ในทฤษฎีระบบที่สามารถหาปริพันธ์ได้พีคอน ("โซลิตอนยอดแหลม") คือโซลิตอนที่มีอนุพันธ์อันดับแรกไม่ต่อเนื่องรูปทรงของคลื่นจะคล้ายกับกราฟของฟังก์ชัน${\displaystyle e^{-|x|}}$ตัวอย่างบางส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่ไม่เชิงเส้นที่มีคำตอบพีคอน (หลายพีคอน) ได้แก่สมการคลื่นน้ำตื้นของ Camassa–Holmสมการ Degasperis–Procesiและสมการ Fornberg–Whithamเนื่องจากคำตอบพีคอนสามารถหาอนุพันธ์ได้เฉพาะแบบเป็นช่วงๆ เท่านั้น จึงต้องตีความในความหมายที่อ่อนกว่า ที่เหมาะสม แนวคิดนี้ได้รับการแนะนำในปี 1993 โดย Camassa และ Holm ในบทความสั้นๆ แต่มีการอ้างอิงมาก ซึ่งพวกเขาได้มาจากสมการน้ำตื้นของพวกเขา^{[ 1 ]}

ตัวอย่างหลักของสมการอนุพันธ์ย่อย (PDE) ที่รองรับคำตอบแบบ peakon คือ

${\displaystyle u_{t}-u_{xxt}+(b+1)uu_{x}=bu_{x}u_{xx}+uu_{xxx},\,}$

ที่ไหน${\displaystyle u(x,t)}$เป็นฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่า และbเป็นพารามิเตอร์^{[ 2 ]} ในแง่ของฟังก์ชันเสริม${\displaystyle m(x,t)}$กำหนดโดยความสัมพันธ์${\displaystyle m=u-u_{xx}}$สมการจึงอยู่ในรูปแบบที่ง่ายขึ้น

${\displaystyle m_{t}+m_{x}u+bmu_{x}=0.\,}$

สมการนี้สามารถหาปริพันธ์ได้สำหรับค่าb สองค่าเท่านั้น คือb = 2 ( สมการ Camassa–Holm ) และb = 3 ( สมการ Degasperis–Procesi )

สมการอนุพันธ์ย่อยข้างต้นยอมรับคำตอบของคลื่นเดินทาง${\displaystyle u(x,t)=c\,e^{-|x-ct|}}$ซึ่งเป็นคลื่นเดี่ยวที่มีจุดสูงสุด โดยมีแอมพลิจูดcและความเร็วcคำตอบนี้เรียกว่าคำตอบแบบพีคอน (เดี่ยว) หรือเรียกสั้น ๆ ว่าพีคอนถ้าcเป็นค่าลบ คลื่นจะเคลื่อนที่ไปทางซ้ายโดยมีจุดสูงสุดชี้ลงด้านล่าง และในกรณีนี้บางครั้งเรียกว่าแอนติพีคอน

ไม่ใช่เรื่องชัดเจนในทันทีว่าคำตอบของ peakon นั้นสอดคล้องกับสมการ PDE ในแง่ใด เนื่องจากอนุพันธ์u มีความไม่ต่อเนื่องแบบกระโดดที่จุดสูงสุด อนุพันธ์อันดับสองu จึงต้องพิจารณาในแง่ของการกระจายและจะมีฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac อยู่ ด้วย อันที่จริง${\displaystyle m=u-u_{xx}=c\,\delta (x-ct)}$ตอนนี้สินค้า${\displaystyle mu_{x}}$สิ่งที่เกิดขึ้นในสมการอนุพันธ์ย่อยดูเหมือนจะไม่มีนิยาม เนื่องจากฟังก์ชันการกระจายmมีค่าอยู่ ณ จุดที่อนุพันธ์u ไม่มีนิยาม การตีความ แบบเฉพาะกิจคือการให้ค่าของu ณ จุดนั้นเท่ากับค่าเฉลี่ยของลิมิตซ้ายและขวา (ศูนย์ในกรณีนี้) วิธีที่น่าพอใจกว่าในการทำความเข้าใจคำตอบคือการกลับความสัมพันธ์ระหว่างuและmโดยการเขียน${\displaystyle m=(G/2)*u}$, ที่ไหน${\displaystyle G(x)=\exp(-|x|)}$และใช้สิ่งนี้เพื่อเขียนสมการอนุพันธ์ย่อยใหม่ให้เป็นกฎการอนุรักษ์แบบไฮเปอร์โบลิก (ที่ไม่ใช่แบบเฉพาะที่)

${\displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}\left[{\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {G}{2}}*\left({\frac {bu^{2}}{2}}+{\frac {(3-b)u_{x}^{2}}{2}}\right)\right]=0.}$

(เครื่องหมายดอกจันแสดงถึงการสังเคราะห์โดยสัมพันธ์กับx ) ในการกำหนดสูตรนี้ ฟังก์ชันuสามารถตีความได้ง่ายๆ ว่าเป็นคำตอบแบบอ่อนในความหมายปกติ^{[ 3 ]}

คำตอบแบบมัลติพีคอนเกิดจากการรวมเชิงเส้นของพีคอนหลายตัว โดยแต่ละตัวมีแอมพลิจูดและตำแหน่งที่ขึ้นอยู่กับเวลา (โครงสร้างนี้เรียบง่ายมากเมื่อเทียบกับคำตอบแบบมัลติโซลิตอนของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่สามารถหาคำตอบได้อื่นๆ เช่นสมการ Korteweg–de Vriesเป็นต้น) ดังนั้น คำตอบแบบ n-พีคอนจึงมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(t)\,e^{-|x-x_{i}(t)|},}$

โดย ที่ฟังก์ชัน2n${\displaystyle x_{i}(t)}$และ${\displaystyle m_{i}(t)}$ ต้องเลือกค่า u ให้เหมาะสมเพื่อให้uสอดคล้องกับสมการอนุพันธ์ย่อย (PDE) สำหรับ " ตระกูล b " ข้างต้น ปรากฏว่าสมมติฐาน นี้ ให้คำตอบได้จริง โดยมีเงื่อนไขว่าระบบสมการอนุพันธ์สามัญ (ODE) นั้น

${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}e^{-|x_{k}-x_{i}|},\qquad {\dot {m}}_{k}=(b-1)\sum _{i=1}^{n}m_{k}m_{i}\operatorname {sgn}(x_{k}-x_{i})e^{-|x_{k}-x_{i}|}\qquad (k=1,\dots ,n)}$

เป็นไปตามเงื่อนไข (ในที่นี้ sgn หมายถึงฟังก์ชันเครื่องหมาย ) โปรดสังเกตว่าด้านขวามือของสมการสำหรับ${\displaystyle x_{k}}$ได้มาจากการแทนที่${\displaystyle x=x_{k}}$ในสูตรสำหรับuในทำนองเดียวกัน สมการสำหรับ${\displaystyle m_{k}}$สามารถแสดงได้ในรูปของ${\displaystyle u_{x}}$หากตีความอนุพันธ์ของ${\displaystyle \exp(-|x|)}$ที่x = 0 ถือว่าเป็นศูนย์ ซึ่งทำให้ได้สัญลักษณ์ย่อที่สะดวกสำหรับระบบดังนี้:

${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=u(x_{k}),\qquad {\dot {m}}_{k}=-(b-1)m_{k}u_{x}(x_{k})\qquad (k=1,\dots ,n).}$

สมการแรกให้ความเข้าใจเบื้องต้นที่เป็นประโยชน์เกี่ยวกับพลวัตของยอดคลื่น: ความเร็วของแต่ละยอดคลื่นเท่ากับระดับความสูงของคลื่น ณ จุดนั้น

ในกรณีที่สามารถหาปริพันธ์ได้b = 2 และb = 3 ระบบ ODE ที่อธิบายพลวัตของพีคอนสามารถแก้ไขได้อย่างชัดเจนสำหรับn ใดๆ ในรูปของฟังก์ชันพื้นฐานโดยใช้เทคนิคสเปกตรัมผกผัน ตัวอย่างเช่น คำตอบสำหรับn = 3 ในกรณี Camassa–Holm ที่b = 2 จะแสดงโดย^{[ 4 ​​]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}(t)&=\log {\frac {(\lambda _{1}-\lambda _{2})^{2}(\lambda _{1}-\lambda _{3})^{2}(\lambda _{2}-\lambda _{3})^{2}a_{1}a_{2}a_{3}}{\sum _{j<k}\lambda _{j}^{2}\lambda _{k}^{2}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}}\\x_{2}(t)&=\log {\frac {\sum _{j<k}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}{\lambda _{1}^{2}a_{1}+\lambda _{2}^{2}a_{2}+\lambda _{3}^{2}a_{3}}}\\x_{3}(t)&=\log(a_{1}+a_{2}+a_{3})\\m_{1}(t)&={\frac {\sum _{j<k}\lambda _{j}^{2}\lambda _{k}^{2}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}{\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}\sum _{j<k}\lambda _{j}\lambda _{k}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}}\\m_{2}(t)&={\frac {\left(\lambda _{1}^{2}a_{1}+\lambda _{2}^{2}a_{2}+\lambda _{3}^{2}a_{3}\right)\sum _{j<k}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}{\left(\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}+\lambda _{3}a_{3}\right)\sum _{j<k}\lambda _{j}\lambda _{k}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}}\\m_{3}(t)&={\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}}{\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}+\lambda _{3}a_{3}}}\end{aligned}}}$

ที่ไหน${\displaystyle a_{k}(t)=a_{k}(0)e^{t/\lambda _{k}}}$และโดยที่ค่าคงที่2n${\displaystyle a_{k}(0)}$และ${\displaystyle \lambda _{k}}$ค่าต่างๆ ถูกกำหนดจากเงื่อนไขเริ่มต้น คำตอบทั่วไปสำหรับค่าn ใดๆ สามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันสมมาตรของ${\displaystyle a_{k}}$และ${\displaystyle \lambda _{k}}$โซลูชัน n -peakon ทั่วไปในกรณี Degasperis–Procesi b = 3 มีลักษณะคล้ายกัน แม้ว่าโครงสร้างโดยละเอียดจะซับซ้อนกว่าก็ตาม^{[ 5 ]}