ในทฤษฎีกราฟ การกำหนดทิศทาง แบบPfaffianของกราฟแบบไม่มีทิศทางจะกำหนดทิศทางให้กับแต่ละขอบ ทำให้บางวงจร (วงจรกลางคู่) มีจำนวนขอบเป็นเลขคี่ในแต่ละทิศทาง เมื่อกราฟมีการกำหนดทิศทางแบบ Pfaffian แล้ว การกำหนดทิศทางนั้นสามารถนำมาใช้ในการนับจำนวนการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบของกราฟได้ นี่คือแนวคิดหลักเบื้องหลังอัลกอริธึม FKTสำหรับการนับจำนวนการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในกราฟระนาบซึ่งมีการกำหนดทิศทางแบบ Pfaffian เสมอ โดยทั่วไปแล้ว ทุกกราฟที่ไม่มีกราฟยูทิลิตี้${\displaystyle K_{3,3}}$เนื่องจากกราฟไมเนอร์มีการวางแนวแบบ Pfaffian แต่${\displaystyle K_{3,3}}$ไม่มีกราฟ Pfaffian ขั้นต่ำอื่นๆ อีกมากมายที่ไม่มีเช่นกัน

การวางแนวแบบ Pfaffianของกราฟแบบไม่มีทิศทางคือการวางแนวที่วัฏจักรกลางคู่ทุกวัฏจักรมีทิศทางเป็นคี่ ความหมายของคำนิยามนี้มีดังต่อไปนี้:

• การกำหนดทิศทางจะกำหนดทิศทางให้กับแต่ละขอบของกราฟ
• วงจร​${\displaystyle C}$เรียกว่า "แม้ว่าจะมีจำนวนขอบเป็นเลขคู่ก็ตาม"
• วงจร${\displaystyle C}$เป็นศูนย์กลางหากกราฟย่อยของ${\displaystyle G}$เกิดจากการลบจุดยอดทั้งหมดของ${\displaystyle C}$มีการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบวงจรกลางบางครั้งก็เรียกว่าวงจรสลับ
• วงจร${\displaystyle C}$มีการวางแนวที่แปลกประหลาด หากการวางแนวทั้งสองของ${\displaystyle C}$สอดคล้องกับจำนวนขอบคี่ในการวางแนว^{[ 1 ] [ 2 ]}

ทิศทางของ Pfaffian ได้รับการศึกษาในบริบทของอัลกอริทึม FKTสำหรับการนับจำนวนการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในกราฟที่กำหนด ในอัลกอริทึมนี้ ทิศทางของขอบจะถูกนำมาใช้ในการกำหนดค่า${\displaystyle \pm 1}$ไปยังตัวแปรในเมทริกซ์ Tutteของกราฟ จากนั้น ค่าPfaffianของเมทริกซ์นี้ ( รากที่สองของดีเทอร์มิแนนต์ ) จะให้จำนวนการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบ การจับคู่ที่สมบูรณ์แบบแต่ละครั้งมีส่วนช่วย${\displaystyle \pm 1}$ไปยัง Pfaffian โดยไม่คำนึงถึงทิศทางที่ใช้ การเลือกทิศทาง Pfaffian ทำให้มั่นใจได้ว่าการมีส่วนร่วมเหล่านี้ทั้งหมดมีเครื่องหมายเดียวกัน ดังนั้นจึงไม่มีส่วนใดหักล้างกัน ผลลัพธ์นี้ตรงกันข้ามกับความซับซ้อนในการคำนวณที่สูงกว่ามากของการนับการจับคู่ในกราฟใดๆ^{[ 2 ]}

กล่าวได้ว่ากราฟเป็นแบบ Pfaffian หากมีการวางแนวแบบ Pfaffian กราฟระนาบ ทุกกราฟ เป็นแบบ Pfaffian ^{[ 3 ]} การวางแนวที่แต่ละหน้าของกราฟระนาบมีจำนวนขอบที่วางแนวตามเข็มนาฬิกาเป็นเลขคี่ จะเป็นแบบ Pfaffian โดยอัตโนมัติ การวางแนวดังกล่าวสามารถพบได้โดยเริ่มต้นจากการวางแนวแบบสุ่มของต้นไม้แผ่คลุมของกราฟ ขอบที่เหลือซึ่งไม่ได้อยู่ในต้นไม้นี้ จะสร้างต้นไม้แผ่คลุมของกราฟคู่และสามารถเลือกการวางแนวได้ตามการสำรวจจากล่างขึ้นบนของต้นไม้แผ่คลุมคู่ เพื่อให้แน่ใจว่าแต่ละหน้าของกราฟดั้งเดิมมีจำนวนขอบที่วางแนวตามเข็มนาฬิกาเป็นเลขคี่^{[ 4 ]}

โดยทั่วไปแล้ว ทุกๆ${\displaystyle K_{3,3}}$กราฟที่ไม่มีไมเนอร์จะมีทิศทางแบบ Pfaffian กราฟเหล่านี้คือกราฟที่ไม่มีกราฟยูทิลิตี้${\displaystyle K_{3,3}}$(ซึ่งไม่ใช่แบบ Pfaffian) ในฐานะกราฟไมเนอร์ตามทฤษฎีบทของ Wagner${\displaystyle K_{3,3}}$กราฟที่ไม่มีไมเนอร์เกิดจากการนำกราฟระนาบและกราฟสมบูรณ์ มาต่อกัน${\displaystyle K_{5}}$ตามขอบร่วมกัน สามารถใช้โครงสร้างการติดกาวแบบเดียวกันเพื่อให้ได้การวางแนวแบบ Pfaffian สำหรับกราฟเหล่านี้^{[ 4 ]}

พร้อมกับ${\displaystyle K_{3,3}}$มีกราฟที่ไม่ใช่ Pfaffian ขั้นต่ำจำนวนอนันต์^{[ 1 ]}สำหรับกราฟสองส่วน เป็นไปได้ที่จะพิจารณาว่ามีการวางแนว Pfaffian อยู่หรือไม่ และถ้ามี ให้หาในเวลาพหุนาม^{[ 5 ]}