ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีแรมซีย์เชิงโครงสร้างเป็นการ วางนัย ทั่วไปเชิงหมวดหมู่ของทฤษฎีแรมซีย์โดยมีรากฐานมาจากแนวคิดที่ว่าผลลัพธ์ที่สำคัญหลายอย่างของทฤษฎีแรมซีย์มีโครงสร้างเชิงตรรกะที่ "คล้ายคลึงกัน" ข้อสังเกตที่สำคัญคือการสังเกตว่าทฤษฎีบทประเภทแรมซีย์เหล่านี้สามารถแสดงออกมาได้ในรูปของการยืนยันว่าหมวดหมู่บางอย่าง (หรือกลุ่มของโครงสร้างจำกัด) มีคุณสมบัติแรมซีย์ (ซึ่งจะกล่าวถึงต่อไป)

ทฤษฎีแรมซีย์เชิงโครงสร้างเริ่มต้นในช่วงทศวรรษ 1970 ^{[ 1 ]}ด้วยผลงานของNešetřilและRödlและมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับทฤษฎี Fraïsséได้รับความสนใจอีกครั้งในช่วงกลางทศวรรษ 2000 เนื่องจากการค้นพบความสอดคล้องของKechris–Pestov–Todorčevićซึ่งเชื่อมโยงทฤษฎีแรมซีย์เชิงโครงสร้างเข้ากับพลวัตเชิงทอพอโลยี

Leebได้รับเครดิต^{[ 2 ]}สำหรับการคิดค้นแนวคิดของสมบัติ Ramsey ในช่วงต้นทศวรรษ 1970 การตีพิมพ์ครั้งแรกของแนวคิดนี้ดูเหมือนจะเป็น บทความของ Graham , Leeb และRothschildในปี 1972 เกี่ยวกับเรื่องนี้^{[ 3 ]}การพัฒนาที่สำคัญของแนวคิดเหล่านี้ทำโดยNešetřilและRödlในชุดบทความปี 1977 ^{[ 4 ]}และ 1983 ^{[ 5 ]}รวมถึงทฤษฎีบท Nešetřil–Rödl ที่มีชื่อเสียง ผลลัพธ์นี้ได้รับการพิสูจน์ซ้ำโดยอิสระโดย Abramson และHarrington [ ^{6 ] และ}ได้รับการขยายความทั่วไปเพิ่มเติมโดยPrömel ^{[ 7 ]}เมื่อไม่นานมานี้ Mašulović ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}และ Solecki ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}ได้ทำงานบุกเบิกบางอย่างในสาขานี้

บทความนี้จะใช้ หลักการ ทางทฤษฎีเซตที่ว่า จำนวนธรรมชาติแต่ละจำนวนสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่น้อยกว่าจำนวนนั้น กล่าวคือสำหรับเซตใดๆการระบายสีแบบ n-colouring ของเซตคือการกำหนดป้ายกำกับหนึ่งป้ายให้กับแต่ละองค์ประกอบของเซต ซึ่งสามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันที่แมปแต่ละองค์ประกอบไปยังป้ายกำกับในเซต(ซึ่งบทความนี้จะใช้) หรือเทียบเท่ากับการแบ่งเซตออกเป็นส่วนๆ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle n=\{0,1,\ldots ,n-1\}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle r}$${\displaystyle A}$${\displaystyle r}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Delta :A\to r}$${\displaystyle r=\{0,1,\ldots ,r-1\}}$${\displaystyle A=A_{0}\sqcup \cdots \sqcup A_{r-1}}$${\displaystyle r}$

นี่คือผลลัพธ์คลาสสิกบางส่วนจากทฤษฎีของแรมซีย์:

• (Finite) Ramsey's theorem: for every ${\displaystyle k\leq m,r\in \mathbb {N} }$, there exists ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ such that for every ${\displaystyle r}$-colouring ${\displaystyle \Delta :[n]^{(k)}\to r}$ of all the ${\displaystyle k}$-element subsets of ${\displaystyle n=\{0,1,\ldots ,n-1\}}$, there exists a subset ${\displaystyle A\subseteq n}$, with ${\displaystyle |A|=m}$, such that ${\displaystyle [A]^{(k)}}$ is ${\displaystyle \Delta }$-monochromatic.
• (Finite) van der Waerden's theorem: for every ${\displaystyle m,r\in \mathbb {N} }$, there exists ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ such that for every ${\displaystyle r}$-colouring ${\displaystyle \Delta :n\to r}$ of ${\displaystyle n}$, there exists a ${\displaystyle \Delta }$-monochromatic arithmetic progression${\displaystyle \{a,a+d,a+2d,\ldots ,a+(m-1)d\}\subseteq n}$ of length ${\displaystyle m}$.
• Graham–Rothschild theorem: fix a finite alphabet ${\displaystyle L=\{a_{0},a_{1},\ldots ,a_{d-1}\}}$. A ${\displaystyle k}$-parameter word of length ${\displaystyle n}$ over ${\displaystyle L}$ is an element ${\displaystyle w\in (L\cup \{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{k-1}\})^{n}}$, such that all of the ${\displaystyle x_{i}}$ appear, and their first appearances are in increasing order. The set of all ${\displaystyle k}$-parameter words of length ${\displaystyle n}$ over ${\displaystyle L}$ is denoted by ${\displaystyle \textstyle [L]{\binom {n}{k}}}$. Given ${\displaystyle \textstyle w\in [L]{\binom {n}{m}}}$ and ${\displaystyle \textstyle v\in [L]{\binom {m}{k}}}$, we form their composition${\displaystyle \textstyle w\circ v\in [L]{\binom {n}{k}}}$ by replacing every occurrence of ${\displaystyle x_{i}}$ in ${\displaystyle w}$ with the ${\displaystyle i}$th entry of ${\displaystyle v}$.Then, the Graham–Rothschild theorem states that for every ${\displaystyle k\leq m,r\in \mathbb {N} }$, there exists ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ such that for every ${\displaystyle r}$-colouring ${\displaystyle \textstyle \Delta :[L]{\binom {n}{k}}\to r}$ of all the ${\displaystyle k}$-parameter words of length ${\displaystyle n}$, there exists ${\displaystyle \textstyle w\in [L]{\binom {n}{m}}}$, such that ${\displaystyle \textstyle w\circ [L]{\binom {m}{k}}=\{w\circ v:v\in [L]{\binom {m}{k}}\}}$ (i.e. all the ${\displaystyle k}$-parameter subwords of ${\displaystyle w}$) is ${\displaystyle \Delta }$-monochromatic.
• (Finite) Folkman's theorem: for every ${\displaystyle m,r\in \mathbb {N} }$, there exists ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ such that for every ${\displaystyle r}$-colouring ${\displaystyle \Delta :n\to r}$ of ${\displaystyle n}$, there exists a subset ${\displaystyle A\subseteq n}$, with ${\displaystyle |A|=m}$, such that ${\displaystyle \textstyle {\big (}\sum _{k\in A}k{\big )}<n}$, and ${\displaystyle \textstyle \operatorname {FS} (A)=\{\sum _{k\in B}k:B\in {\mathcal {P}}(A)\setminus \varnothing \}}$ is ${\displaystyle \Delta }$-monochromatic.

These "Ramsey-type" theorems all have a similar idea: we fix two integers ${\displaystyle k}$ and ${\displaystyle m}$, and a set of colours ${\displaystyle r}$. Then, we want to show there is some ${\displaystyle n}$ large enough, such that for every ${\displaystyle r}$-colouring of the "substructures" of size ${\displaystyle k}$ inside ${\displaystyle n}$, we can find a suitable "structure" ${\displaystyle A}$ inside ${\displaystyle n}$, of size ${\displaystyle m}$, such that all the "substructures" ${\displaystyle B}$ of ${\displaystyle A}$ with size ${\displaystyle k}$ have the same colour.

What types of structures are allowed depends on the theorem in question, and this turns out to be virtually the only difference between them. This idea of a "Ramsey-type theorem" leads itself to the more precise notion of the Ramsey property (below).

ให้เป็นหมวดหมู่มีคุณสมบัติแรมซีย์ถ้าสำหรับทุกจำนวนธรรมชาติและวัตถุทั้งหมดในจะมีวัตถุอื่นใน อยู่ เช่นนั้น สำหรับทุกการระบายสีแบบ จะมีมอร์ฟิซึมซึ่งเป็นสีเดียวแบบ นั่นคือเซต ${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle r}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle r}$${\displaystyle \Delta :\operatorname {Hom} (A,D)\to r}$${\displaystyle f:B\to D}$${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle f\circ \operatorname {Hom} (A,B)={\big \{}f\circ g:g\in \operatorname {Hom} (A,B){\big \}}}$

เป็นโมโนโครมาติก^{[ 10 ]}${\displaystyle \Delta }$

โดยทั่วไปแล้วจะถูกมองว่าเป็นกลุ่มของโครงสร้างจำกัดบนภาษา ที่กำหนดไว้ โดยมีการฝังตัวเป็นมอร์ฟิซึม ในกรณีนี้ แทนที่จะระบายสีมอร์ฟิซึม เราอาจคิดถึงการระบายสี "สำเนา" ของในแล้วหาสำเนาของในที่ทำให้สำเนาทั้งหมดของในสำเนาของ นี้เป็นสีเดียวกัน วิธีนี้อาจสอดคล้องกับแนวคิดก่อนหน้านี้ของ "ทฤษฎีบทแบบแรมซีย์" ได้มากกว่า ${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D}$${\displaystyle B}$${\displaystyle D}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

นอกจากนี้ยังมีแนวคิดเรื่องคุณสมบัติแรมซีย์คู่ (dual Ramsey property) ด้วย กล่าวคือ มีคุณสมบัติแรมซีย์คู่ ถ้าหมวดหมู่คู่ (dual category) ของมัน มีคุณสมบัติแรมซีย์ดังที่กล่าวมาข้างต้น กล่าวให้ชัดเจนยิ่งขึ้นคือมีคุณสมบัติแรมซีย์คู่ถ้าสำหรับทุกจำนวนธรรมชาติและทุกวัตถุในจะมีวัตถุอื่นใน อยู่ด้วย โดยที่สำหรับทุกการระบายสีจะมีมอร์ฟิซึมซึ่งเป็นการระบายสีแบบโมโนโครมาติก ${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {C} ^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle r}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle r}$${\displaystyle \Delta :\operatorname {Hom} (D,A)\to r}$${\displaystyle f:D\to B}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (B,A)\circ f}$${\displaystyle \Delta }$

• ทฤษฎีบทของแรมซีย์: กลุ่มของสายโซ่ จำกัดทั้งหมด ที่มีฟังก์ชันรักษาลำดับเป็นมอร์ฟิซึม จะมีคุณสมบัติแรมซีย์
• ทฤษฎีบทของ van der Waerden: ในหมวดหมู่ที่มีวัตถุเป็นลำดับจำกัดและมอร์ฟิซึมเป็นแผนที่เชิงเส้น สำหรับ, , คุณสมบัติของ Ramsey จะเป็นจริงสำหรับ${\displaystyle x\mapsto a+dx}$${\displaystyle a,d\in \mathbb {N} }$${\displaystyle d\neq 0}$${\displaystyle A=1}$
• ทฤษฎีบท Hales–Jewett : ให้เป็นตัวอักษรจำกัด และสำหรับแต่ละให้เป็นเซตของตัวแปร ให้ เป็น หมวดหมู่ที่มีวัตถุเป็นสำหรับแต่ละและมอร์ฟิซึมสำหรับเป็นฟังก์ชันที่คงรูปและทั่วถึงบนแล้วมีคุณสมบัติ Ramsey คู่สำหรับ(และขึ้นอยู่กับการกำหนดสูตร)${\displaystyle L}$${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$${\displaystyle X_{k}=\{x_{0},\ldots ,x_{k-1}\}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {GR} }$${\displaystyle A_{k}=L\cup X_{k}}$${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$${\displaystyle A_{n}\to A_{k}}$${\displaystyle n\geq k}$${\displaystyle f:X_{n}\to A_{k}}$${\displaystyle X_{k}\subseteq A_{k}=\operatorname {codom} f}$${\displaystyle \mathbf {GR} }$${\displaystyle A=A_{0}}$${\displaystyle B=A_{1}}$
• ทฤษฎีบทเกรแฮม-รอธส์ไชลด์: หมวดหมู่ที่นิยามไว้ข้างต้นมีคุณสมบัติแรมซีย์แบบคู่ขนาน${\displaystyle \mathbf {GR} }$

ในปี พ.ศ. 2548 Kechris , Pestov และTodorčević ^{[ 14 ]}ค้นพบความสอดคล้องกันต่อไปนี้ (ต่อไปนี้เรียกว่าความสอดคล้องกัน KPT ) ระหว่างทฤษฎี Ramsey เชิงโครงสร้าง ทฤษฎี Fraïssé และแนวคิดจากพลวัตเชิงโทโพโลยี

ให้เป็นกลุ่มทางทอพอโลยีสำหรับปริภูมิทางทอพอโลยีการไหลแบบ (แทนด้วย) คือการกระทำต่อเนื่องของบนเรากล่าวว่ามีคุณสมบัติที่ยอมรับได้อย่างยิ่ง (extremely amenable)ถ้าการไหลแบบบนปริภูมิกระชับ (compact space) ใดๆ ยอมรับจุดตรึงนั่นคือตัวรักษาเสถียรภาพของคือตัวมันเอง ${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\curvearrowright X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\curvearrowright X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$

สำหรับโครงสร้าง Fraïssé กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของมันสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นกลุ่มทางทอพอโลยี โดยกำหนดทอพอโลยีของการลู่เข้าแบบจุดต่อจุดหรือเทียบเท่ากับทอพอโลยีของปริภูมิย่อยที่เหนี่ยวนำโดยปริภูมิที่มีทอพอโลยีผลคูณ ทฤษฎีบทต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงความสอดคล้องกันของ KPT:${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbf {F} )}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbf {F} )}$${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathbf {F} }=\{f:\mathbf {F} \to \mathbf {F} \}}$

ทฤษฎีบท (KPT)สำหรับโครงสร้าง Fraïssé นั้น สิ่งต่อไปนี้ถือว่าเทียบเท่ากัน: ${\displaystyle \mathbf {F} }$

1. กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของ นั้นมีความยืดหยุ่นสูงมาก${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbf {F} )}$${\displaystyle \mathbf {F} }$
2. ชั้นเรียนนี้มีคุณสมบัติแรมซีย์${\displaystyle \operatorname {Age} (\mathbf {F} )}$

• ทฤษฎีแรมซีย์
• ทฤษฎีบทของฟราอิสเซ่
• อายุ (ทฤษฎีแบบจำลอง)