ในทางคณิตศาสตร์เมทริกซ์สมมาตรอาจหมายถึง:

1. เมทริกซ์จัตุรัส ซึ่งสมมาตรกับเส้นทแยงมุม (หรือเส้นทแยงมุมตรงข้าม) จากทิศตะวันออกเฉียงเหนือไปยังทิศตะวันตกเฉียงใต้ หรือ
2. เมทริกซ์จัตุรัสซึ่งค่าบนแต่ละแถวที่ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลักจะมีค่าเท่ากันสำหรับแถวที่กำหนด

นิยามแรกเป็นนิยามที่พบได้บ่อยที่สุดในเอกสารทางวิชาการปัจจุบัน ส่วนคำว่า " เมทริกซ์แฮงเคล " มักใช้กับเมทริกซ์ที่ตรงตามคุณสมบัติในนิยามที่สอง

ให้A = ( a _ij )เป็น เมทริกซ์ n × nนิยามแรกของ เพ ^อร์ซิมเมตริกกำหนดให้ สำหรับทุกi , j ^{[ 1} ] ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์เพอร์ซิมเมตริก 5 × 5 มีรูปแบบดังนี้ $${\displaystyle a_{ij}=a_{n-j+1,\,n-i+1}}$$$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{14}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{23}&a_{13}\\a_{41}&a_{42}&a_{32}&a_{22}&a_{12}\\a_{51}&a_{41}&a_{31}&a_{21}&a_{11}\end{bmatrix}}.}$$

สามารถแสดงได้อย่างเทียบเท่าว่าAJ = JA ^Tโดย ที่Jคือเมทริกซ์การแลกเปลี่ยน

วิธีที่สามในการแสดงสิ่งนี้คือการคูณสมการAJ = JA ^T ด้วยJทั้งสองข้าง ซึ่งแสดงให้เห็นว่า A ^Tที่หมุน 180 องศาจะเหมือนกับA ทุก ประการ : $${\displaystyle A=JA^{\mathsf {T}}J.}$$

เมทริกซ์สมมาตรคือ เมทริกซ์ที่มีค่าสมมาตรในแนวทแยงจากทิศตะวันตกเฉียงเหนือไปยังทิศตะวันออกเฉียงใต้ หากเมทริกซ์สมมาตรถูกหมุน 90 องศา จะกลายเป็นเมทริกซ์เพอร์สมมาตร บางครั้งเมทริกซ์สมมาตรเพอร์สมมาตรก็เรียกว่าเมทริกซ์ไบสมมาตร

นิยามที่สองมาจากThomas Muir [ ^{2 ] ระบุ}ว่าเมทริกซ์จัตุรัสA = ( a _ij ) เป็นเมทริกซ์สมมาตรหากa _ijขึ้นอยู่กับi + j เท่านั้น เมทริกซ์สมมาตรในความหมายนี้ หรือเมทริกซ์ Hankel ตามที่เรียกกันบ่อยๆ จะอยู่ในรูปแบบ ดีเทอร์มิแนน ต์สมมาตร คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สมมาตร^{[ 2 ]}$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}r_{1}&r_{2}&r_{3}&\cdots &r_{n}\\r_{2}&r_{3}&r_{4}&\cdots &r_{n+1}\\r_{3}&r_{4}&r_{5}&\cdots &r_{n+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\r_{n}&r_{n+1}&r_{n+2}&\cdots &r_{2n-1}\end{bmatrix}}.}$$

เมทริกซ์ที่มีค่าคงที่บนแต่ละแถวที่ขนานกับเส้นทแยงมุมหลัก เรียกว่าเมทริกซ์โทปลิตซ์

• เมทริกซ์สมมาตรศูนย์กลาง