ในกลศาสตร์ควอนตัมสำหรับระบบที่จำนวนอนุภาค ทั้งหมด อาจไม่คงที่ตัวดำเนินการจำนวนคือปริมาณที่สังเกตได้ซึ่งนับจำนวนอนุภาค

ต่อไปนี้เป็นสัญกรณ์แบบ bra–ket : ตัวดำเนินการจำนวนกระทำบนปริภูมิฟ็อคให้

$${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }}$$

เป็นสถานะฟ็อค (Fock state ) ที่ประกอบด้วยสถานะอนุภาคเดี่ยวที่ดึงมาจากฐานของปริภูมิฮิลเบิร์ต (Hilbert space) พื้นฐานของปริภูมิฟ็อค โดยกำหนดตัวดำเนินการสร้างและทำลาย ที่สอดคล้องกัน และเรากำหนดตัวดำเนินการจำนวนโดย ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$${\displaystyle a^{\dagger }(\phi _{i})}$${\displaystyle a(\phi _{i})\,}$

$${\displaystyle {\hat {N_{i}}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})}$$

และเรามี

$${\displaystyle {\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }=N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }}$$

โดยที่จำนวนอนุภาคในสถานะ คือความเท่าเทียมกันข้างต้นสามารถพิสูจน์ได้โดยสังเกตว่า แล้ว ${\displaystyle N_{i}}$${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$$${\displaystyle {\begin{matrix}a(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\a^{\dagger }(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\end{เมทริกซ์}}}$$$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }&=&a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})\left|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\right\rangle _{\nu }\\[1ex]&=&{\sqrt {N_{i}}}a^{\dagger }(\phi _{i})\left|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\right\rangle _{\nu }\\[1ex]&=&{\sqrt {N_{i}}}{\sqrt {N_{i}}}\left|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\right\rangle _{\nu }\\[1ex]&=&N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }\\[1ex]\end{array}}}$$

• ออสซิเลเตอร์ฮาร์มอนิก
• ตัวสั่นฮาร์มอนิกควอนตัม
• การหาปริมาณครั้งที่สอง
• ทฤษฎีสนามควอนตัม
• อุณหพลศาสตร์
• (-1) ^เอฟ