวอักษรขนาด${\displaystyle r}$เป็น${\displaystyle r}$- เลขสเตอร์ลิงชนิดที่สอง${\displaystyle \textstyle \left\{{r+n \atop r+k}\right\}_{r}}$ตัวเลขเหล่านี้แสดงจำนวนการแบ่งส่วนของจำนวนเต็มในช่วงที่กำหนด${\displaystyle [1,r+n]}$เข้าไปข้างใน${\displaystyle r+k}$เซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่าซึ่งตัวแรก${\displaystyle r}$จำนวนเต็มเป็นของเซตย่อยที่แตกต่างกัน การแบ่งประเภทนี้สามารถนำไปใส่ในความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับคำพารามิเตอร์ได้ โดยการสร้างคำที่มีอักขระสำหรับแต่ละตัว${\displaystyle n}$จำนวนเต็มในช่วง${\displaystyle [r+1,n+r]}$โดยกำหนดค่าอักขระนี้ให้เป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนเต็มก็ได้${\displaystyle [1,r]}$ที่อยู่ในเซตย่อยเดียวกันของพาร์ติชัน หรืออักขระตัวแทน (wildcard) สำหรับแต่ละเซตย่อยของพาร์ติชันที่ไม่มีจำนวนเต็มอยู่${\displaystyle [1,r]}$. เดอะ${\displaystyle r}$-จำนวนสเตอร์ลิงเป็นไปตามความสัมพันธ์เวียนเกิด อย่างง่าย ซึ่งสามารถคำนวณได้ง่าย^{[ 3 ] [ 4 ]}

ในทฤษฎีแรมซีย์คำพารามิเตอร์และลูกบาศก์เชิงการจัดเรียงอาจถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดทฤษฎีบทเกรแฮม-รอธส์ไชลด์ซึ่งระบุว่า สำหรับตัวอักษรจำกัดทุกตัวและการกระทำของกลุ่มทุกกลุ่ม และการรวมกันของค่าจำนวนเต็มทุกชุด${\displaystyle m}$,${\displaystyle k}$, และ${\displaystyle r}$มีอยู่จำนวนที่มากพอสมควร${\displaystyle n}$โดยที่ถ้าแต่ละ${\displaystyle k}$ลูกบาศก์เชิงการจัดเรียง แบบหลายมิติเหนือสตริงที่มีความยาว${\displaystyle n}$ได้รับการกำหนดให้เป็นหนึ่งใน${\displaystyle r}$สีต่างๆ ดังนั้นจึงมีอยู่${\displaystyle m}$ลูกบาศก์เชิงการจัดเรียง มิติทั้งหมดซึ่ง${\displaystyle k}$ลูกบาศก์ ย่อยมิติ -มิติมีสีเดียวกัน ผลลัพธ์นี้เป็นรากฐานสำคัญของทฤษฎีแรมซีย์เชิงโครงสร้างและใช้ในการกำหนดจำนวนของเกรแฮมซึ่งเป็นจำนวนมหาศาลที่ใช้ในการประมาณค่าของ${\displaystyle n}$สำหรับค่าผสมบางอย่าง^{[ 1 ]}

ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ในปัญหาการค้นหารหัสที่ซ้ำกันรหัสต้นฉบับสำหรับรูทีนหรือโมดูลที่กำหนดอาจถูกแปลงเป็นคำพารามิเตอร์โดยการแปลงเป็นลำดับของโทเค็นและสำหรับชื่อตัวแปรหรือรูทีนย่อยแต่ละชื่อ ให้แทนที่สำเนาของชื่อเดียวกันด้วยอักขระตัวแทนเดียวกัน หากรหัสซ้ำกัน คำพารามิเตอร์ที่ได้จะยังคงเท่ากันแม้ว่าตัวแปรหรือรูทีนย่อยบางส่วนจะถูกเปลี่ยนชื่อก็ตาม อัลกอริทึมการค้นหาที่ซับซ้อนกว่าสามารถค้นหาส่วนของรหัสที่ซ้ำกันยาวๆ ที่เป็นสตริงย่อยของคลังรหัสต้นฉบับขนาดใหญ่ได้ โดยอนุญาตให้ใช้อักขระตัวแทนแทนกันได้^{[ 5 ]}

กรณีพิเศษที่สำคัญของคำพารามิเตอร์ ซึ่งได้รับการศึกษาอย่างดีในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงของคำ คือคำบางส่วนคำเหล่านี้เป็นสตริงที่มีอักขระตัวแทนที่สามารถแทนที่ได้อย่างอิสระจากกันและกัน โดยไม่จำเป็นต้องให้อักขระที่ถูกแทนที่บางตัวเท่ากันหรือถูกควบคุมโดยการกระทำของกลุ่ม ในภาษาของคำพารามิเตอร์ คำบางส่วนอาจอธิบายได้ว่าเป็นคำพารามิเตอร์ที่สัญลักษณ์ตัวแทนแต่ละตัวปรากฏเพียงครั้งเดียว อย่างไรก็ตาม เนื่องจากไม่มีการทำซ้ำของสัญลักษณ์ตัวแทน คำบางส่วนจึงสามารถเขียนได้ง่ายกว่าโดยการละเว้นตัวห้อยบนสัญลักษณ์ตัวแทน^{[ 6 ]}

• นิพจน์ปกติ